分层培优：角的比较与运算（解析版）-提能力

2/2角的比较与运算（分层培优提分练）1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列式子中错误的是（

）A．38.78°=38°4B．50°4C．98°4D．108°1【答案】D【分析】本题考查了度分秒的换算，根据“1度=60分，即1°=60'，1分=60秒，即1【详解】解：A、38.78°=38°46B、50°42C、98°45D、108°18故选：D．2．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α≠∠β的图形有（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了三角板的有关角度计算问题，根据图形分别求出每个选项中∠α、【详解】解：A、由图可得，∠β=45°，∠α=180°-90°-45°=45°，∴∠α=∠β，该选项不合题意；B、由图可得，∠α=90°-45°=45°，∠β=90°-45°=45°，∴∠α=∠β，该选项不合题意；C、由图可得，∠α=∠β=180°-45°=135°，该选项不合题意；D、由图可得，∠α=90°-30°=60°，∠β=180°-∠α=120°，∴∠α≠∠β，该选项符合题意；故选：D．3．（24-25七年级上·河南郑州·期中）下列说法：其中正确的说法是（

）①单项式-5πx2y33的次数是6；②已知∠AOB为锐角，如果∠AOP=12∠AOB，那么射线OP是∠AOB的平分线；③2时A．①② B．③④ C．②④ D．①②③④【答案】B【分析】本题考查的是单项式的次数的含义，角平分线的定义，钟面角的含义，角的数量规律的探究，掌握以上基础知识是解本题的关键．根据单项式的次数的含义可判断①，根据角平分线的定义可判断②，根据钟面角的计算方法可判断③，根据角的数量关系的探究可判断④，从而可得答案．【详解】解：单项式-5πx2y∵∠AOB为锐角，∠AOP=12∠AOB，且OP∴射线OP是∠AOB的平分线；故②不符合题意；∵2时40分，时针与分针的夹角为：30°×5+13×30°=160°∵从一个锐角的顶点出发，在它的内部引5条射线后，一共可得：1+2+3+4+5+6=21（个）锐角，故④符合题意；故选：B．4．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC、OD、OE，且OC平分∠AOD，∠BOE=3∠DOE，∠COE=70°，则∠BOE的度数为（）A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】D【分析】本题考查几何图形中角度的计算，设∠DOE=x，则∠BOE=3x，根据角之间的等量关系求出∠AOD、∠COD、∠COE的大小，然后根据平角的定义建立关于x的方程，求解即可．掌握角平分线的定义是解答的关键．【详解】解：设∠DOE=x，则∠BOE=3x，∵∠COE=70°，∴∠DOC=70°-x，∵OC平分∠AOD，∴∠AOD=2∠DOC=270°-x∵∠AOD+∠DOE+∠BOE=180°，∴140°-2x+x+3x=180°，解得：x=20°，∴∠BOE=3x=3×20°=60°，∴∠BOE的度数为60°．故选：D．5．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，OC是∠BOD的平分线，OE是∠BOC内部一条射线，过点O作射线OA，在平面内沿箭头方向转动，使得∠AOB:∠BOE=3:2，若∠BOD=120°，∠COE=30°则∠AOC的度数为（

）A．15° B．105° C．15°或105° D．无法计算【答案】C【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，理清图中各角度之间的数量关系是解答本题的关键．由OC是∠BOD的平分线得∠COD=∠COB=12∠BOD=60°，进而求得∠BOE=∠COB-∠COE=30°，结合∠AOB:∠BOE=3:2得∠AOB=32∠BOE=45°，再分两种情况：当OA在【详解】解：∵∠BOD=120°，OC是∠BOD的平分线，∴∠COD=∠COB=1又∵∠COE=30°，∴∠BOE=∠COB-∠COE=30°，而∠AOB:∠BOE=3:2，∴∠AOB=3如图，当OA在AB下方时，此时，∠AOC=∠COB+∠AOB=60°+45°=105°；如图，当OA在AB上方时，此时，∠AOC=∠COB-∠AOB=60°-45°=15°；即：∠AOC=15°或105°，故选：C．6．（23-24七年级上·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若∠COB=3∠AOD，OE为∠AOD的角平分线，则∠COE的度数是（

