《材料力学简明教程》课件-第六章 弯曲应力

材料力学简明教程第六章弯曲应力主要内容：

梁弯曲横截面上的正应力

梁弯曲横截面上的切应力

梁的强度计算

提高梁的弯曲强度的措施§6－1梁弯曲横截面上的正应力

纯弯曲时梁横截面上的正应力

各横截面上同时有弯矩和剪力，称为剪切弯曲。各横截面只有弯矩，而无剪力，称为纯弯曲。

梁在纯弯曲时的实验观察

当梁发生纯弯曲变形时,可观察到下列一些现象：

(1)两条纵线都弯成曲线a’a’

和b’b’

,且靠近底面的纵线bb伸长了,而靠近顶面的纵线aa

缩短了。(2)两条横线仍保持为直线,只是相互倾斜了一个角度,但仍垂直于弯成曲线的纵线。(3)在纵线伸长区,梁的宽度减小;在纵线缩短区,梁的宽度增大。情况与轴向拉伸、压缩时的变形相似。

推断和假设

假设：(1)梁在纯弯曲时，各横截面始终保持为平面，并垂直于梁轴。此即弯曲变形的平面假设。

(2)纵向纤维之间没有相互挤压,每根纵向纤维只受到简单拉伸或压缩。中性层：从伸长到缩短区，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短。这一长度不变的过渡层称为中性层。中性轴：中性层与横截面的交线在纯弯曲的条件下，所有横截面仍保持平面，只是绕中性轴作相对转动，横截面之间并无互相错动的变形，而每根纵向纤维则处于简单的拉伸或压缩的受力状态。

纯弯曲时梁的正应力

(1)几何方面:纵向线段的线应变与其距中性层的距离成正比(2)物理关系横截面上的正应力沿宽度均匀分布，沿高度呈线性规律变化，在中性轴各点处的正应力均为零(3)静力关系:对称弯曲梁纯弯曲时横截面上任一点处的正应力Iz——横截面对中性轴的惯性矩

抗弯截面系数

截面的轴惯性矩和抗弯截面系数轴惯性矩的计算直径为d的实心圆截面,其对中性轴的惯性矩：

抗弯截面系数：

常见简单几何形状截面的惯性矩和抗弯截面模量等，几何参数可查阅资料。平行轴定理:平行轴定理例一矩形截面梁，如图所示。计算1-1截面上A、B、C、D各点处的正应力，并指明是拉应力还是压应力。

解

(1)计算1-1截面上弯矩

(2)计算1-1截面惯性矩

(3)计算1-1截面上各指定点的正应力

拉应力

压应力

压应力§6－2梁弯曲横截面上的切应力

梁弯曲横截面上的切应力

矩形截面梁

假设如下：(1)横截面上各点处的切应力均平行于侧边；

(2)距中性轴等距离的各点处的切应力大小相等。

切应力

最大切应力

工字形截面梁

翼缘上的切应力主要是水平方向的切应力分量,平行于y轴方向的切应力分量则是次要的。研究表明,翼缘上的最大切应力比腹板上的最大切应力要小得多，如图所示。因此在强度计算时一般不予考虑。最大切应力

A1为腹板的面积

圆形截面梁和薄壁环形截面梁

圆形截面切应力分布规律如图所示,截面上的最大切应力为截面上平均切应力的4/3倍。即

τmax=4τ均/3≈1.33FQ/A

薄壁环形截面环形截面上的切应力分布规律如图所示。截面上的最大切应力为截面上平均切应力的2倍,即τmax=2τ均

=2FQ/A

以上各式中上A为截面的面积,τ均为截面上平均切应力。§6－3梁的强度计算

梁弯曲正应力强度条件

弯曲正应力强度条件梁正应力强度条件,可用来解决强度校核，设计截面尺寸和确定许可载荷这三类问题。

或等截面直梁的最大正应力

梁的切应力强度条件

等直梁的最大切应力，发生在最大剪力所在横截面的中性轴上各点处,梁梁的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力,即切应力强度条件是

τmax≤[τ]

根据强度条件可以解决下述三类问题：

(1)强度校核验算梁的强度是否满足强度条件，判断梁的工作是否安全。

(2)设计截面尺寸根据粱的最大载荷和材料的许用应力；确定梁截面的尺寸和形状,或选用合适的标准型钢。

(3)确定许用载荷根据粱截面的形状和尺寸及许用应力，确定梁可承受的最大弯矩，再由弯矩和载荷的关系确定梁的许用载荷。

例

一吊车(图a))用32c工字钢制成，将其简化为一简支梁(图b))，梁长l=l0m，自重力不计。若最大起重载荷为F=35kN(包括葫芦和钢丝绳),许用应力为[σ]=130MPa，试校核梁的强度。解1)求最大弯矩。当载荷在梁中点时，该处产生最大弯矩，从图c)中可得

2）校核梁的强度。查型钢表得32c工字钢的抗弯截面系数Wz=760cm3，则说明梁的工作是安全的

例一螺旋压板夹紧装置(如图)，已知压紧力P

=3kN，a=50mm，材料的许用弯曲应力[σ］=150MN/m2。试校核压板AC的强度。

解：压板可简化为一简支梁

绘制弯矩图如图

最大弯矩在截面B上

校核压板的强度需计算B处截面对其中性轴的惯性矩抗弯截面系数为

最大正应力为

故压板的强度足够

例图a)所示为简支梁,材料的许用正应力[σ]=140MPa,许用切应力[τ]=80MPa。试选择合适的工字钢型号。解：1）由静力平衡方程求出梁的支反力FA=54kN，FB=6kN，作剪力和弯矩图如图2)选择工字钢型号。由正应力强度条件得

查型钢表，选用12.6号工字钢，Wz=77.529×103mm3，

t=8.4m，H=126mm，b=5mm3)切应力强度校核。12.6号工字钢腹板面积为故切应力强度不够。需重选:若选用14号工字钢，其H=140mm，t=9.1mm，b=5.5mm，则

应力不超过许用切应力的5％，所以最后确定选用14号工字钢

例

T形截面外伸梁尺寸及受载如图a)、b)所示,截面对形心轴z的惯性矩Iz=86.8cm4，y1=38cm，材料为铸铁，其许用拉应力[σt]=23MPa，许用压应力[σc]=40MPa。试校核强度。解

1)由静力平衡方程求出梁的支反力FA=0.6kN，FB=2.2kN，并作弯矩图如图c)所示。

2)校核粱的强度。截面B处：最大拉应力发生于截面上边缘各点处，得

最大压应力发生于截面下边缘各点处，得

截面C处：最大拉应力发生于截面下边缘各点处，得

梁的工作是安全的

§6－4提高梁的弯曲强度的措施

采用合理的截面形状

采用Iz和