2025年秋季高一开学摸底考数学试题（人教A版）及答案

试题试题2025年秋季高一开学摸底考试模拟卷01数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．考试范围：初高中衔接+集合+不等式第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A． B．C． D．2．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B．C．且 D．且3．若集合，集合，则（

）A． B． C． D．4．不等式的解集为（

）A． B． C． D．5．如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，，分别延长BA、CD，交点为E，作，并与EC的延长线交于点F.若，，则CF的长为（

）A． B． C． D．6．已知，则的最大值是（

）A． B．4 C．6 D．77．如图，在边长为的正方形中，对角线与相交于点，点是上的一个动点，过点作，分别交正方形的两条边于点，，连接，，设，的面积为，则能大致反映与之间的函数关系的图象为（

）A． B．C． D．8．如图所示，在矩形中，，，矩形内部有一动点满足，则点到两点的距离之和的最小值为（

）.A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某同学抽取一个学习小组统计这些同学本学期的用笔情况，结果如下表：用笔数（支）学生数则关于这名学生本学期的用笔数量，下列说法正确的是（

）A．中位数是支 B．平均数是支 C．众数是支 D．方差是10．下列说法正确的有（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则11．如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中，正确的是（

）

A． B．C． D．若为任意实数，则第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．分解因式：．13．要使式子有意义，则x的取值范围为.14．某学校举办秋季运动会时，高一某班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田赛，有人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有人，同时参加游泳比赛和径赛的有人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram），可知同时参加田赛和径赛的有人．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知集合．(1)当时，求；(2)若，求实数m的取值范围．16．（15分）某经销商购进5瓶A型号消毒水和6瓶B型号消毒水一共需要280元，每瓶B型号消毒水的进价比每瓶A型号消毒水多10元.(1)求每瓶A型号消毒水的进价；(2)该经销商用2000元购进A，B两种型号的消毒水进行销售.当A型号消毒水每瓶定价为30元时，可售出100瓶，若每涨1元，则销量减少5瓶，B型号消毒水每瓶售价为60元，且购进的A，B两种型号消毒水都卖完，设每瓶A型号消毒水定价为x元（x为大于30的整数），A，B两种型号的消毒水分别有，瓶（，都为非负整数）.①分别写出，关于x的函数关系式；②求销售A，B两种型号消毒水的总利润的最大值；③若销售A，B两种型号消毒水的总利润不少于1945元，直接写出每瓶A型号消毒水有几种定价.17．（15分）如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点将绕着点逆时针旋转得到．(1)反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式；(2)一次函数图象经过、两点，求该一次函数的表达式．18．（17分）已知二次函数.(1)求二次函数的顶点坐标和对称轴；(2)当时，函数的最大值和最小值分别是多少？(3)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值.19．(17分)数学课上神奇而有魔力的黄金分割点激起了同学们的极大兴趣，某学习兴趣小组在探究该知识时，由“黄金分割点”联想到“黄金分割线”，类似地给出定义：直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为、，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．(1)该学习兴趣小组猜想：如图1，在矩形中，若点E是线段的黄金分割点，则线段的垂线就是矩形的黄金分割线，你认为对吗？为什么？(2)该学习兴趣小组在进一步探究中发现如图2，在（1）的条件下，点M是线段的中点，另外一条直线经过点M，与矩形两条对边分别交于点G和点H，则直线也是矩形的黄金分割线，请你说明理由；(3)请你比较分析与动手操作：①一条线段有两个黄金分割点，一个矩形有多少条黄金分割线；②如图3所示，在中，点是线段的黄金分割点，点F是线段上的另外一点（异于点E），请过点F作一条的黄金分割线，并说明理由．