）A．45° B．60° C．65° D．67.5°【答案】D【分析】本题考查了三角板中的角度计算和角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．设∠AOD=x，则∠COB=3x，得到∠BOC=180°-x，则180°-x=3x，解得x=45°，则∠DOE=12∠AOD=22.5°【详解】解：设∠AOD=x，则∠COB=3x，由题意可知，∠AOB=∠COD=90°，∴∠BOC=∠AOB+∠COD-AOD=90°+90°-x=180°-x，∴180°-x=3x解得，x=45°，∴∠AOD=45°，∵OE为∠AOD的角平分线，∴∠DOE=1∴∠COE=∠COD-∠DOE=67.5°故选：D．7．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知OC是∠AOB的平分线，∠BOD=13∠COD，OE平分∠COD，设∠AOB=α，则∠BOE=A．516α或18α B．516α或16α【答案】A【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当OD位于∠BOC内部时和当OD位于∠BOC外部时，解答即可．【详解】解：如图1，当OD位于∠BOC内部时，∵∠AOB=α，OC是∠AOB的平分线，∴∠COB=1∵∠BOD=1∴∠BOD=14∠COB=∵OE平分∠COD，∴∠EOD=1∴∠BOE=∠EOD+∠BOD=3如图2，当OD位于∠BOC外部时，∵∠AOB=α，OC是∠AOB的平分线，∴∠COB=1∵∠BOD=1∴∠BOD=12∠COB=∵OE平分∠COD，∴∠EOD=1∴∠BOE=∠EOD-∠BOD=3综上可知∠BOE=516α或故选：A．8．（23-24七年级上·山东济南·期末）在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有三个角，分别是∠AOB、∠AOC、∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“好好线”．若∠AOC=30°，且射线OC是∠AOB的“好好线”，则∠AOB的度数有下列情况：①45°②60°③90°④120°．其中正确的是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④【答案】C【分析】本题考查新定义理解及角的运算，解题的关键是运用分类讨论思想进行分类讨论．再根据角的和差进行计算即可得．【详解】解：①∵∠AOC=30°,∠AOB=45°,∴∠BOC=15°,∴∠AOC=2∠BOC,∴射线OC是∠AOB的“好好线”；②∵∠AOC=30°,∠AOB=60°,∴∠BOC=30°，∴∠AOB=2∠AOC,∴射线OC是∠AOB的“好好线”；③∵∠AOC=30°,∠AOB=90°,∴∠BOC=60°，∴∠BOC=2∠AOC,∴射线OC是∠AOB的“好好线”；④∵∠AOC=30°,∠AOB=120°,∴∠BOC=90°,∴不存在一个角的度数是另一个角的度数的两倍，∴射线OC不是∠AOB的“好好线”；故选：C．9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD=40°，OA平分∠COE，则∠BOE=【答案】140°/140度【分析】本题考查了角平分线的有关计算，由题意得∠AOC=∠BOD=40°，进一步可得∠COE=2∠AOC=80°，求出∠DOE=180°-∠COE=100°即可求解；【详解】解：由题意得：∠AOC=∠BOD=40°，∵OA平分∠COE，∴∠COE=2∠AOC=80°，∴∠DOE=180°-∠COE=100°，∴∠BOE=∠DOE+∠BOD=140°，故答案为：140°10．（24-25七年级上·全国·期末）如图，∠AOB是平角，OC是射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，若∠COE=28°，则∠AOD的度数为．【答案】62°/62度【分析】本题考查角平分线的定义，平角的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．根据角平分线的定义求出∠BOC=56°，推出∠AOC=124°，再根据角平分线的定义求解即可．【详解】解：∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COE=56°．∴∠AOC=180°-∠BOC=124°．∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠COD=1故答案为：62°．11．（24-25七年级上·全国·期末）已知∠AOB=60°,∠AOC=13∠AOB，射线OD平分∠BOC，则∠COD【答案】20°或40°【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，正确求得∠BOC的度数是关键，因考虑不周，容易漏掉一种情况的解．分两种情况(OC在∠AOB内或外），分别首先求得∠BOC的度数，然后根据角平分线的定义求得∠COD的度数．【详解】解：当OC在∠AOB内时，如图1，则∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°-1∵射线OD平分∠BOC，∴∠COD=1当OC在∠AOB外时，如图2，则∠BOC=∠AOB+∠AOC=60°+1∵射线OD平分∠BOC，∴∠COD=1综上，∠COD=20°或40°．故答案为：20°或40°．12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，从∠AOB顶点O任意作一条射线OD，若OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，∠AOB=α，则∠COE的度数为【答案】1【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，掌握各角之间的和、差及倍数关系是解答本题的关键．根据角平分线的定义可求得∠COE=12∠AOB【详解】解：OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，∴∠COE=1∵∠AOB=α，∴∠COE=1故答案为：1213．（2024七年级上·全国·专题练习）已知：将一副三角板如图1摆放，∠AOB=60°，∠COD=45°，OM平分∠AOD，ON平分∠COB．（1）将图1中的三角板OCD绕点O旋转到图2的位置，则∠MON的度数是．（2）将图1中的三角板OCD绕点O旋转到图3的位置，则∠MON的度数是．【答案】52.5°52.5°【分析】本题考查了角平分线的计算，几何图形中角的计算．（1）由角平分线分别表示出∠MOD和∠NOB，则∠MON=12∠AOD+（2）同（1）由角平分线分别表示出∠MOD和∠NOB，则∠MON=12∠AOD+【详解】（1）∵OM平分∠AOD，ON平分∠COB，∴∠MOD=12∠AOD∴∠MON=1=====52.5°，故答案为：52.5°；（2）∵OM平分∠AOD，ON平分∠COB，∴∠MOD=12∠AOD∴∠MON======52.5°，故答案为：52.5°．