高考数学函数专题训练试题

高考数学函数专题训练试题函数作为高中数学的核心内容，贯穿高考数学试卷的各个题型——从基础的定义域、值域问题，到综合的导数与函数性质结合的压轴题，分值占比高且考查形式灵活。本专题训练聚焦高考函数核心考点，通过系统梳理知识、分类剖析题型、提炼解题策略，助力考生构建完整的函数知识体系，提升解题能力。知识梳理：函数核心考点回顾（一）函数的基本概念定义域：求解时需关注分式分母、偶次根式被开方数、对数真数与底数、实际问题的限制条件等。值域：常用方法有配方法、换元法、单调性法、分离常数法、判别式法（慎用）、数形结合法等。对应关系：判断函数相等需定义域和对应关系均相同。（二）函数的性质单调性：定义法证明需严格遵循“取值—作差（商）—变形—定号—结论”步骤；复合函数单调性遵循“同增异减”原则。奇偶性：定义域关于原点对称是前提，奇函数满足\(f(-x)=-f(x)\)（若\(x=0\)在定义域内，则\(f(0)=0\)），偶函数满足\(f(-x)=f(x)\)，图像关于\(y\)轴对称。周期性：若\(f(x+T)=f(x)\)（\(T\neq0\)），则\(T\)为周期；常见变形如\(f(x+a)=-f(x)\)则周期为\(2|a|\)，\(f(x+a)=\frac{1}{f(x)}\)则周期为\(2|a|\)。（三）函数的零点与方程函数零点：即\(f(x)=0\)的实数根，等价于函数图像与\(x\)轴交点的横坐标，可通过零点存在定理（连续函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上\(f(a)f(b)<0\)，则区间内至少一个零点）判断。函数与方程：含参方程根的个数问题常转化为函数图像交点个数问题，结合单调性、极值分析。（四）导数与函数（理科/新高考适用）导数的几何意义：\(f^\prime(x_0)\)是曲线\(y=f(x)\)在\(x_0\)处切线的斜率，切线方程为\(y-f(x_0)=f^\prime(x_0)(x-x_0)\)。利用导数研究单调性：\(f^\prime(x)>0\)（或\(\geq0\)，需注意等号不恒成立）时函数单调递增，反之递减；极值点处导数为0（需验证两侧单调性）。导数与最值：闭区间上连续函数的最值在极值点或区间端点处取得。题型分类训练：从基础到综合（一）选择题：基础与技巧并重例1函数\(f(x)=\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{2-x}}\)的定义域为（）A.\((-1,2)\)B.\((-1,2]\)C.\((-∞,-1)\cup(2,+∞)\)D.\((-1,0)\cup(0,2)\)解析：定义域需满足\(\begin{cases}x+1>0\\2-x>0\end{cases}\)，解得\(-1<x<2\)，选A。考点：分式、对数、根式的定义域限制，需逐一分析条件，避免遗漏。例2已知\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x\geq0\)时，\(f(x)=x^2-2x\)，则\(f(-1)=\)（）A.-3B.-1C.1D.3解析：奇函数满足\(f(-x)=-f(x)\)，故\(f(-1)=-f(1)\)。当\(x=1\)时，\(f(1)=1^2-2\times1=-1\)，所以\(f(-1)=-(-1)=1\)，选C。考点：奇函数的性质应用，需注意定义域包含0时\(f(0)=0\)的隐含条件，本题通过\(x\geq0\)的解析式求\(f(1)\)，再利用奇偶性转化。（二）填空题：注重细节与方法例3函数\(f(x)=x^2-2x\)在区间\([0,3]\)上的值域为______。解析：\(f(x)\)的对称轴为\(x=1\)，开口向上，故\(f(x)\)在\([0,1]\)递减，\([1,3]\)递增。\(f(1)=1-2=-1\)，\(f(0)=0\)，\(f(3)=9-6=3\)，所以值域为\([-1,3]\)。考点：二次函数值域，结合单调性（对称轴与区间的位置关系）分析，注意区间端点和顶点的函数值。