几何动点与轨迹综合训练题

几何动点与轨迹综合训练题几何中的动点问题，本质是研究“运动图形”的不变性——轨迹。从中考压轴题到竞赛难题，动点与轨迹始终是考查空间想象、逻辑推理与代数运算的核心载体。本文通过知识梳理、典型例题解析与分层训练题组，系统呈现动点轨迹的分析方法，助力读者突破动态几何的思维壁垒。一、动点轨迹的核心类型与形成逻辑动点的轨迹由约束条件决定，初中阶段核心轨迹类型为直线型与圆型，高中拓展至圆锥曲线，但几何本质相通。1.直线型轨迹：“定向”或“定距”的延续定距约束：动点到某定直线的距离为定值（如“点\(P\)到\(x\)轴距离为2”，轨迹为\(y=2\)与\(y=-2\)）；或动点与定线段的连线长度/斜率为定值（如“点\(P\)与\(A(0,0)\)连线斜率为1”，轨迹为\(y=x\)，除去原点）。中垂约束：动点到两定点距离相等（如“点\(P\)到\(A(1,0)\)、\(B(3,0)\)距离相等”，轨迹为线段\(AB\)的中垂线\(x=2\)）。线性关联：动点与某动线段中点/定比分点关联，且动线段端点沿直线运动（如“点\(B\)在\(x\)轴运动，\(P\)是\(AB\)中点（\(A(0,2)\)）”，轨迹为水平直线\(y=1\)）。2.圆型轨迹：“定点定长”或“比例约束”的闭环定长旋转：动点到定点的距离为定值（如“点\(P\)到\(O(0,0)\)距离为3”，轨迹为圆\(x^2+y^2=9\)）；或动线段一端固定，中点的轨迹（如“\(AB=4\)，\(A(0,0)\)固定，\(B\)旋转，\(P\)是\(AB\)中点”，轨迹为圆\(x^2+y^2=4\)）。阿波罗尼斯圆：动点到两定点距离之比为定值（非1），如“点\(P\)到\(A(1,0)\)与\(B(2,0)\)的距离比为\(2:1\)”，轨迹为圆（推导见例题2）。二、典型例题：从“动态分析”到“轨迹建模”例题1：直线型轨迹——中点的线性关联已知点\(A(0,2)\)，点\(B\)在\(x\)轴上运动，点\(P\)是\(AB\)的中点，求\(P\)的轨迹。分析：设\(B(t,0)\)（\(t\)为参数），由中点坐标公式，\(P\)的坐标为\(\left(\frac{0+t}{2},\frac{2+0}{2}\right)\)，即\(\left(\frac{t}{2},1\right)\)。消去参数\(t\)（令\(x=\frac{t}{2}\)，则\(t=2x\)），得\(P\)的轨迹方程为\(y=1\)（\(x\in\mathbb{R}\)），即过\((0,1)\)且平行于\(x\)轴的直线。例题2：圆型轨迹——阿波罗尼斯圆的应用已知点\(A(3,0)\)，点\(B\)在圆\(x^2+y^2=1\)上运动，点\(P\)满足\(AP=2PB\)，求\(P\)的轨迹。分析：设\(P(x,y)\)，\(B(x_0,y_0)\)（\(x_0^2+y_0^2=1\)）。由距离公式，\(\sqrt{(x-3)^2+y^2}=2\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\)，平方后展开：\[(x-3)^2+y^2=4\left[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2\right]\]代入\(x_0^2+y_0^2=1\)，整理得：\[3x^2+3y^2-6x+8y_0y-8x_0x+4x_0^2+4y_0^2-9=0\]将\(x_0^2+y_0^2=1\)代入，化简为：\[3x^2+3y^2-8x_0x-8y_0y-6x+4-9=0\implies3x^2+3y^2-6x-5=8(x_0x+y_0y)\]注意到\(x_0x+y_0y\)是向量\(\overrightarrow{OB}\)与\(\overrightarrow{OP'}\)（\(P'(x,y)\)）的点积，其最大值为\(\sqrt{x^2+y^2}\)（由柯西不等式）。但更简洁的方法是消去参数：令\(x_0=\cos\theta\)，\(y_0=\sin\theta\)（圆的参数方程），代入后整理得：\[\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+y^2=\frac{16}{9}\]即\(P\)的轨迹为以\(\left(\frac{1}{3},0\right)\)为圆心，\(\frac{4}{3}\)为半径的圆。