14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，已知∠AOB=120°，∠COD=60°，OM在∠AOC的内部，ON在∠BOD的内部，∠AOM=13∠AOC，∠BON=13(1)如图②，∠COD从图①中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，则∠MON的度数为______；(2)当∠COD从图②中的位置绕点O逆时针旋转n°（0<n<120且n≠60）时，求∠MON的度数．【答案】(1)100°(2)∠MON的度数为100°【分析】本题考查了几何图形中角度的计算：（1）OC与OB重合时，∠BOD=∠COD=60°，∠AOC=∠AOB=120°，进而求出∠MOB和∠BON，最后根据∠MON=∠MOB+∠BON可得答案；（2）分0<n<60和60<n<120两种情况，根据图中角的和差关系求解即可．【详解】（1）解：OC与OB重合时，∠BOD=∠COD=60°，∠AOC=∠AOB=120°，所以∠BON=13∠BOD=20°所以∠MOB=∠AOC-∠AOM=120°-40°=80°，所以∠MON=∠MOB+∠BON=80°+20°=100°，故答案为：100°；（2）分以下情况讨论：①如答图①，当0<n<60时，因为∠BOC=n°，所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°-n°，∠BOD=∠COD-∠BOC=60°-n°，所以∠MON=∠MOC+∠BOC+∠BON=2②如答图②，当60<n<120时，因为∠BOC=n°，所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°-n°，∠BOD=∠BOC-∠DOC=n°-60°，所以∠MON=∠MOC+∠DOC+∠DON=2综上所述，∠MON的度数为100°．15．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）两个形状、大小完全相同的含有30°和60°的三角板如图1放置，PA,PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．(1)如图1，∠DPC=________°；(2)如图2，若三角板PBD保持不动．三角板PAC绕点P逆时针旋转一定角度后，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF的度数．(3)如图3，在图1的基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC旋转到与PM第一次重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，∠CPD∠BPN是否为定值?若是，请直接【答案】(1)90(2)∠EPF=30°(3)∠CPD∠BPN为定值，这个定值为【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，角平分线的定义，理解图示中角度的关系，掌握角度之间的数量关系，角度的和差计算方法是解题的关键．（1）根据题意可得，∠BPD=30°,∠APC=60°，由平角的性质可得∠DPC=180°-∠BPD-∠BPC，由此即可求解；（2）根据角平分线的定义可得，∠APF=∠FPD=12∠APD,∠CPE=∠EPD=12∠CPD，设∠CPF=x,∠CPE=y，则∠APF=∠APC-∠CPF=60°-x，（3）根据可以得可得∠CDP=90°,∠BPA=180°，运动的速度差为3-2=1°/秒，∠BPM=2t，用含t的式子分别表示出∠CPD,∠BPN，再根据题意计算即可求解．【详解】（1）解：根据题意可得，∠BPD=30°,∠APC=60°，∵∠BPD+∠DPC+∠APC=180°，∴∠DPC=180°-∠BPD-∠BPC=180°-30°-60°=90°，故答案为：90；（2）解：∵PF平分∠APD，PE平分∠CPD，∴∠APF=∠FPD=1设∠CPF=x,∠CPE=y，则∠APF=∠APC-∠CPF=60°-x，∠CPD=2x，∴2x+y=60°-y，整理得，x+y=30°，∵∠EPF=∠CDE+∠CDF=x+y，∴∠EPF=30°；（3）解：是定值，理由如下，由（1）可得，∠CDP=90°,∠BPA=180°，∵三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，设运动时间为t秒，∴速度差为3-2=1°/秒，∠BPM=2t，∴∠CPD=90°-t，∠BPN=∠BPA-∠BPM=180°-2t，∴∠CPD∠BPN∴∠CPD∠BPN为定值，这个定值为116．（2024七年级上·全国·专题练习）线段与角的计算．(1)如图①，已知线段AB=12cm，点C为线段AB上的一点，AC=4cm，点D，E分别是AC和BC的中点，求(2)如图②，已知∠AOB被分成∠AOC:∠COD:∠DOB=2:3:4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON=90°，求∠AOB的度数．【答案】(1)6(2)135°【分析】本题考查了线段的中点、线段的和差、角平分线的定义，熟练掌握以知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由线段的中点得出CD=2cm，CE=4cm，再由（2）设∠AOC=2x°，∠COD=3x°，∠DOB=4x°，则∠AOB=9x°，由角平分线的定义得出∠MOC=x°，【详解】（1）解：因为D，E分别是AC和BC的中点，所以DC=12AC因为AC=4cm所以CD=2cm因为AB=12cm，AC=4所以BC=8cm所以CE=4cm所以DE=DC+CE=6cm（2）解：设∠AOC=2x°，∠COD=3x°，因为OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，所以∠MOC=x°，∠NOD=2x所以∠MON=x°+3x因为∠MON=90°，所以6x=90，所以x=15，所以∠AOB=135°．17．（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边OM在射线OB上，边ON在直线AB的下方．(1)将图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②的位置，使边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；(2)将图①中的三角板绕点O顺时针旋转至图③的位置，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AO