例4若函数\(f(x)=x^3-3x+a\)有3个不同的零点，则实数\(a\)的取值范围是______。解析：求导得\(f^\prime(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)，令\(f^\prime(x)=0\)得\(x=\pm1\)。\(f(x)\)在\((-∞,-1)\)递增，\((-1,1)\)递减，\((1,+∞)\)递增。极大值\(f(-1)=-1+3+a=2+a\)，极小值\(f(1)=1-3+a=a-2\)。要使函数有3个零点，需极大值\(>0\)且极小值\(<0\)，即\(\begin{cases}2+a>0\\a-2<0\end{cases}\)，解得\(-2<a<2\)。考点：利用导数研究函数零点个数，转化为极值的符号问题，需明确函数的单调性和极值点。（三）解答题：综合与创新考查例5已知函数\(f(x)=\lnx-ax^2+(2-a)x\)（\(a\inR\)）。（1）讨论\(f(x)\)的单调性；（2）若\(f(x)\)存在最大值\(M\)，且\(M>2a-2\)，求\(a\)的取值范围。解析：（1）定义域为\((0,+∞)\)，求导得\(f^\prime(x)=\frac{1}{x}-2ax+(2-a)=\frac{-2ax^2+(2-a)x+1}{x}=\frac{-(2x+1)(ax-1)}{x}\)。当\(a\leq0\)时，\(ax-1<0\)，\(2x+1>0\)，故\(f^\prime(x)>0\)，\(f(x)\)在\((0,+∞)\)上单调递增。当\(a>0\)时，令\(f^\prime(x)=0\)，得\(x=\frac{1}{a}\)（\(x=-\frac{1}{2}\)舍去）。当\(0<x<\frac{1}{a}\)时，\(f^\prime(x)>0\)，\(f(x)\)递增；当\(x>\frac{1}{a}\)时，\(f^\prime(x)<0\)，\(f(x)\)递减。（2）由（1）知，当\(a\leq0\)时，\(f(x)\)无最大值；当\(a>0\)时，\(f(x)\)在\(x=\frac{1}{a}\)处取得最大值，\(f(\frac{1}{a})=\ln\frac{1}{a}-a\cdot(\frac{1}{a})^2+(2-a)\cdot\frac{1}{a}=-\lna-1+\frac{2}{a}-1=-\lna+\frac{2}{a}-2\)。由\(M>2a-2\)得\(-\lna+\frac{2}{a}-2>2a-2\)，即\(-\lna+\frac{2}{a}-2a>0\)。令\(g(a)=-\lna+\frac{2}{a}-2a\)（\(a>0\)），求导得\(g^\prime(a)=-\frac{1}{a}-\frac{2}{a^2}-2=-\frac{2a^2+a+2}{a^2}<0\)，故\(g(a)\)在\((0,+∞)\)上单调递减。又\(g(1)=-\ln1+2-2=0\)，所以当\(0<a<1\)时，\(g(a)>g(1)=0\)，即\(a\)的取值范围为\((0,1)\)。考点：含参函数的单调性讨论（分类讨论思想），利用导数求最值并转化为不等式恒成立问题（构造新函数分析单调性），考查综合分析能力。解题策略提炼：突破函数难点（一）核心思想方法1.数形结合：函数图像是解决零点、不等式、单调性问题的直观工具。如判断函数零点个数，可画出函数图像（或转化为两个函数图像交点）；分析含绝对值函数，可通过分段讨论或图像变换简化。2.分类讨论：含参函数问题中，需根据参数的不同范围（如二次项系数、对称轴位置、导数符号等）分类，确保逻辑严谨，不重不漏。3.转化与化归：将陌生问题转化为熟悉的模型，如将方程根的问题转化为函数零点，将不等式恒成立问题转化为函数最值，将抽象函数问题赋值转化为具体函数。（二）易错点警示1.定义域优先：求解函数问题时，定义域是前提，如求值域、单调性、奇偶性时，需先确定定义域，避免因忽略定义域导致错误（如\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(R\)上不单调，但在\((0,+∞)\)和\((-∞,0)\)上分别单调）。