重难点培优：线段的有关计算及压轴问题（原卷版）

2/2线段的有关计算及压轴问题（重难点培优，七大类型提分练）目录类型一、线段和差问题的计算 1类型二、线段中点的有关计算问题 2类型三、线段之间的数量关系的计算 2类型四、两点间距离的计算 3类型五、线段的动点问题 4类型六、线段的计算与分类讨论问题 5类型七、线段的计算与新定义探究问题 6提能力：压轴培优训练 7类型一、线段和差问题的计算1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，点C是线段AB的中点，点D在直线AB上，已知线段AB=a，AD=b．(1)尺规作图：在点A的左边找出点E，使AE=2b-a（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，若a=6，b=4，求线段CE的长．2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、B、C、D分别表示四个车站的位置．(1)用关于a、b的代数式表示A、C两站之间的距离是；（最后结果需化简）(2)若已知A、C两站之间的距离是10千米，求C、D两站之间的距离．3．（24-25七年级上·全国·课后作业）在数轴上有A、B两点，点A在点B的左边，若点A表示的数为-3，线段AB=8．(1)点B表示的数为___________；(2)在线段AB上有一点M满足AM=14AB，数轴上有一动点N从点A出发向右运动，若某一时刻AN-BN=MN类型二、线段中点的有关计算问题4．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点B在直线AP上，点M，N分别是线段AB,BP的中点．(1)如图①，点B在线段AP上，AP=15，求MN的长；(2)如图②，点B在线段AP的延长线上，AM-PN=3.5，点C为直线AB上一点，CA+CP=13，求CP的长．5．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．(1)如果AB=12cm，AM=5cm，求(2)如果MN=8cm，求AB6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，C是线段AB上一点，M，N，P分别是线段AC，CB，AB的中点．(1)若AB=10cm，则MN=_____cm(2)若AC=3cm，CP=1cm，求线段类型三、线段之间的数量关系的计算7．（22-23七年级上·四川眉山·期末）如图，线段CD在射线AB上运动，AB=m，CD=n，且(1)求线段AB、CD的长；(2)点M、N分别为线段AC、BD的中点，若BC=2，求MN的长；(3)当CD运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段AB延长线上任意一点求证：PA+PB=2PC．8．（22-23七年级上·河南许昌·期末）如图，点C在线段AB上，线段AC=15，BC=9，M，N分别在线段AC，BC上，且AM=13AC(1)求线段MN的长度．(2)若点C为线段AB上任意一点，且AC+BC=m，其他条件不变，则线段MN的长度为．(3)若题中的条件变为“点C在线段AB的延长线上”，其他条件不变，则MN的长度会有变化吗？若有变化，请求出结果．9．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，点D为线段AB的中点．

(1)如图1，若AB=4cm，点C为线段AD的中点，则BC=________cm(2)如图2，若点E在线段AB上，且EB=5DE，求AEEB(3)若AB=a，点E在直线AB上，且BE=b(a>b)，点F为BE的中点，请探究FD与a、类型四、两点间距离的计算10．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如图所示，A、B、C是一条公路上的三个村庄，A，B间的路程为100km，A，C间的路程为40km，现欲在C，B之间建一个车站P，设P，C之间的路程为(1)若P为线段BC的中点，求AP的长；(2)用含x的代数式表示车站P到三个村庄的路程之和；(3)若车站P到三个村庄的路程之和为102km(4)若要使车站P到三个村庄的路程总和最小，问车站应建在何处？最短路程是多少？11．（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）已知线段AB=28，点M是线段AB的中点，点P是直线AB上任意一点．(1)如图1，当点P是线段AM的中点，且点N是线段AP的中点时，求线段BN的长；(2)若点N是线段PB的中点；①当线段MP=2时，求线段BN的长；②若点P在线段BA的延长线上，直接写出线段AP与线段MN的数量关系．12．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）如图，点C在线段AB上，AB=18，AC=2BC．(1)AC=；BC=．(2)若点D、E在过线AB上，点D在点E的左侧，线段DE在线段AB上移动，DE=8．①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF=3AD，CE+EF=3，画出图形，求AD的长；类型五、线段的动点问题13．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，线段AB=24，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，点M为AP的中点，设点P运动的时间为t秒．(1)用含t的代数式表示PB的长(2)当点P在射线AB上运动时，出发多少秒后PB=2AM？(3)当点P在线段AB的延长线上运动时，点N为BP的中点，有下列结论：①MN的长度不变；②MA+PN的值不变．其中正确的结论是__________，请求出其值．