2024-2025学年广东省惠州市五校高一下学期第二次联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省惠州市五校2024-2025学年高一下学期第二次联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数（是虚数单位）的虚部为（）A. B.6 C. D.【答案】C【解析】根据复数的概念得，复数的虚部为.故选：C.2.如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，，则原图形的面积是（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】如图，的直观图是，则，则的面积为.故选：C.3.在中，点在边上，且满足，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由可得，所以.故选：C.4.在中，已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为在中，已知，所以，故选：A.5.一个圆台的母线长为，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆台的高为，所以圆台的体积为.故选：A.6.一艘船以每小时的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在南偏东，行驶小时后，船到达处看到灯塔在南偏西，此时测得船与灯塔的距离为，则的值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】如图，由题意知，在三角形中，则，所以三角形为直角三角形，又，，故（小时）.故选：B.7.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若直线不平行于平面，则内不存在与平行的直线B.若，则C.若，则m，n是异面直线D.若，则【答案】D【解析】对于A，若，满足直线不平行于平面，但此时内存在无数条与平行的直线，故A错误；对于B，若，则或，故B错误；对于C，若，则m，n是异面直线或者平行直线，若，则是异面直线或者平行直线或者相交直线，故C错误；对于D，若，则存在，使得，因为，所以，因为，所以，故D正确.故选：D.8.已知是边长为的正三角形，为的外接圆的一条直径，为的边上的动点，则的最大值为（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】如图，为外接圆的直径，为的中点，则外接圆半径为，则，当为正边的中点时，，所以的最大值为3.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题为真命题的是（）A.若为纯虚数，则是实数B.若为虚数单位，则C.复数在复平面内对应的点位于第三象限D.复数的共轭复数为【答案】AC【解析】对于A选项，若为纯虚数，设，故为实数，A对；对于B选项，若为虚数单位，则，B错；对于C选项，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限，C对；对于D选项，，其共轭复数为，D错.故选：AC.10.已知平面向量，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.与的夹角为【答案】ACD【解析】对于A,，A正确，对于B，，故B错误，对于C,，故，C正确，对于D，，故与的夹角为，故D正确，故选：ACD11.已知正方体的棱长为1，E为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是（）A.时，B.时，的最小值为C.时，三棱锥的体积为定值D.时，直线与面的交点轨迹长度为【答案】ABC【解析】由题意，正方体的棱长为1，为线段的中点，且，其中，对于A中，取分别为的中点，当时，可得点在线段上运动，如图（1）所示，在正方形中，因为的中点，可得，又由平面，平面，所以，因为，所以平面，又因为平面，所以，所以A正确.对于B中，在上分别取点和点，使得，连接，当当时，可得点在线段上运动，在直角中，，可得，如图（2）所示，沿将平面旋转到与平面重合，得到平面，连接，则，即的最小值为，所以B正确.对于C中，如图（3）所示，取的中点，分别连接，当时，可得点在线段上运动，由且平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，又由的面积为定值，所以（定值），所以C正确.对于D中，如图（4）所示，连接，交于点和点，当时，可得点在线段上运动，因为且平面，所以平面，又因为平面平面，所以，由与相似，且相似比为，所以，即直线与面的交点轨迹长度为，所以D不正确.综上可得，选项正确的是ABC.故答案为：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在正方体中，直线与直线所成角的大小为______.【答案】【解析】因为，所以直线与直线AC所成角为直线与直线所成角,即或其补角，是等边三角形，所以，所以直线与直线AC所成角的大小为.故答案为：13.若圆锥的表面积为，且其母线长是底面半径的3倍，则圆锥的体积为______.【答案】【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，依题意得，解得.设圆锥的高为，所以，.故答案为：14.盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长为8cm的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最小值为______cm.【答案】【解析】如图，是棱长为8cm的正四面体，由题意，，设的中点为，底面的重心为，为外接球的球心，则有底面，，，是外接球半径，在中，，在中，，，所以，解得，即正方体的最短棱长为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知向量与的夹角为，且.