2.参数讨论不彻底：含参函数单调性讨论时，需全面分析参数对导数符号的影响，尤其是二次函数型导数的判别式、根的大小关系。3.零点存在定理的误用：零点存在定理仅能判断“存在性”，不能判断“唯一性”，需结合单调性或图像确定零点个数。模拟训练题（附简要解析）一、选择题1.函数\(f(x)=\sqrt{4-x^2}+\ln(x+1)\)的定义域为（）解析：\(\begin{cases}4-x^2\geq0\\x+1>0\end{cases}\)，即\(\begin{cases}-2\leqx\leq2\\x>-1\end{cases}\)，故定义域为\((-1,2]\)。2.已知\(f(x)\)是偶函数，且在\([0,+∞)\)上单调递减，若\(f(2)=0\)，则不等式\(f(x-1)>0\)的解集为（）解析：偶函数图像关于\(y\)轴对称，\(f(2)=f(-2)=0\)，且在\([0,+∞)\)递减，\((-∞,0]\)递增。\(f(x-1)>0\)即\(f(|x-1|)>f(2)\)，故\(|x-1|<2\)，解得\(-1<x<3\)。二、填空题3.函数\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在区间\([\frac{1}{2},3]\)上的值域为______。解析：\(f(x)\)在\([\frac{1}{2},1]\)递减，\([1,3]\)递增，\(f(1)=2\)，\(f(\frac{1}{2})=\frac{5}{2}\)，\(f(3)=\frac{10}{3}\)，故值域为\([2,\frac{10}{3}]\)。4.若函数\(f(x)=e^x-ax-1\)有两个零点，则实数\(a\)的取值范围是______。解析：求导得\(f^\prime(x)=e^x-a\)。当\(a\leq0\)时，\(f^\prime(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，最多1个零点；当\(a>0\)时，\(f(x)\)在\((-∞,\lna)\)递减，\((\lna,+∞)\)递增，极小值\(f(\lna)=a-a\lna-1\)。令\(g(a)=a-a\lna-1\)（\(a>0\)），\(g^\prime(a)=-\lna\)，\(g(a)\)在\((0,1)\)递增，\((1,+∞)\)递减，\(g(1)=0\)。当\(a>1\)时，\(g(a)<0\)，且\(x→-∞\)时\(f(x)→+∞\)，\(x→+∞\)时\(f(x)→+∞\)，故有两个零点，即\(a>1\)。三、解答题5.已知函数\(f(x)=x^2-2ax+2\)，\(x\in[-1,1]\)。（1）求\(f(x)\)的最小值\(g(a)\)；（2）若\(g(a)\geq-2\)，求\(a\)的取值范围。解析：（1）\(f(x)\)的对称轴为\(x=a\)，开口向上。当\(a\leq-1\)时，\(f(x)\)在\([-1,1]\)上递增，\(g(a)=f(-1)=3+2a\)；当\(-1<a<1\)时，\(f(x)\)在\(x=a\)处取得最小值，\(g(a)=f(a)=2-a^2\)；当\(a\geq1\)时，\(f(x)\)在\([-1,1]\)上递减，\(g(a)=f(1)=3-2a\)。（2）分情况讨论：当\(a\leq-1\)时，\(3+2a\geq-2\)，解得\(a\geq-\frac{5}{2}\)，故\(-\frac{5}{2}\leqa\leq-1\)；当\(-1<a<1\)时，\(2-a^2\geq-2\)，即\(a^2\leq4\)，恒成立，故\(-1<a<1\)；当\(a\geq1\)时，\(3-2a\geq-2\)，解得\(a\leq\frac{5}{2}\)，故\(1\leqa\leq\frac{5}{2}\)。综上，\(a\)的取值范围为\([-\frac{5}{2},\frac{5}