（人教A版）选择性必修一高二数学上册期末培优练习 专题05 导数的综合问题（原卷版）

第页专题05导数的综合问题【题型归纳目录】题型1：构造函数解不等式问题题型2：证明不等式题型3：恒成立问题题型4：能成立问题题型5：零点问题题型6：方程的根问题题型7：双变量问题问题题型8：极值点偏移问题【考点预测】1、恒成立问题（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得．2、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示．图1极值点不偏移图2极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏．3、破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．4、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．5、利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．（4）对数单身狗，指数找基友（5）凹凸反转，转化为最值问题（6）同构变形【典例例题】题型1：构造函数解不等式问题例1．已知是函数的导数，且，当时，，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．例2．已知定义域为的函数满足，且当时，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．例3．设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．变式1．已知定义在R上的偶函数满足，，若，则关于x的不等式的解集为（

）A．（4，+∞） B．（-∞，4） C．（-∞，3） D．（3，+∞）变式2．已知定义在上的函数的导函数为，满足，若函数的图像关于直线对称，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．变式3．已知定义在R上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．题型2：证明不等式例4．已知函数.(1)求在（为自然对数的底）处的切线方程；(2)证明：当时，．变式4．已知函数.(1)求的极值；(2)证明：.变式5．已知函数.(1)判断的零点个数；(2)当时，证明：.变式6．已知函数的最小值为．(1)求实数的值；(2)求证：当时，．题型3：恒成立问题例7．已知函数.(1)证明：；(2)若时，恒成立，求的取值范围.例8．设为实数，函数，.(1)若函数与轴有三个不同交点，求实数的取值范围；(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.变式7．已知函数.(1)求函数的极值；(2)已知对于恒成立，求整数的最大值.变式8．已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围．变式9．已知函数，．(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)设，若，，都有，求实数的取值范围．变式10．已知函数（其中，e为自然对数的底数）．(1)当时，讨论函数f（x）的单调性；(2)当时，，求a的取值范围．题型4：能成立问题例10．已知函数，设在点处的切线为（1）求直线的方程；（2）求证：除切点之外，函数的图像在直线的下方；（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围变式11．已知函数.（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（2）若，讨论函数的单调性；（3）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.变式13．函数，．（1）求的单调区间；（2）若，，使得成立，求实数的取值范围．题型5：零点问题例13．已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若存在两个不同的零点，求实数a的取值范围.变式14．已知函数.(1)当时，求曲线点处的切线方程；(2)求证：当时，函数存在极值；(3)若函数在区间上有零点，求的取值范围.变式15．已知函数，．(1)求的最小值；(2)记为的导函数，若函数有且只有一个零点，求a的值．题型6：方程的根问题例16．已知函数，在处有极值.(1)求、的值；(2)若，有个不同实根，求的范围.例18．已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若方程在上有实根，求实数a的取值范围．变式18．已知函数（e为自然对数的底数），（），.(1)若直线与函数，的图象都相切，求a的值；(2)若方程有两个不同的实数解，求a的取值范围.变式19．已知函数，其中为常数，．(1)求单调区间；(2)若且对任意，都有，证明：方程有且只有两个实根．题型7：双变量问题问题例19．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）实数，满足，求的最大值．例20．已知函数（为自然对数的底数）．（1）求曲线在点处的切线方程：（2）若方程有两个不等的实数根，而，求证：．变式20．已知函数.（1）求证：当时，；（2）设斜率为的直线与曲线交于两点，