第一章 直角三角形的边角关系（单元培优卷）（解析版）

第一章直角三角形的边角关系（单元培优卷）（考试时间：90分钟试卷满分：120分）学校:_________姓名：________班级：_________考号：_________本卷试题共25题，单选10题，填空8题，解答7题，限时90分钟，满分120分，本卷题型精选核心常考重难易错典题，具备举一反三之效，覆盖面积广，可充分考查学生双基综合能力！选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，，，，则的长是（）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】先根据，求出的长度，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：，，．．故选：A．【点睛】本题利用角的正弦的定义和勾股定理，属于基础知识，比较简单．2．一个物体从A点出发，在坡度为1：7和斜坡上直线向上运动到B，当AB=30米时，物体升高（）A．米 B．米 C．米 D．以上都不对【答案】C【分析】先画图，由，设，，由勾股定理得出，再根据已知条件，求出，即物体升高的高度．【详解】解：如图，设，，则，米，，，，故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，坡角的正切值等于坡度．3．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（）A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定【答案】A【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．【详解】解：因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐有A的各三角函数值没有变化，故选：A．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握三角函数值的大小只与角的大小是解题的关键．4．锐角α满足，且，则α的取值范围为（）A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答．【详解】解：∵，且，∴45°﹤α﹤90°∵，且∴0°＜α＜60°∴45°＜α＜60°．故选：B．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，掌握锐角三角函数的增减性是解答的关键．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．【详解】解：如图所示：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，AB＝5，则cosB的值（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据勾股定理计算出BC长，再根据余弦定义可得答案．【详解】解：如图所示：∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，∴cosB＝＝．故选：B．【点睛】考查了锐角三角函数，解题关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．7．如果，则下列各式中正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】将各项分别计算然后判断.【详解】解：A.，故此选项错误；，故此选项正确；C.，故本选项错误；D.当，，∴，故本选项错误故选：B.【点睛】本题考查锐角三角函数及其增减性，熟练掌握特殊角三角函数值是本题的解题关键.8．如图，小明为测量一条河流的宽度，他在河岸边相距80m的P和Q两点分别测定对岸一棵树R的位置，R在Q的正南方向，在P东偏南36°的方向，则河宽()A．80tan36° B．80tan54° C． D．80tan54°【答案】A【分析】此题首先根据已知条件找到线段PQ长度，然后再找到已知中∠QPR的度数，再利用正切求河宽．【详解】解：∵R在P东偏南36°的方向

∴∠QPR＝36°

tan36°＝

∵PQ＝80

∴QR＝tan36°⋅PQ＝80tan36°

故选A.【点睛】本题考查的是解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键.9．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（）A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）【答案】C【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标．【详解】解：过点A作于点C．在Rt△AOC中，．在Rt△ABC中，．∴．∵OA＝4，OB＝6，AB＝2，∴．∴．∴点A的坐标是．根据题意画出图形旋转后的位置，如图，∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为；将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为．故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）．10．如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝【答案】B【分析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C的坐标，从而可以求得k的值，进而求得反比例函数的解析式．【详解】解：因为在菱形ABOC中，∠A＝60°，菱形边长为2，所以OC＝2，∠COB＝60°．如答图，过点C作CD⊥OB于点D，则OD＝OC·cos∠COB＝2×cos60°＝2×＝1，CD＝OC·sin∠COB＝2×sin60°＝2×＝．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（－1，）．因为顶点C在反比例函数y═的图象上，所以＝，得k＝，所以反比例函数的解析式为y＝，因此本题选B．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点C的坐标．二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。11．已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=，则AC=____．【答案】5【分析】根据三角形的内角和定理求出∠B=∠CAD，推出cos∠CAD==，把AD的值代入求出即可．【详解】解：如图：∵AD是△ABC的高，∠BAC=90°，

