苏教版高一暑假作业1集合与常用逻辑用语不等式复数

苏教版高一暑假作业1：集合与常用逻辑用语、不等式、复数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(2024·浙江省温州市·单元测试)设a∈R，若复数(2+ai)(a−i)是纯虚数(i为虚数单位)，则a=(

)A.0 B.2 C.−22.(2024·河南省平顶山市·其他类型)已知集合A=x∈N|86−x∈N，则集合A的所有非空子集的个数为(

A.5个 B.6个 C.7个 D.8个3.(2023·河北省张家口市·月考试卷)已知−2<x<2，1<y<3，则x−2y的取值范围是(

)．A.(−8,0) B.(−8,2) C.(−4,2) D.(−10,−2)4.(2023·浙江省·历年真题)已知集合A={y|y=sinx}，B={y|y=2x,x≤0}A.(−∞,0] B.[−1,0] C.[−1,0) D.(0,1]5.(2023·北京市·原创试题)已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(1,−1)，(0,1)，则z1zA.1+i B.−1+i C.−1−i D.1−i6.(2024·广东省·单元测试)若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式中一定成立的是(

)A.a+b≥b−c B.ac≥bc C.c2a−b>07.(2024·湖南省娄底市·期末考试)已知x>0，则x2−x+4x的最小值为A.5 B.3 C.−5 D.−5或38.(2024·辽宁省·合格性考试)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知a,b为非零实数，且a>b，则下列结论正确的是(

)A.ac2>bc2 B.1a二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.(2023·广东省深圳市·单元测试)以下四个选项表述正确的有(

)A.0∈∅ B.∅⊆{0} C.{a,b}⊆{b,a} 10.(2023·广东省佛山市·月考试卷)下列说法中正确的是(

)A.“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充要条件

B.“两个三角形全等”是“两个三角形的面积相等”的充分不必要条件

C.“m≤1”是“关于x的方程mx2+2x+1=0有两个实数解”的必要不充分条件

D.“a≠011.(2024·四川省达州市·期中考试)已知复数z，z1，z2均不为0，则下列说法正确的是(

)A.若复数z满足z2∈R，且z2>0，则z∈R

B.若复数z满足1z∈R，则z∈R

C.若z1+z2∈R，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(2023·浙江省·单元测试)“∃x∈R，ax2−ax+1⩽0”是假命题，则实数a的取值范围为

13.(2023·浙江省·入学测验)函数y=x2+5x14.(2024·江西省南昌市·期中考试)某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科的有10人，同时只参加物理、化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参加数学、物理、化学三科的有4人，则全班共有

人.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(2023·山东省·月考)(本小题13分)已知集合A={x|2−b<ax≤2b−2}，B=x(1)若a=1，b=3，求A⋂∁(2)集合A，B能否相等？若能，求出a，b的值；若不能，请说明理由．16.(2024·广东省·期中考试)(本小题15分)已知复数z=m2+m−2+(m−1)i，(m∈R)(1)若z是纯虚数，求实数m的值;(2)若m=2，设z+iz−i=a+bi(a,b∈R)，试求a+b17.(2023·河北省·阶段测试)(本小题15分)已知不等式ax(1)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；(2)若不等式对a∈0,​118.(2023·安徽省·阶段练习)(本小题17分)已知集合A={x|x2−7x+6<0}，B={x|(1)当t=5时，求A∪B及A∩(∁(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数t的取值范围．19.(2024·广东省·期末考试)(本小题17分)

如图所示，设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB′交DC于点P，设AB=x．

(1)用x表示DP，并求出x的取值范围;(2)求△ADP面积的最大值及此时x的值．

1.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．

利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】

解：∵复数(2+ai)(a−i)是纯虚数(i为虚数单位)，

(2+ai)(a−i)=2a−2i+a2i+a=3a+(a2−2)i，

∴3a=02.【答案】C

【解析】【分析】本题考查的是集合的子集个数，属于容易题．

根据题意化简集合A，即可得出答案．【解答】解：∵A=x|86−x∈N,x∈N=2,4,5，

∴集合A的非空子集的个数是3.【答案】A

【解析】【分析】本题考查不等式的性质，属于基础题．

根据题意，求出−2y的取值范围，进而由不等式的性质可得答案．【解答】解：已知−2<x<2，1<y<3，

得−6<−2y<−2，所以−8<x−2y<0．

故选A．4.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了交集运算、指数函数的值域、正弦函数的值域等，属基础题．【解答】