14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，线段AB=20cm，C为AB的中点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿线段AB向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段AB向左运动，到点A停止．若P,Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x＞0）(1)AC=cm．(2)是否存在某一时刻，使得C,P,Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．15．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，点B在线段AC上，且AB=9，BC=3．动点P从点A出发，沿AC以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为ts(1)线段AB、BC的中点之间的距离为_______．(2)当点P到点C时，求PQ的长．(3)求PQ的长（用含t的代数式表示）．(4)设2PQ=AC时，直接写出t的值．类型六、线段的计算与分类讨论问题16．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．(1)求线段MN的长度；(2)根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其他条件不变，求MN的长度；(3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时：①点P恰好为线段CQ的中点？②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外）17．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．(1)若AB=15，DE=6，线段DE在线段AB上移动．①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②若点F（异于A、B、C）在线段AB上，且AF=3AD，CE+EF=3，求AD的长；(2)若AB=2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式AD+ECBE=3218．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）【问题提出】同学们在解决数学问题的时候，我们往往运用分类讨论来解决问题的多种情况，如此题．例如若有x-3=4，求x①当x-3≥0时，此时可以解得x=．②当x-3≤0时，此时可以解得x=．【知识迁移】仿照上面的分析思路，解决下面两个问题（1）如图，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为-4，2，1，请在数轴上标出线段AB的中点D，并写出D的所代表的数；若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段AB的长，求线段DE的长．（2）如图，有公共端点P的两条线段MP、NP组成一条折线M-P-N，若该折线M-P-N上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A-C-B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD=6，CE=8，则线段BC的长为．类型七、线段的计算与新定义探究问题19．（24-25七年级上·北京·期中）对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段AB，CD的中点，若MN=e2AB+CD，则将e的值称为线段AB，CD的相对离散度，特别地，当点M，N重合时，规定e=0．设数轴上的点O表示的数是0，点T(1)若数轴上点A，B，C，D表示的数分别是-3，-1，3，5，则线段AB的中点表示的数是______，线段AB，CD的相对离散度是______．(2)设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段OS，OT的相对离散度e=12，求(3)数轴上点P，Q都在O点的右侧（其中P，Q不重合），点R是线段PQ的中点，设线段OP，OT的相对离散度为e1，线段OQ，OT的相对离散度为e2，当e1=e2时，直接写出R所表示的数r的取值范围．（参考材料：1、若ab=4，则a+b>4．其中a>0，b>0且a≠b；2、如图：点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M20．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；（2）若AB=12cm，点C是线段AB的巧点，则AC最长为______cm【解决问题】（3）如图②，已知AB=12cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为ts．当t为何值时，P为提能力：压轴培优训练21．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知点C在线段AB上，AC=2BC，线段DE在直线AB上移动（点D，E不与点A，B重合）．(1)若AB=24，求AC和BC的长；(2)若AB=15，DE=6，线段DE在线段AB上移动，且点D在点E的左侧．①如图，当点E为BC中点时，求AD的长；②点F（不与点A，B，C重合）在线段AB上，AF=3AD，CF=3，求AE的长．22．（24-25七年级上·全国·期末）在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足a+362(1)求线段AB的长；(2)P，Q两点分别从A，B两点同时沿数轴的正方向运动，在到达点O前，P，Q两点的运动速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒．