2024-2025学年福建省漳州市十校联盟高一下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省漳州市十校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数z对应的向量，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，则.故选：B.2.如图，为水平放置的的直观图，其中，，则原平面图形的面积为（）．A.4 B. C. D.8【答案】A【解析】因为，，所以，如图所示，还原直观图得原图：所以，则原平面图形的面积为.故选：A.3.在中，点在靠近的三等分点上，连接，为的中点，，则的值为（）．A. B. C. D.1【答案】C【解析】由条件可知，，所以，，所以.故选：C4.已知三个顶点坐标分别为：，，，则的面积为（）．A.42 B.21 C.14 D.10.5【答案】B【解析】易知,所以;此时，即可得;可得的面积为.故选：B5.正四棱台上、下底面边长分别为和，所有顶点都在半径为的球面上，则该四棱台的体积是（）．A.14 B.12 C.或12 D.或14【答案】D【解析】记正四棱台的上、下底面对角线的交点分别为，球心为，由正四棱台的性质可知，三点共线，易知，，当球心在棱台上、下底面之间时，如图所示，则棱台的高，所以该棱台的体积.当球心在下底面下方时，如图所示，则棱台的高，所以该棱台的体积.综上，该棱台的体积为或.故选：D6.若，且与的夹角为，则当的模取最小值时，在的投影向量为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由题可得，所以，所以，此时，，所以此时在的投影向量为.故选：A7.某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥，其中为山顶，为山脚，经测量，．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚处出发，绕山地修建一条宽的山路，并最终从另一侧返回处，预计该山路的面积的最小值为（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】正三棱锥的侧面展开图如图所示，连接，分别与交于点，则线段为修建道路的长度的最小值．因为，所以，，，则，，故，正弦定理知道，且，解得．在中，解得，所以预计该山路的面积的最小值为．故选：A.8.在中，角所对的边分别为，且满足，的平分线交边于，，则的最小值为（）．A. B.3 C. D.【答案】D【解析】由余弦定理得，则，由，则，因为的平分线交边于，所以，则，所以，则，，所以，，则，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题中正确的有（）．A.空间内三点确定一个平面B.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间那部分多面体是棱台C.以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台D.分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上【答案】BD【解析】对于A，空间内不共线的三点确定一个唯一的平面，故A错误；对于B，一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截去上面的小棱锥后余下的几何体为棱台，即棱台是棱锥底面与截面之间那部分多面体，故B正确；对于C，以直角梯形中垂直于上下底边的腰为轴旋转一周形成的旋转体才是圆台，故C错误；对于D，由平面基本事实3可知：如果分别两个相交平面内的直线相交，则交点必定在两个平行的交线上，故D正确.故选：BD.10.已知两个非零向量，的夹角为，定义运算：，若，，则下列说法正确的是（）．A.，B.在上投影向量的模为C.若，，则D.【答案】ACD【解析】对于A，当时，，则，故A正确；对于B，在上投影向量的模为，，故B错误；对于C，由，，则，所以，故C正确；对于D，由，，，则，所以，故D正确.故选：ACD.11.在锐角中，角的对边分别为，且满足，则下列结论正确的有（）．A.B.C.D.的取值范围为【答案】BCD【解析】对于A，因为，所以，又因为，所以，所以，所以，因为，所以，而，所以，所以或（舍去，因为这与三角形内角和是矛盾），所以，故A错误；对于B，因为，由大边对大角可知，，故B正确；对于C，，因为锐角中有，，解得，所以的取值范围是，的取值范围是，故C正确；对于D，，因为，，所以，所以的取值范围是，令，由对勾函数性质可知，在上单调递减，所以在上单调递减，故的取值范围是，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分；14题第一空2分，第二空3分．12.已知的内角所对的边分别为，，，则使得有两组解的a的值为__________．（写出满足条件的一个整数值即可）．【答案】（答案不唯一，或者均可）【解析】要使有两组解，则即，故正整数为或者.故答案为：（答案不唯一，或者均可）13.法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的实部为__________．【答案】【解析】由题意，故所求为.故答案为：.14.在梯形中，，，，，三角形的面积为，则__________；若，与相交于点，点在同一平面内，且满足，则的最小值为__________．【答案】；.【解析】第1空，因，，则，在三角形中，由余弦定理，，又，则，结合，得.则三角形的面积为；第2空，如图以为原点，为坐标轴建立平面直角坐标系，由第1空分析可得：.因，则，又，则在以为圆心，半径为的圆上，设，则，则可设，其中.