解：∵A=[−1,1]，B=(0,1]，∴A∩B=(0,1]．5.【答案】B

【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．

由已知求得z1，z2，代入【解答】

解：由题意，复数z1=1−i，z2=i，

则z1z2=1−ii6.【答案】D

【解析】【分析】本题考查利用不等式的基本性质判断不等关系，属于基础题．【解答】

选项A，a+b≥b−c⇔a≥−c，因为a，c大小无法确定，所以A中不等式不一定成立;选项B，当c≥0时，ac≥bc才能成立，故B中不等式不一定成立;选项C，当c=0时，不等式不成立，故C中不等式不一定成立;选项D，因为a−b>0c2⩾0,所以(a−b)c2≥0，故7.【答案】B

【解析】【分析】由x>0可得x2−x+4x【解答】

解：由x>0，得x2−x+4x=x+4x−1≥2x⋅4x−1=3，

当且仅当x=48.【答案】B

【解析】【分析】本题考查利用不等式的基本性质判断不等关系，是较易题．

根据不等式的性质，结合作差法即可求解．【解答】解：对于A，当

c=0

时，

ac2=bc对于B，

1ab2−1a2b=a−ba2对于C，若

a=−2,b=−3,

则

a2=4,b2=9

，此时

对于D，取

a=2,b=−4

，则

ba=−2,ab=−12

故选：B9.【答案】BC

【解析】【分析】本题主要考查了元素与集合关系的判断，集合的包含关系判断及应用，属于基础题．

根据元素与集合关系的判断，集合的包含关系判断及应用逐项分析即可得解．【解答】

解：对于A，0∉⌀，所以A不正确；

对于B，⌀⊆{0}，B正确；

对于C，{a,b}⊆{b,a}，任何集合是他自身的子集，C正确；

对于D，⌀与{0}都是集合，它们之间关系不能用符号∈，D不正确．

故选：BC．10.【答案】BC

【解析】【分析】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程与不等式的解法、三角形全等性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

A.若“a，b都是偶数”⇒“a+b是偶数”，反之不成立，即可判断出正误；

B.“两个三角形全等”⇒“两个三角形的面积相等”，反之不成立，即可判断出正误；

C.关于x的方程mx2+2x+1=0有两个实数解，可得：m≠0，Δ≥0，解得m范围，即可判断出正误；

D.“ab≠0”⇒【解答】

解：A.若“a，b都是偶数”⇒“a+b是偶数”，

反之不成立，例如a，b可以都是奇数，

因此“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件，不正确；

B.“两个三角形全等”⇒“两个三角形的面积相等”，反之不成立，

因此“两个三角形全等”是“两个三角形的面积相等”的充分不必要条件，正确；

C.关于x的方程mx2+2x+1=0有两个实数解，可得：m≠0，且Δ=4−4m≥0，解得m≤1，且m≠0，

∴“m≤1”是“关于x的方程mx2+2x+1=0有两个实数解”的必要不充分条件，正确；

D.“ab≠0”⇒“a≠0”，反之不成立，

因此“a≠0”是“11.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查复数的概念，共轭复数以及复数的运算，属于中档题．

根据复数的概念、共轭复数的概念及运算规则逐项运算即可．【解答】

解：对于A选项，令z=a+bi，a，b∈R，则z2=a2−b2+2abi，

因为z2∈R，且z2>0，所以a2−b2>0,2ab=0,则b=0，故z∈R，故A正确;

对于B选项，令z=a+bi(a,b∈R)，则由1z=1a+bi=a−bia2+b2∈R，得b=0，所以z∈R，故B正确;