2025年秋季高一开学摸底考试模拟卷01数学·答案及评分参考一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678ACBBCABD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ACDACBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分．12．13．14．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）【答案】(1)(2)【详解】（1）不等式解得，集合，当时，集合，所以；（2）由，得，当时，，即，符合题意；当时，，解得，综上：实数m的取值范围.16．（15分）【答案】(1)20元【详解】（1）解：设每瓶A型号消毒水的进价为x元，依题意，得，解得：，答：每瓶A型号消毒水的进价为20元.（2）①y1=100-5(x-30)=250-5x，y2=(2000-20y1)÷30=[2000-20(250-5x)]÷30=x-100，∴，；②设销售销售A，B两种型号消毒水的总利润为w元，依题意得：，，∵，（x为大于30的整数）∴，且x为3的倍数；∵-5<0，∴当元时，w有最大值，最大值为2125元，答：销售A，B两种型号消毒水的总利润的最大值为2125元；③由题意，得-5(x-45)2+2125≥1945.解得：39≤x≤51，∵，且x为3的倍数，∴x=39，42，45，48，∴每瓶A型号消毒水有4种定价.17．（15分）【答案】(1)(2)【详解】（1）点的坐标是，点的坐标是，点为中点，，，，将绕着点逆时针旋转得到，，反比例函数的图象经过点，，该反比例函数的表达式为；（2）作轴于．，，，，在和中≌，，，，，，，，，设一次函数的解析式为，把，代入得，，解得，该一次函数的表达式为．18．（17分）【答案】(1)，(2)最大值为，最小值为(3)或【详解】（1）∵，∴对称轴为，顶点坐标为.（2）∵顶点坐标为，∴当时，；∵当时，随着的增大而减小，∴当时，，∵当时，随着的增大而增大，∴当时，；综上所述，当时，函数的最大值为，最小值为.（3）当时，对进行分类讨论：①当时，即，随着的增大而减小，当时，，当时，，∴，∴，解得：（不合题意，舍去）；②当时，顶点的横坐标在取值范围内，∴，当时，在时，，，即，解得：，（不合题意，舍去）；当时，在时，，∴，即，解得：，（不合题意，舍去）；③当时，随着的增大而增大，当时，，当时，，∴，即，解得：（不合题意，舍去）；综上所述：或.19．(17分)【答案】(1)垂线是矩形的黄金分割线，理由见解析(2)理由见解析(3)①无数条；②作图见解析，理由见解析【详解】（1）垂线是矩形的黄金分割线，理由如下：点是线段的黄金分割点，，矩形，矩形，矩形的宽相等，则，，即有，故垂线是矩形的黄金分割线.（2），，又点是线段的中点，，又，，，，又，.因此，直线也是矩形的黄金分割线.（3）①根据以上的结论可知一个矩形有无数条黄金分割线；②连接、，过点作，交于点，则，，，，，为所求的黄金分割线.2025年秋季高一开学摸底考试模拟卷01数学•全解全析第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由轴对称图形和中心对称图形的性质可知选项A符合题意，故选：A2．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B．C．且 D．且【答案】C【详解】由题意得：，解得：且.故选：C.3．若集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】集合，所以.故选：B4．不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以.所以，所以或.所以不等式的解集为.故选：B.5．如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，，分别延长BA、CD，交点为E，作，并与EC的延长线交于点F.若，，则CF的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】连接，取中点.因为，故，又，故，所以，故，所以，，，故.故，又，，故，所以.又因为，，故，所以，故.又，故，所以.又，，，故，，故，故，解得故选：C6．已知，则的最大值是（

）A． B．4 C．6 D．7【答案】A【详解】，，，当且仅当，即时取等号.所以的最大值是.故选：A.7．如图，在边长为的正方形中，对角线与相交于点，点是上的一个动点，过点作，分别交正方形的两条边于点，，连接，，设，的面积为，则能大致反映与之间的函数关系的图象为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】当点在上时，四边形是正方形，边长为，，，，，，，，，，，，，，，，当点在上时，同理可得：，．由此可知，只有B中图象符合题意，故选：B.8．如图所示，在矩形中，，，矩形内部有一动点满足，则点到两点的距离之和的最小值为（

）.A． B． C． D．【答案】D【详解】设中边上的高是h．∵，∴，∴，∴动点P在与平行且与的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接，，则的长就是所求的最短距离．在中，∵，∴，即的最小值为．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某同学抽取一个学习小组统计这些同学本学期的用笔情况，结果如下表：用笔数（支）学生数则关于这名学生本学期的用笔数量，下列说法正确的是（