又注意到，，则，从而为中点，则，则，，则，其中，则当时，最小，为.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.复数，，．已知为纯虚数．（1）求m和；（2）复数是方程的一个根，求实数的值．解：（1）由，且为纯虚数，则，解得，所以，故.（2）由，则，整理可得，可得，解得.16.已知向量与向量共线，为的内角．（1）求；（2）若为钝角，且，求周长的最大值．解：（1）已知，根据向量平行性质得到.移项可得，提取公因式得.那么或者即.因为，当时，；当时，或.则或或.（2）因为为钝角，所以.由余弦定理，把代入可得.根据均值不等式，所以.已知，则，解得.所以，当且仅当时取等号，此时周长取得最大值.17.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．（1）已知，，，且，求t的值．（2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围．解：（1）由题意，，因为，所以，解得；（2）因为，两边平方得，即，当时，对任意的，恒成立，故满足题意；当时，对任意的恒成立，此时当且仅当，解得，所以满足题意；当时，对任意的恒成立，此时当且仅当，解得，所以满足题意；综上所述，所求为.18.人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点处正上空的点处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点西南方向的草从处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北方向上点处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设三点在同一水平面上．（1）求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度；（2）若此时猎豹到点处比到点处的距离更近，且开始以的极限速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？请说明原因．解：（1）由题意作图如下：则，，，．由正弦定理，可得．因此或120°，当时，，猎豹与羚羊之间的距离为，当，，猎豹与羚羊之间的距离为.（2）由题意作图如下：设捕猎成功所需的最短时间为，在中，，，，．由余弦定理得：．整理得：．设，显然，因猎豹能坚持奔跑最长时间为，且．∴猎豹不能捕猎成功．19.柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式（n维形式）为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当或存在一个数k，使得时，等号成立．（1）利用二维柯西不等式：，求的最大值，并写出等号取到的条件；（2）证明：三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立．（3）若，，是内一点，过作，，的垂线，垂足分别为，求的最小值．解：（1）已知柯西不等式，令，，，，则有.计算不等式右边的值：，即.因为，对两边同时开平方可得.当且仅当，即时，等号成立.对两边同时平方可得，展开得，解得.因此的最大值，当且仅当取得.（2）已知，根据柯西不等式的推广形式：对于，当且仅当时等号成立.令，，，，，.则.因为，两边同时除以，可得，当且仅当，即时等号成立.（3），又，，，且，可得.根据三维分式型柯西不等式，因为，所以.又因为，所以，即，当且仅当，即时等号成立.由余弦定理，可得，变形为，即.将代入中，得到.令，则.由，解不等式，得又因为，所以，当且仅当时等号成立.那么，则.令，可将其看作关于的二次函数，二次项系数，函数图象开口向下，对称轴为，所以在上递减.当即时，有最大值.因为，取最大值时取最小值，所以，此时与可以同时取到.福建省漳州市十校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数z对应的向量，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，则.故选：B.2.如图，为水平放置的的直观图，其中，，则原平面图形的面积为（）．A.4 B. C. D.8【答案】A【解析】因为，，所以，如图所示，还原直观图得原图：所以，则原平面图形的面积为.故选：A.3.在中，点在靠近的三等分点上，连接，为的中点，，则的值为（）．A. B. C. D.1【答案】C【解析】由条件可知，，所以，，所以.故选：C4.已知三个顶点坐标分别为：，，，则的面积为（）．A.42 B.21 C.14 D.10.5【答案】B【解析】易知,所以;此时，即可得;可得的面积为.故选：B5.正四棱台上、下底面边长分别为和，所有顶点都在半径为的球面上，则该四棱台的体积是（）．A.14 B.12 C.或12 D.或14【答案】D【解析】记正四棱台的上、下底面对角线的交点分别为，球心为，由正四棱台的性质可知，三点共线，易知，，当球心在棱台上、下底面之间时，如图所示，则棱台的高，所以该棱台的体积.当球心在下底面下方时，如图所示，则棱台的高，所以该棱台的体积.综上，该棱台的体积为或.故选：D6.若，且与的夹角为，则当的模取最小值时，在的投影向量为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由题可得，所以，所以，此时，，所以此时在的投影向量为.故选：A7.某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥，其中为山顶，为山脚，经测量，．