（人教A版）选择性必修二高二数学 第五章 一元函数的导数及其应用 单元综合测试卷（解析版）

第页第五章一元函数的导数及其应用单元综合测试卷一、选择题：1．若函数在处的导数为2，则

(

)A．2 B．1 C． D．6【答案】B【解析】由函数在处的导数为2，得，所以，故选：B2．已知函数，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，，故选：A.3．2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力.设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时，该运动员的滑雪速度为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，，故当时，该运动员的滑雪速度为.故选：B4．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【解析】由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右第四个交点处导数左正右负，它是极大值点.所以函数在开区间内的极小值点有个.故选：A.5．函数的图像可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为定义域为，又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B，，于是得，即函数图象在原点处切线斜率大于0，显然选项C不满足，D满足，故选：D6．设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，在上的函数恒成立，构造函数，则，∵上，即，∴在上单调递减，而，故∴，可得.故选：B7．给定函数，则下列结论不正确的是（

）A．函数有两个零点 B．函数在上单调递增C．函数的最小值是 D．当或时，方程有1个解【答案】A【解析】因为，所以，由，得，所以在单调递增，由，得，所以在单调递减，又因为，恒成立，，，结合单调性可知，大致图像如下：对于A选项，由图像知，函数只有一个零点，故A错误；对于B选项，函数的单调递增区间为，而，所以函数在上单调递增，故B正确；对于C选项，函数的最小值是，故C正确；对于D选项，由图像可知，当或时，方程有1个解，故D正确.故选：A.8．若都有成立，则a的最大值为（

）A． B．1 C．e D．2e【答案】B【解析】原不等式可转化为，令，则，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减.由于都有，所以函数在上单调递增，所以，所以a的最大值为1.故选：B.二、多选题：9．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（

）A．时，取得极大值 B．时，取得最小值C． D．【答案】ACD【解析】结合导函数的图像可知，在上单增，则，C正确；在上单减，则，D正确；由于，显然不是最小值，B错误；又在上单增，上单减，则时，取得极大值，A正确.故选：ACD.10．下列命题中是真命题有（

）A．若，则是函数的极值点B．函数的切线与函数可以有两个公共点C．若函数在区间上有零点，则的值为0或3D．若函数的导数，且，则不等式的解集是【答案】BD【解析】A：例如在处导数，但当时，函数单调递增，当时，函数也单调递增，故不是函数的极值点，故A选项错误；B：例如，，在点的切线与有两个交点，故正确；C：函数在区间上有零点，故，则，明显，代入，得，不符合零点存在定理，故C错误；D：令，则有，，故的解集是，故的解集是，正确；故选：BD.11．已知函数，则（

）A．在上单调递增B．在上单调递减C．在上有2个极值点D．在上有4个极值点【答案】BD【解析】，所以为奇函数，对于A，，当时，，所以，即在上单调递减，因为为奇函数，所以在上单调递减，故A错误，B正确；，令，，所以为偶函数，，当时，，所以，单调递减，因为为偶函数，所以当时，单调递增，当时，，所以，单调递减，因为为偶函数，所以当时，单调递增，当时，，所以，单调递增，因为为偶函数，所以当时，单调递减，当时，，所以，单调递增，因为为偶函数，所以当时，单调递减，，，，，，，，，，所以的图象为在处有四个极值，的图象是由的图象向下平移1个单位得到的，如图图象与轴有四个交点，从左往右依次设为，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，所以在处有四个极值，故D正确，C错误.故选：BD.三、填空题：12．已知，则在x＝1处的切线方程是______．【答案】【解析】已知当时，由，得根据点斜式可得：故答案为:13．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为___________.【答案】【解析】由已知，设点曲线上一点，则有，因为，所以，所以，所以曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为，即．要求得曲线上任意一点，到直线的最小距离即找到曲线上距离直线最近的点，即，解得或（舍去），此时，以点为切点，曲线的切线方程为：，此时，切点为曲线上距离直线最近的点，即点与点重合，最小距离为直线与直线之间的距离，设最小距离为，所以.故答案为：.14．已知函数，为的导函数，则下列结论正确的个数是__________．①当时，；②函数在上只有一个零点；③函数在上存在极小值点．【答案】【解析】①当时，，，所以，故①正确；②，令，则，因为，所以，所以单调递减，因为，，根据零点存在定理可得，，使得，所以函数在上只有一个零点，故②正确；③因为函数在上单调递减，且只有一个零点，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以为在上的唯一极大值点，故③错误，所以正确的个数为．故答案为：四、解答题：15.已知函数，.(1)求曲线在处切线的方程；(2)若直线l过坐标原点且与曲线相切，求直线l的方程.【解析】（1），所以，所以，，所以切线方程为：，整理得.（2），所以，设切点坐标为，所以切线斜率为，则切线方程为：，又因为切线过原点，所以将代入切线方程得，解得，所以切线方程为：，整理得.16.已知函数.(1)当，求函数的极值；(2)若函数在上是单调增函数，求实数的取值范围．【解析】（1）函数的定义域为，当时，，当变化时，，的变化情况如下：10单调递减极小值单调递增∴极小值是，无极大值（2），，，∵函数在上是单调增函数，∴在上恒成立，即在恒成立，令，在上恒成立，∴在单调递减，∴，∴所以，实数的取值范围是17.已知函数.(1)求曲线在点处的切线的方程；(2)若函数在处取得极大值，求a的取值范围.【解析】（1）由可得，所以，，故曲线在点处的切线的方程；（2）由（1）可得当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以此时在处取得极大值，满足题意；当时，令，解得下面对进行分类讨论①当时，，在上单调递增，无极值点，舍去；②当时，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，此时在处取得极小值，故舍去；③当时，当或时，，单调递减；当时，，单调递增，此时在处取得极大值，满足题意；④当时，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，此时在处取得极大值，满足题意；综上：的取值范围为18.已知函数，其中为实常数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性；(3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．【解析】（1），所以，所以切线方程为.（2）的定义域为,，当时，在区间递减；在区间递增.当时，，在上递减.当时，在区间递减；在区间递增.（3）由（2）知：当时，在上递减，，不符合题意.当时，在区间上，，依题意可知，解得.综上所述，的取值范围是.19.已知，当时．(1)若方程有解，求实数的取值范围；(2)若对于任意实数，函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，求实数的取值范围．【解析】（1）的定