当点P经过点O后，它的速度变为原速度的一半；点Q经过点O后，它的速度变为原速度的2倍．设运动时间为t秒．①当点P为线段AB的中点时，求线段OQ的长；②数轴上点M表示的数为12，当OP=QM时，求t的值．23．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）如图，AB=13cm，点P是线段AB上一点，且AP=8cm，点C从点A出发，以2cm/s的速度向点B运动．同时点D从点P出发，以4cm/s的速度沿射线PB(1)当t=1时，AC=___________cm，CD=__________cm，此时线段AC，CD，AP之间的数量关系是___________．(2)当点C在线段AP上运动时，猜想线段AC，CD，AP之间的数量关系，并说明理由．(3)当点C在线段PB上运动时，请直接写出线段AC，CD，AP之间的数量关系．24．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，AB=10，点C是线段AB延长线上的动点，在线段BC上取一点N使得BN=2CN，点M为线段AC的中点，则MN-1

25．（24-25七年级上·河北张家口·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．嘉琪在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：操作一：（1）如图1，在数轴上，三个有理数从左到右依次是-1，m，m+1，借助圆规，在数轴上画出原点O；操作二：（2）折叠这条数轴所在纸面，若使-1表示的点与数2与表示的点重合，数m表示的点与数-2023表示的点重合，求m；操作三：（3）从数轴上（如图2）剪下9个单位长度（从-1到8）的部分（不考虑宽度），并把这条数轴沿数m所在点竖直折叠，然后在重叠部分某处剪开，得到三条线段．若这三条线段的长度之比为1:1:2，直接写出m的值．26．（2024七年级上·全国·专题练习）如图1，已知点C在线段AB上，且AM:CM=3:7，BN=3(1)若AC=20，BC=10，求线段MN的长；(2)若C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC=a，其他条件不变，请写出线段MN的长，并说明理由；(3)如图2，若C为线段AB延长线上任意一点，且满足AC-CB=b，AM:CM=3:7，BN=310BC27．（2024七年级上·全国·专题练习）如图：A、M、N、B四点在同一直线上．(1)若AM=BN．①比较线段的大小：ANBM（填“＞”、“=”或“＜”）；②若MN=35AN且AN=15cm，则AB(2)若线段AB被点M、N分成了2：4：3三部分，且AM的中点P和NB的中点Q之间的距离是28．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如果有两个点在由两条有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的三部分，那么这两个点依次叫做这条折线的“13折点”和“23折点”．如图，点M和N分别是折线A-B-C的“13折点”和“2(1)当AB=12BC时，点M(2)当AB>BC时，若点D为线段AB的中点，BD=8，CN=6，求BN的长；(3)若点D在线段BC上，且CD=14BC，BD=a，CN=ba>32b29．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）已知点C在线段AB上，AC=2BC，AB=48，点D，E在线段AB上，点D在点E的左侧，点E在点C的右侧，DE=16，线段DE在线段AB上移动．(1)如图①，当E为BC的中点时，求AD的长；(2)如图②，当CD=18AC30．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知点C在线段AB上，AC=2BC，AB=18．点D，点E在直线AB上，满足DE=8，且点D在点E的左侧．(1)当E为BC中点时，求AD的长；(2)点F（异于A，B，C三点）在线段AB上，AF=3AD，CE+EF=3，求AD的长；(3)若点D从点A处出发，以3个单位长度/秒的速度沿线段AB向右运动，点E随之向右运动，设运动时间为t秒，求出当点D或点E三等分线段AB时t的值．31．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，P是线段AB上任一点，AB=12cm,C,D两点分别从P,B同时向A点运动，且C点的运动速度为(1)若AP=8cm①运动1s后，求CD的长．②当D在线段PB运动上时，探究AC与CD的数量关系．∵AP=8,∴BP=，AC=8-2t，∴DP=，∴CD=DP+CP=4-3t+2t=4-t，∴AC与CD的数量关系为．(2)如果t=2s时，CD=1cm，直接写出32．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）定义：若线段上的一个点把这条线段分成1:2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．

(1)如图1，点M是线段AB的一个三等分点，满足BM=2AM，若AB=9cm，则AM=______(2)如图2，已知AB=9cm，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒23cm的速度沿射线AB①当t为何值时，点C是线段AD的三等分点②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线BA方向运动，在运动过程中，当点C是线段AE的三等分点时，点E也是线段AD的三等分点，请直接写此时出线段EB的长度．33．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点C在线段AB上，AC=2BC，线段DE在直线AB上移动（点D，E不与点A，B重合）(1)若AB=24，求AC和BC的长；(2)若