∴∠ADB=∠ADC=∠BAC=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，

∴∠B=∠CAD，

∵cosB=，AD=4，

∴cosB=cos∠CAD==，

即，

∴AC=5，

故选：A．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和解直角三角形，解题的关键是推出cosB=cos∠CAD，题目比较好．12．已知在中，、都是锐角，且，，那么______度．【答案】120【分析】根据已知条件分别得出，，进而得到答案；【详解】解：∵，，∴，，∴．故答案为：120．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值和三角形内角和定理，准确分析计算是解题的关键．13．已知矩形中，平分交矩形的一边于点，若，，则线段的长为__________.【答案】4或【分析】根据角平分线的性质求出∠ABE=∠EBC=∠ABC=45°，再分两种情况：点E在AD边上或点E在CD边上时，根据三角函数分别求出AB即可.【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，AB=CD，∵平分，∴∠ABE=∠EBC=∠ABC=45°，如图，当点E在AD边上时，∵,∴∠ABD=60°,∵,∴AB=；当点E在CD边上时，∠DBC=∠EBD+∠CBE=60°,∴AB=CD=.故答案为：4或.【点睛】此题考查矩形的性质，角平分线的性质，三角函数解直角三角形.14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝_____．【答案】【分析】根据∠A的正弦求出∠A＝60°，再根据30°的正弦值求解即可．【详解】解：∵，∴∠A＝60°，∴．故答案为．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．15．如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点，取，米，，那么为了使、、成一直线，开挖点离的距离应为______米.【答案】【分析】根据邻补角的定义求出∠DBE=50°，然后判断出△BDE是直角三角形，再根据三角函数解答即可．【详解】解：连接CE，∵∠DBE=180°-∠ABD=180°-130°=50°，

∴∠E=180°-50°-40°=90°，

∴△BDE是直角三角形，

∴开挖点E离点D的距离DE=BD•sin50°=500×sin50°（米），

故答案为：500sin50°．【点睛】本题考查直角三角形的应用，熟记三角函数的定义是解决本题的关键．16．如图所示，已知点的坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，连接，，则的值为________．【答案】【解析】根据直线y=x+b的斜率是1可知∠BCA=45°；然后利用已知条件∠a=75°、外角定理可以求得∠BAC=30°；最后在直角三角形ABO中利用特殊角的三角函数来求OB即b的值即可．【详解】解：把，分别代入中，得，，所以，，所以，所以．因为，所以．因为，所以，所以．故答案为.【点睛】本题综合考查了三角形的外角性质、特殊角的三角函数值以及一次函数的斜率的几何意义．解题时，注意挖掘隐含在题干中的已知条件∠BCA=45°．17．如图，某海监船以20km/h的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，这时，测得岛屿P在其北偏西30°方向，则海监船到岛屿的最小距离是_______km；保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为_______km．（结果保留根号）【答案】20；40．【分析】首先证明PB=BC，推出∠C=30°，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题．【详解】解：在Rt△PAB中，∵∠APB＝30°，∴PB＝2AB，由题意BC＝2AB，∴PB＝BC，∴∠C＝∠CPB，∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，∴∠C＝30°，∴PC＝2PA，∵PA＝AB•tan60°＝20，∴PC＝2×20×＝40（km），故答案为：20；40．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是证明PB=BC，推出∠C=30°．18．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______米结果保留根号．【答案】【详解】【分析】在和中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．【详解】由于，，，在中，，米，在，，米，米，故答案为.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．三、解答题：本题共7个小题，19-23每题8分，24-25每题13分，共66分。19．计算:（1）（）（2）－14+【答案】（1）－；（2）-.【分析】（1）根据二次根式混合运算法则计算即可；（2）代入特殊角的三角函数值，根据0指数幂、负整数指数幂、二次根式及绝对值的运算法则计算即可.【详解】（1）（）＝（2－2）－6＋6×＝22－6＋＝6－4－6＋＝－.（2）－14+＝＝＝-【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.20．计算：如图，在中，，，，于点，求的长．【答案】（1）1；（2）4.8.【解析】（1）首先由特殊角的函数值，求得sin60°与tan45°的值，化简二次根式，再利用实数的加减运算法则求解即可求得答案；