例题3：综合型轨迹——直线与线段的融合在\(\text{Rt}\triangleABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(AC=4\)，\(BC=3\)，点\(D\)在\(AC\)上（\(AD=1\)），点\(E\)在\(AB\)上运动，\(F\)是\(DE\)的中点，求\(F\)的轨迹。分析：建立坐标系，\(C(0,0)\)，\(A(0,4)\)，\(B(3,0)\)，则\(D(0,3)\)（\(AD=1\)）。\(AB\)的方程为\(y=-\frac{4}{3}x+4\)，设\(E(3t,4-4t)\)（\(t\in[0,1]\)，参数法表示\(AB\)上的点）。由中点公式，\(F\)的坐标为：\[F\left(\frac{0+3t}{2},\frac{3+(4-4t)}{2}\right)=\left(\frac{3t}{2},\frac{7-4t}{2}\right)\]消去参数\(t\)：令\(x=\frac{3t}{2}\)，则\(t=\frac{2x}{3}\)，代入\(y\)的表达式：\[y=\frac{7-4\cdot\frac{2x}{3}}{2}=\frac{7}{2}-\frac{4x}{3}\]结合\(t\in[0,1]\)，得\(x\in\left[0,\frac{3}{2}\right]\)，故\(F\)的轨迹为线段，两端点为\(\left(0,\frac{7}{2}\right)\)与\(\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)\)。三、解题策略：“变中寻定”的三大工具1.坐标法：代数化动态通过建立坐标系，将动点坐标设为\((x,y)\)，动线段端点设为参数（如\(t\)、\(\theta\)），利用约束条件列方程，消参后得到轨迹方程（如例题1、2）。2.几何法：回归定义本质直线轨迹：利用“中垂线”“定距线”“平行/垂直关联”等几何定义（如“到两定点距离相等→中垂线”）。圆轨迹：利用“定点定长”（圆的定义）、“阿波罗尼斯圆”（距离比定值）、“中点旋转”（动线段中点的轨迹）等。3.参数法：引入中间变量通过参数（如时间\(t\)、角度\(\theta\)、线段比例\(k\)）表示动点或动线段，将轨迹问题转化为参数方程，消参后得到轨迹（如例题3）。四、分层训练题组：从基础到综合基础题（直线/圆型轨迹）1.点\(A(2,0)\)，点\(B\)在\(y\)轴上运动，\(P\)是\(AB\)中点，求\(P\)的轨迹。（答案：直线\(x=1\)）2.点\(O(0,0)\)，点\(P\)到\(O\)的距离为2且在第一象限，求\(P\)的轨迹。（答案：四分之一圆\(x^2+y^2=4\)，\(x>0,y>0\)）提高题（综合关联）3.在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC=5\)，\(BC=6\)，点\(D\)在\(BC\)上运动，\(E\)是\(AD\)中点，求\(E\)的轨迹。（提示：建立坐标系，\(B(-3,0)\)，\(C(3,0)\)，\(A(0,4)\)，轨迹为线段\(y=2\)（\(x\in\left(-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)\)））4.点\(A(0,0)\)，点\(B\)在直线\(y=2x\)上运动，\(P\)满足\(PA=2PB\)，求\(P\)的轨迹。（答案：阿波罗尼斯圆\(\left(x-\frac{4}{3}\right)^2+\left(y-\frac{8}{3}\right)^2=\frac{20}{9}\)）综合题（多约束融合）5.\(\text{Rt}\triangleABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(AC=6\)，\(BC=8\)，点\(D\)从\(C\)沿\(CA\)向\(A\)运动（速度1单位/秒），点\(E\)从\(C\)沿\(CB\)向\(B\)运动（速度2单位/秒），\(t\)秒后\(P\)是\(DE\)中点，求\(t\in(0,6)\)时\(P\)的轨迹。（答案：线段\(y=\frac{x}{2}\