）A．中位数是支 B．平均数是支 C．众数是支 D．方差是【答案】ACD【详解】将20名学生本学期的用笔数量从小到大排列可得，排在第位的数为，排在第位的数为，所以这名学生本学期的用笔数量的中位数为，A正确；这名学生本学期的用笔数量的平均数为，B错误，这名学生本学期的用笔数量的众数为，C正确；这名学生本学期的用笔数量的方差为，D正确；故选：ACD.10．下列说法正确的有（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】AC【详解】A中，因为，可得，所以，所以A正确；B中，若，也可以，所以不正确，所以B不正确；C中，，因为，，而，所以，即，所以C正确；D中，若，当时，则，则错误，所以D不正确．故选：AC．11．如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中，正确的是（

）

A． B．C． D．若为任意实数，则【答案】BCD【详解】由图可知，设的横坐标分别为，则，而，即，则，故，则，所以，A选项错误.，B选项正确.，C选项正确.，所以，D选项正确.故选：BCD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．分解因式：．【答案】【详解】，故答案为.13．要使式子有意义，则x的取值范围为.【答案】【详解】∵有意义，∴，解得：，即.故答案为：14．某学校举办秋季运动会时，高一某班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田赛，有人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有人，同时参加游泳比赛和径赛的有人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram），可知同时参加田赛和径赛的有人．【答案】【详解】设同时参加田赛和径赛的学生人数为，如下图所示：由韦恩图可的，解得.因此，同时参加田赛和径赛的有人.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知集合．(1)当时，求；(2)若，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）不等式解得，集合，当时，集合，所以；（2）由，得，当时，，即，符合题意；当时，，解得，综上：实数m的取值范围.16．（15分）某经销商购进5瓶A型号消毒水和6瓶B型号消毒水一共需要280元，每瓶B型号消毒水的进价比每瓶A型号消毒水多10元.(1)求每瓶A型号消毒水的进价；(2)该经销商用2000元购进A，B两种型号的消毒水进行销售.当A型号消毒水每瓶定价为30元时，可售出100瓶，若每涨1元，则销量减少5瓶，B型号消毒水每瓶售价为60元，且购进的A，B两种型号消毒水都卖完，设每瓶A型号消毒水定价为x元（x为大于30的整数），A，B两种型号的消毒水分别有，瓶（，都为非负整数）.①分别写出，关于x的函数关系式；②求销售A，B两种型号消毒水的总利润的最大值；③若销售A，B两种型号消毒水的总利润不少于1945元，直接写出每瓶A型号消毒水有几种定价.【答案】(1)20元【详解】（1）解：设每瓶A型号消毒水的进价为x元，依题意，得，解得：，答：每瓶A型号消毒水的进价为20元.（2）①y1=100-5(x-30)=250-5x，y2=(2000-20y1)÷30=[2000-20(250-5x)]÷30=x-100，∴，；②设销售销售A，B两种型号消毒水的总利润为w元，依题意得：，，∵，（x为大于30的整数）∴，且x为3的倍数；∵-5<0，∴当元时，w有最大值，最大值为2125元，答：销售A，B两种型号消毒水的总利润的最大值为2125元；③由题意，得-5(x-45)2+2125≥1945.解得：39≤x≤51，∵，且x为3的倍数，∴x=39，42，45，48，∴每瓶A型号消毒水有4种定价.17．（15分）如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点将绕着点逆时针旋转得到．(1)反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式；(2)一次函数图象经过、两点，求该一次函数的表达式．【答案】(1)(2)【详解】（1）点的坐标是，点的坐标是，点为中点，，，，将绕着点逆时针旋转得到，，反比例函数的图象经过点，，该反比例函数的表达式为；（2）作轴于．，，，，在和中≌，，，，，，，，，设一次函数的解析式为，把，代入得，，解得，该一次函数的表达式为．18．（17分）已知二次函数.(1)求二次函数的顶点坐标和对称轴；(2)当时，函数的最大值和最小值分别是多少？(3)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值.【答案】(1)，(2)最大值为，最小值为(3)或【详解】（1）∵，∴对称轴为，顶点坐标为.（2）∵顶点坐标为，∴当时，；∵当时，随着的增大而减小，∴当时，，∵当时，随着的增大而增大，∴当时，；综上所述，当时，函数的最大值为，最小值为.（3）当时，对进行分类讨论：①当时，即，随着的增大而减小，当时