第十七章 专题训练十四 利用勾股定理解决“最短”问题 同步练 （含答案）数学冀教版（2024）八年级上册_第1页
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文档简介

专题训练十四利用勾股定理解决“最短”问题利用平面展开图的知识求“最短”1.为筹备元旦晚会,同学们设计了一个圆筒形灯罩,底色漆成白色,然后缠绕红色油纸,如图所示,已知圆筒高108cm,其横截面周长为36cm,如果在圆筒侧面恰好能缠绕4圈油纸,请你求至少需要多长的油纸?利用“垂线段最短”求“最短”2.如图,某小区的两个喷泉A,B位于小路AC的同侧,两个喷泉之间的距离AB=250m.现要为喷泉铺设供水管道AM,BM,供水点M在小路AC上,到AB的距离MN=120m,到喷泉B的距离BM=150m.(1)求供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长.(2)求喷泉B到小路AC的最短距离.利用轴对称的知识求“最短”3.(2025南京鼓楼区月考)如图所示,高速公路的同一侧有A,B两城镇,它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC=2km,BD=4km,CD=8km.要在高速公路上C,D之间建一个出口P,使A,B两城镇到P的距离之和最小,求这个最短距离并画出相应的最短路径.4.如图,一个牧童在小河的南200m的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西400m、北350m处,他想把马牵到小河边去饮水,然后回到小屋,请你求牧童完成这件事情所走的最短路程,并画出与之相应的最短路径.

【详解答案】1.解:将缠绕1圈油纸的圆筒侧面展开后得到一个长方形,则长方形的长为圆筒的横截面周长,长方形的宽为圆筒高度的14根据题意,AB=36cm,BC=1084根据勾股定理,得AC=AB2∴4AC=4×45=180(cm).答:至少需要180cm长的油纸.2.解:(1)在Rt△MNB中,MN=120m,BM=150m.根据勾股定理,得BN=BM2∴AN=AB-BN=250-90=160(m).在Rt△AMN中,AM=AN2∴供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长为200+150=350(m).(2)∵AB=250m,AM=200m,BM=150m,∴AB2=BM2+AM2,∴△ABM是直角三角形,且∠AMB=90°.∴BM⊥AC.∴喷泉B到小路AC的最短距离是150m.3.解:如图所示,作A点关于直线MN的对称点A',再连接A'B,交直线MN于点P,则此时AP+PB最小,为最短路径.过点B作BE⊥CA交CA的延长线于点E,∵AC=2km,BD=4km,CD=8km.∴BE=CD=8km,AE=4-2=2(km),AA'=4km,∴A'E=6km,在Rt△A'EB中,A'B=A'E2+BE4.解:设直线MN表示小河,作A点关于直线MN的对称点A',AA'与MN相交于点C,连接A'B交MN于点P,则从A点沿线段AP到P点再沿PB到达B点,即为牧童所走的最短路径,如图所示.∴牧童所走的最短路程为AP+BP=A'P+BP=A'B.根据题意,AC=200m,则AA'=2AC=400m,AD=350m,BD=400m.∴

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