第07讲 整式的除法（原卷版）-【寒假自学课】2024年七年级数学寒假提升学与练（北师大版）

第07讲整式的除法思维导图核心考点聚焦1.单项式除以单项式2.用科学记数法表示数的除法3.多项式除以单项式4.整式四则混合运算5.整式混合运算中的化简求值6.利用竖式的方法求整式中多项式除以单项式一、单项式除以单项式单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.注意：首先确定结果的系数(即系数相除)，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑.二、多项式除以单项式多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，即（a+b+c）÷m=a÷m+b÷m+c÷m．多项式除以单项式其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，另外还要特别注意符号.多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号.1.进行整式的混合运算时，注意符号的变换.2.利用竖式的方法求整式中多项式除以单项式时，多项式要按指数从高到低排序.考点剖析考点一、单项式除以单项式例题1．计算：(1)；(2)；(3).【解析】（1）；（2）；（3）．【变式训练】1．计算：（1）；(2)．考点二、用科学记数法表示数的除法例题2．月球距离地球约为千米，一架飞机速度为千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需__________小时．（结果用科学记数法表示）【答案】【解析】由题意得：飞机飞行时间为：，故答案为：．【变式训练】1．计算：．2．学校图书馆藏书约3.6×册，学校现有师生约1.8×人，每个教师或学生假期平均最多可以借阅册图书．考点三、多项式除以单项式例题3．计算：(1)；(2).【解析】（1）；（2）．【变式训练】1．计算：．2．计算：(1)；(2)．考点四、整式四则混合运算例题4．计算：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）．【变式训练】1．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．考点五、整式混合运算中的化简求值例题5．先化简，再求值：，其中．【解析】；当时，原式．【变式训练】1．先化简，再求值：，其中，．2．先化简，再求值：，其中考点六、利用竖式的方法求整式中多项式除以单项式例题6．阅读与思考我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题．项目主题：用竖式的方法解决多项式除以多项式．项目实施：任务一

搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式；其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．（1）请把按x的指数从大到小排列：________．任务二

竖式计算：例如：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．

因此．（2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是（

）．A．数形结合 B．类比 C．方程任务三

学以致用（3）的商式是________，余式是________．【解析】（1）按x的指数从大到小排列：；（2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是类比，故选B；（3）根据题意可得，所以的商式是，余式是．【变式训练】1．阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比多位数的除法进行计算．如图：，．由图可得，多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下：①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）；②用竖式进行运算；③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整除．例如：余式为，能被整除．根据阅读材料，请回答下列问题：(1)多项式除以多项式，所得的商式为____________；(2)已知能被整除，则____________；(3)如图，有张卡片，张卡片，张卡片，能否将这片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由．过关检测一、选择题1．化简的结果是（

）A． B． C． D．2．计算的结果是（

）A． B． C． D．3．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．4．已知，则的值为（

）A． B． C． D．5．一个长方形的面积是，它的一边长是，则另一边长是（

）A． B． C． D．二、填空题6．计算：．7．如果（为常数），那么的值是．8．第七届山西（运城）国际果品交易博览会于10月23日到30日在运城市举办．本届果博会以“果蔬运城，走向世界”为主题，努力将果博会办成果农的丰收节、果业的嘉年华、果企的狂欢季、果品的竞秀场．计划参加本次果博会的小玲家的苹果园呈长方形，果园的面积为平方米，一边长为米，则该苹果园的另一边长为米．9．若能被整除，则的值是．10．多项式除以多项式，所得的余式是．三、计算题11．计算：(1)；(2)；(3)．12．先化简，再求值：，其中，．13．先化简，再求值：，其中m，n满足．14．我们把形如的整式称为关于x的一元n次多项式，记作，…等等.将整数的带余除法类比到一元多项式，我们可类似地得到带余式的大除法，其关系式为：，其中表示被除式，表示除式，表示商式，表示余式，且的次数小于的次数.我们来举个例子对比多项式除法和整数除法，