高二入学学情摸底测试01（考试范围：选择性必修一+数列）（解析版）

高二入学学情摸底测试01题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若经过两点、的直线的倾斜角为，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为经过两点，的直线的倾斜角为，所以直线AB的斜率所以，解得.故选：D.2．已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，解得，故选：A.3．已知正四面体的棱长为，点在上，且，点为中点，则用基底表示为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】如下图所示：因为为的中点，则，所以，，则，因此，.故选：C.4．过点作圆的切线，则的斜率为（

）A．0 B． C．0或 D．0或【答案】C【详解】将代入圆方程得，则该点在圆外，，则其圆心为，半径为1，当切线斜率不存在时，此时直线方程为，显然不合题意，故舍去，则设切线方程为：，即，则有，化简得，解得或，所以的斜率为0或.故选：C.5．数列中，（），则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】令，则.令，则，所以.又，所以，所以.故选：A6．经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于点，是在点处的切线.点是上异于的任意一点，过且垂直于轴的直线交轴于点，交于点，则（

）A． B． C． D．不确定【答案】B【详解】不妨设在第一象限，把代入抛物线方程得，即点的坐标为，显然直线斜率存在，设直线的方程为，与抛物线联立消去得：，因为直线是抛物线的切线，所以，所以直线的方程为，设点的坐标为，则点的坐标为，所以.故选：B7．已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线AD，AB上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面PMG的距离为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，设，，所以，，因为，所以，即，所以，又，所以，当且仅当时取等号，此时，所以，，，设平面PMG的法向量为，所以，取，所以当取得最小值时，点到平面PMG的距离.故选：A8．在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于，则下列命题中正确的个数是（

）①曲线关于轴对称；

②的最大值为；③的最小值为；

④的最大值为A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【详解】由已知，代入点，则，成立，①正确；则，当且仅当，即点时，等号成立，③错误；化简，可得，即，又，即，解得，即，设，则，，所以，即，②错误；且，即，即，④正确；综上所述正确的个数为，故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分9．在平面直角坐标系中，已知点，，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（

）A．若，则点的轨迹是双曲线B．若，则点的轨迹是椭圆C．若，则点的轨迹是一条直线D．若，则点的轨迹是圆【答案】ACD【详解】因为，，所以，对于A：因为，所以点是以为焦点的双曲线，故A正确；对于B：因为，所以点的轨迹为线段，故B错误；对于C：设，则，因为，所以，整理得，所以点的轨迹是一条直线，故C正确；对于D：因为，即，所以点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，故D正确.故选：ACD10．在棱长为1的正方体中，为正方体内（包括表面）一动点，已知，若，则（

）A．点所有可能的位置所构成的几何体的体积为B．点所有可能的位置所构成的几何体的表面积为C．的最小值为D．的最大值为2【答案】ACD【详解】对于AB，如图，建立以A为原点的空间直角坐标系，则，，则，因为正方体内（包括表面）一动点，则，又，则P所构成图形为三棱柱.则点所有可能的位置所构成的几何体的体积为正方体体积一半，即，点所有可能的位置所构成的几何体的表面积为，故A正确，B错误；设为的中点，连接，所以，，当PO与平面垂直时，最小为，当P与重合时最大，为，则，所以的取值范围为，故C正确，D正确.故选：ACD11．数列、的通项公式分别为、，它们的公共项按从小到大排列组成数列，数列、、的前项之和分別、、，则（