对于C选项，令z1=1+i，z12.【答案】0,4

【解析】【分析】本题考查一元二次不等式恒成立问题，存在量词与存在量词命题，是较易题．

根据题意可得：“∀x∈R，ax2−ax+1>0”是真命题，结合一元二次不等式在实数集上的恒成立问题理解运算，注意分类讨论a=0【解答】解：由题意可得：“∀x∈R，ax当a=0时，则1>0恒成立，符合题意;当a≠0时，则{a>0Δ=a综上所述：实数a的取值范围为0,4．故答案为：0,4．13.【答案】4

【解析】【分析】本题主要考查基本不等式求最值的方法，属于基础题．

令t=【解答】

解：令t=x2+1≥1，

则y=x2+5x2+1=t+4t14.【答案】43

【解析】【分析】本题考查利用venn图求集合之间的关系，设参加数学、物理、化学三科竞赛的人分别组成集合A，B，C，各集合中元素的个数如图所示，接下来将各个部分的人数相加即可求解．【解答】解：设参加数学、物理、化学三科竞赛的人分别组成集合A，B，C，

各集合中元素的个数如图所示，

则全班人数为2+4+5+10+7+11+4=43．

故答案为43．15.【答案】解：(1)当a=1，b=3时，A={x|−1<x⩽4}．

因为∁RB={x|x≤−12或x>2}．

所以A∩(∁RB)={x|−1<x⩽−12或2<x⩽4}．

(2)因为a≠0，若a>0，则−12<x⩽2可变成−a2<ax⩽2a，

若A=B，则2−b=−a2,2b−2=2a,【解析】本题考查集合的基本运算以及集合相等求参数，属于基础题．

(1)当a=1，b=3时，结合集合补集，交集的定义即可求解；

(2)根据集合B中x的范围对a分类讨论即可求解．16.【答案】解：(1)由题意可得：m2+m−2=0，且m−1≠0，∴m=−2；

(2)若m=2，则z=4+i，

z+iz−i=4+2i4−2i=(2+i)【解析】本题主要考查了复数的概念、复数的四则运算以及复数相等的充要条件，属于基础题．

(1)由纯虚数的定义可得方程组，解出可得m；

(2)m=2，由复数的四则运算化简可得，根据复数相等的充要条件可求a和b，从而得到答案．17.【答案】解：(1)当a=0时，不等式为x−1<0，解得x<1，显然不符合题意；当a≠0时，由已知，得a<0解得a<−1综上，实数a的取值范围为(−∞,−(2)原不等式可化为(x设g(a)=(x由题意，当a∈[0,12]所以g(0)<0解得−1−所以实数x的取值范围为(

【解析】本题考查一元二次不等式的知识，属于较难题.解答本题的关键是得出不等式解集为R的条件，以及如何将问题进行转化，另外在解答时要细心，减少出错．

(1)根据一元二次不等式的解集为全体实数的条件可得Δ<0，a<0，从而解出a的范围即可．

(2)化简整理为关于a的一次函数再分析．构造函数g(a)利用g018.【答案】解：(1)由x2−7x+6<0，得：1<x<6，即当t=5时，B={x|−1<x<5}，则∁RB={x|x⩽−1或所以A∪B={x|−1<x<6}，A∩∁(2)由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⫋B，B={x|x显然t≠4−t，∴t≠2①当4−t>t时，即t<2时，B={x|t<x<4−t}，要满足A⫋B，则t≤14−t≥6解得t⩽−2；②当4−t<t时，即t>2时，B={x|4−t<x<t}，要满足A⫋B，则4−t⩽1解得t⩾6；综上：实数t的取值范围为：t⩽−2或t⩾6．

【解析】(1)利用一元二次不等式的解法化简集合A，由t=5解得集合B，∁R(2)根据“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，可得A⫋B，进行求解即可．本题主要考查了充分不必要条件的应用，考查二次不等式的解法，集合的交､并､补的运算及集合间的包含关系，属于拔