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚处出发，绕山地修建一条宽的山路，并最终从另一侧返回处，预计该山路的面积的最小值为（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】正三棱锥的侧面展开图如图所示，连接，分别与交于点，则线段为修建道路的长度的最小值．因为，所以，，，则，，故，正弦定理知道，且，解得．在中，解得，所以预计该山路的面积的最小值为．故选：A.8.在中，角所对的边分别为，且满足，的平分线交边于，，则的最小值为（）．A. B.3 C. D.【答案】D【解析】由余弦定理得，则，由，则，因为的平分线交边于，所以，则，所以，则，，所以，，则，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题中正确的有（）．A.空间内三点确定一个平面B.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间那部分多面体是棱台C.以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台D.分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上【答案】BD【解析】对于A，空间内不共线的三点确定一个唯一的平面，故A错误；对于B，一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截去上面的小棱锥后余下的几何体为棱台，即棱台是棱锥底面与截面之间那部分多面体，故B正确；对于C，以直角梯形中垂直于上下底边的腰为轴旋转一周形成的旋转体才是圆台，故C错误；对于D，由平面基本事实3可知：如果分别两个相交平面内的直线相交，则交点必定在两个平行的交线上，故D正确.故选：BD.10.已知两个非零向量，的夹角为，定义运算：，若，，则下列说法正确的是（）．A.，B.在上投影向量的模为C.若，，则D.【答案】ACD【解析】对于A，当时，，则，故A正确；对于B，在上投影向量的模为，，故B错误；对于C，由，，则，所以，故C正确；对于D，由，，，则，所以，故D正确.故选：ACD.11.在锐角中，角的对边分别为，且满足，则下列结论正确的有（）．A.B.C.D.的取值范围为【答案】BCD【解析】对于A，因为，所以，又因为，所以，所以，所以，因为，所以，而，所以，所以或（舍去，因为这与三角形内角和是矛盾），所以，故A错误；对于B，因为，由大边对大角可知，，故B正确；对于C，，因为锐角中有，，解得，所以的取值范围是，的取值范围是，故C正确；对于D，，因为，，所以，所以的取值范围是，令，由对勾函数性质可知，在上单调递减，所以在上单调递减，故的取值范围是，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分；14题第一空2分，第二空3分．12.已知的内角所对的边分别为，，，则使得有两组解的a的值为__________．（写出满足条件的一个整数值即可）．【答案】（答案不唯一，或者均可）【解析】要使有两组解，则即，故正整数为或者.故答案为：（答案不唯一，或者均可）13.法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的实部为__________．【答案】【解析】由题意，故所求为.故答案为：.14.在梯形中，，，，，三角形的面积为，则__________；若，与相交于点，点在同一平面内，且满足，则的最小值为__________．【答案】；.【解析】第1空，因，，则，在三角形中，由余弦定理，，又，则，结合，得.则三角形的面积为；第2空，如图以为原点，为坐标轴建立平面直角坐标系，由第1空分析可得：.因，则，又，则在以为圆心，半径为的圆上，设，则，则可设，其中.又注意到，，则，从而为中点，则，则，，则，其中，则当时，最小，为.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.复数，，．已知为纯虚数．（1）求m和；（2）复数是方程的一个根，求实数的值．解：（1）由，且为纯虚数，则，解得，所以，故.（2）由，则，整理可得，可得，解得.16.已知向量与向量共线，为的内角．（1）求；（2）若为钝角，且，求周长的最大值．解：（1）已知，根据向量平行性质得到.移项可得，提取公因式得.那么或者即.因为，当时，；当时，或.则或或.（2）因为为钝角，所以.由余弦定理，把代入可得.根据均值不等式，所以.已知，则，解得.所以，当且仅当时取等号，此时周长取得最大值.17.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．（1）已知，，，且，求t的值．（2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围．解：（1）由题意，，因为，所以，解得；（2）因为，两边平方得，即，当时，对任意的，恒成立，故满足题意；当时，对任意的恒成立，此时当且仅当，解得，所以满足题意；当时，对任意的恒成立，此时当且仅当，解得，所以满足题意；综上所述，所求为.18.人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点处正上空的点处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点西南方向的草从处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北方向上点处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设三点在同一水平面上．（1）求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度；（2）若此时猎豹到点处比到点处的距离更近，且开始以的极限速度出击，与此