）A． B．C．数列的第项最小 D．数列是递減数列【答案】BCD【详解】对于A选项，由题意知，数列、均为等差数列，且，，，，因此，，A错；对于B选项，数列的各项分别为：、、、、、、、、、、，数列的各项分别为：、、、、、、、、、、、，则这两个数列构成的公共项组成的数列为、、、、、，可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，，所以，，故，B对；对于C选项，，令，因为，解得，令，因为，解得，且，所以，当且时，数列单调递减，因此，数列的第项最小，C对；对于D选项，令，则，所以，，即，所以，数列是递减数列，D对.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.12．已知圆，圆，则两圆的公共弦所在直线的方程为．【答案】【详解】设两圆交点为Ax1,则两点坐标是方程组的解，两式相减得，即，所以两点坐标均满足此方程，所以即为两圆的公共弦所在直线的方程，故答案为：13．已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为.【答案】【详解】双曲线：的渐近线方程为：，令直线的倾斜角为，则，由对称性不妨令点分别在第一、四象限，坐标原点为，则，于是得，而双曲线的虚半轴长为，即，显然四边形为矩形，其面积，解得所以双曲线的方程为.故答案为：.14．如图，正方体的棱长为3，点满足，若平面经过点，且平面，则平面截此正方体所得的截面的面积为.【答案】【详解】依题意可知，正方体的棱长为3，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，由于，则，为上靠近的三等分点，所以.因为平面，，，所以，则平面的一个法向量为.设平面与棱的交点为，设，则.因为，即，可得.又因为在棱上，，，代入可得，解得，所以.设平面与棱的交点为，设，则.因为，即，可得.又因为在棱上，，，代入可得，解得，所以.其中，，，.，所以，所以平面与正方体的截面为四边形，，，，所以四边形是等腰梯形，高为，所以面积为.故答案为：【点睛】方法点睛：对于立体几何中求截面相关问题，建立空间直角坐标系，利用向量法是一种有效的方法.通过向量垂直关系确定平面与立体图形棱的交点坐标，从而确定截面形状.在确定截面形状后，利用向量判断直线平行关系，结合几何图形性质计算边长、高，进而求出面积.四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，若，则(1)求数列的通项公式及前项和；(2)已知，求数列前项和.【答案】(1)，(2)【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，所以，因为，且各项均为正数，所以，即，因为各项均为正数，解得，所以，则.（2）由题可知，是等差数列，，则数列前项和.16．（15分）已知三个顶点分别为，，.(1)求边上的高线长；(2)过内一点有一条直线与边，分别交于点，，且点平分线段，求直线的方程.【答案】(1)(2)【详解】（1），，，直线AB的斜率，直线AB的方程为化为，点C到直线AB的距离，即边上的高线长为；（2）由题知，直线的斜率，直线的方程为，即，设，因为点平分线段，则，∵点M，N分别在直线AB，上，，解得，直线l的斜率，直线l的方程为，即．17．（15分）如图，已知平面，平面平面.(1)证明：平面；(2)若，且平面与平面的夹角的余弦值为，求的长.【答案】(1)证明见解析(2)1【详解】（1）证明：过点作，垂足为.因为平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，又因为平面平面，所以，又因为平面平面，所以平面.（2）（方法一）因为平面，所以，又因为平面.所以如图，以点为坐标原点，分别以，过点且平行的直线，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，因为，所以，则，设平面的法向量为n=x,y,z则，得，令，则平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，得，令，则平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则，解得，即的长为1.（方法二）取中点，在中，过点作交于点，连接因为平面平面，所以，因为为中点，所以，又平面平面，所以平面.因为平面平面，所以，又平面平面，所以平面又因为平面，所以，又因为，所以为平面与平面的夹角.在中，为中点，因为，因为平面与平面的夹角的余弦值为，即，所以，所以，在中，，在和中，，所以，即的长为1.18．（17分）已知，点满足，记点的轨迹为.(1)求轨迹的方程；(2)直线经过点，倾斜角为，与轨迹交于C，D两点（在A，D之间），若，求的值；(3)已知点，过点作直线与轨迹交于M，N两点，记直线TM，TN的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)(3)是，定值为【详解】（1）因为，所以点的轨迹为以为焦点的双曲线，设此双曲线方程为，易知，又由解得，即轨迹的方程为：；（2）因为直线经过点，倾斜角为，所以直线的方程为，联立，解得或，故得点和点，则，由得，解得；（3）如图，法一：由题意得直线不可能与轴重合，设为：，联立得到，而，由韦达定理得，，故是为定值，且该定值为；法二：①当直线的斜率不存在时，直线方程为，可得，此时，②当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，得到，而，由韦达定理得，所以，故是为定值，且该定值为，综上所述，为定值.19．（17分）已知双曲线．点在上．按如下方式构造点．过点作斜率为的直线与的下支交于点．点关于轴的对称点为．记点的坐标为(1)求的值：(2)