（2）由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，cosB=，直接利用三角函数的定义，可求得BC的长，继而求得AC的长，又由CD⊥AB于点D，利用面积法，即可求得答案．【详解】解：（1）；∵在中，，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的化简、实数的运算以及三角函数的性质．掌握等面积法求解三角形的高是关键．21．为了身体健康，越来越多的人喜欢上了行走健身，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；将斜坡的高度降低米后，斜坡改造为斜坡，其坡度为.求斜坡的长.（结果保留根号）【答案】斜坡的长是米.【分析】解直角三角形ABE，求出AE=130，进而求出CE=100，再根据求出CD即可.【详解】解：在中，∵，∴∵∴∵∴在中，∵，∴DE=4CE，∴CD=CE，∴（米）答：斜坡的长是米.【点睛】此题考查解直角三角形，确定每条已知边所在的直角三角形，利用三角函数求出其他边长的思考方法是解题的关键.22．如图所示,一幢楼房AB背后有台阶CD,台阶每层高0.2米,且AC=17.2米,设太阳光线与水平地面的夹角为α,当α=60°时,测得楼房在地面上的影长AE=10米,现有一只小猫睡在台阶MN上晒太阳.(1)求楼房的高度约为多少米?(结果精确到0.1米)(2)过了一会儿,当α=45°时,小猫还能不能晒到太阳?请说明理由.(参考数据:≈1.732)【答案】（1）楼房的高度约为17.3米；（2）当α=45°时,小猫还能晒到太阳.【分析】（1）在Rt△ABE中，由tan60°=，即可求出AB的长；

（2）假设没有台阶，当α=45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H．由∠BFA=45°，可得AF=AB=17.3米，那么CF=AF-AC=0.1米，CH=CF=0.1米，所以大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，故小猫仍可以晒到太阳．【详解】解:(1)当α=60°时,在Rt△ABE中,∵tan60°=,∴AB=10·tan60°=10≈10×1.73=17.3米.∴楼房的高度约为17.3米.(2)当α=45°时,小猫还能晒到太阳.理由:假设没有台阶,当α=45°时,从点B射下的光线与地面AD的交点为F,与MC的交点为H.∵∠BFA=45°,∴tan45°==1,此时的影长AF=AB=17.3米,∴CF=AF-AC=0.1米,∴CH=CF=0.1米,∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上,∴小猫还能晒到太阳.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．23．小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度m，m，m（点在同一直线上）．已知小明的身高是1.7m，请你帮小明求出楼高（结果精确到0.1m）．【答案】楼高约为20.0米【详解】解：过点作，分别交于点，则m，m．，∴△BGD∽△FHD，．由题意，知．，解之，得BG=18.75m．m．楼高约为20.0米．24．（定义）如图1，在Rt△ABC中，点M，N分别在直角边AC，BC上，若AM2+BN2＝MN2，则称线段MN为Rt△ABC的“勾股线”．（运用）（1）如图1，MN为Rt△ABC的“勾股线”，AC＝6，BC＝4，AM＝2，求CN的长；（2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，点P在边AC上，试用没有刻度的直尺和圆规作出Rt△ABC的一条“勾股线”PQ（要求：保留作图痕迹，不写作法）；（3）如图3，EF是Rt△ABC的“勾股线”，BF＝AE，CF＝AE，D是斜边AB上一点，且AD＝BD，连接DF．求tan∠DFE的值．【答案】（1）CN＝；（2）见解析；（3）2【分析】（1）由“勾股线”定义和勾股定理，列出方程，即可求解；（2）构造一个以AP和BQ的长为直角边，以PQ为斜边的直角三角三角形即可．以P为圆心，PA为半径画弧，交AB于E，作BE的垂直平分线交BC于Q，连接PQ，可证得△PEQ为直角三角形，则PQ为所求；（3）过点A作AH∥BC，交FD的延长线于H，连接EH，通过证明△AEH∽△CFE，可得，∠AEH＝∠CFE，可证∠FEH＝90°，即可求解．【详解】解：（1）∵AC＝6，AM＝2，∴CM＝4，∵MN2＝CM2+CN2，AM2+BN2＝MN2，∴CM2+CN2＝AM2+BN2，∴16+CN2＝4+(4﹣CN)2，∴CN＝；（2）如图2，以P为圆心，PA为半径画弧，交AB于E，作BE的垂直平分线交BC于Q，连接PQ，则PQ为所求．（3）如图3，过点A作AH∥BC，交FD的延长线于H，连接EH，设AE＝a，则BF＝a，CF＝a，∵EF是Rt△ABC的“勾股线”，∴EF2＝AE2+BF