（1）求的值；（2）求的值；（3）求向量与向量的夹角.解：（1）因为向量与的夹角为，且，则.（2）因为向量与的夹角为，且，且.可得.（3）设向量与向量的夹角为，可得，因为，可得，所以向量与向量的夹角为.16.如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点分别是的中点.求证：（1）平面PCD；（2）平面平面PBC.解：（1）由题意，四棱锥的底面为平行四边形，点分别是的中点，∴是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）由(1)知，平面，平面，∴MN∥平面，∵为平行四边形，∴是中点，又∵是中点，∴在中，，∵平面，平面，∴∥平面，∵，平面，∴平面平面．17.如图，在中，为BC边上一点，且.（1）求的长；（2）求的值；（3）若的面积为，求中边上的高.解：（1）因为，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以.（2）.（3），所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，解得（舍去），所以中边上的高为.18.如图，在多面体中，为等边三角形，．点为的中点，平面平面.（1）求证：平面；（2）设点为上一点，且，求二面角的余弦值.（1）证明：因为平面平面ABC，且平面平面，平面ACED，故平面ABC，因为平面ABC，所以．又为等边三角形，为BC的中点，故，因为，平面，故平面.（2）解：由于平面，平面，故，因为为等边三角形，为的中点，故，所以为二面角的平面角.因为，故，所以，故二面角的余弦值为.19.如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，.（1）用与表示；（2）求的取值范围；（3）若点为的重心，是否存在，使得，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解：（1）；（2），且，即，所以，又因为，所以；（3）若点为的重心，则，又因为，若，，三点共线，则使得，可得，解得，所以存在，使得，，三点共线.广东省惠州市五校2024-2025学年高一下学期第二次联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数（是虚数单位）的虚部为（）A. B.6 C. D.【答案】C【解析】根据复数的概念得，复数的虚部为.故选：C.2.如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，，则原图形的面积是（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】如图，的直观图是，则，则的面积为.故选：C.3.在中，点在边上，且满足，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由可得，所以.故选：C.4.在中，已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为在中，已知，所以，故选：A.5.一个圆台的母线长为，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆台的高为，所以圆台的体积为.故选：A.6.一艘船以每小时的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在南偏东，行驶小时后，船到达处看到灯塔在南偏西，此时测得船与灯塔的距离为，则的值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】如图，由题意知，在三角形中，则，所以三角形为直角三角形，又，，故（小时）.故选：B.7.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若直线不平行于平面，则内不存在与平行的直线B.若，则C.若，则m，n是异面直线D.若，则【答案】D【解析】对于A，若，满足直线不平行于平面，但此时内存在无数条与平行的直线，故A错误；对于B，若，则或，故B错误；对于C，若，则m，n是异面直线或者平行直线，若，则是异面直线或者平行直线或者相交直线，故C错误；对于D，若，则存在，使得，因为，所以，因为，所以，故D正确.故选：D.8.已知是边长为的正三角形，为的外接圆的一条直径，为的边上的动点，则的最大值为（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】如图，为外接圆的直径，为的中点，则外接圆半径为，则，当为正边的中点时，，所以的最大值为3.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题为真命题的是（）A.若为纯虚数，则是实数B.若为虚数单位，则C.复数在复平面内对应的点位于第三象限D.复数的共轭复数为【答案】AC【解析】对于A选项，若为纯虚数，设，故为实数，A对；对于B选项，若为虚数单位，则，B错；对于C选项，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限，C对；对于D选项，，其共轭复数为，D错.故选：AC.10.已知平面向量，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.与的夹角为【答案】ACD【解析】对于A,，A正确，对于B，，故B错误，对于C,，故，C正确，对于D，，故与的夹角为，故D正确，故选：ACD11.已知正方体的棱长为1，E为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是（）A.时，B.时，的最小值为C.时，三棱锥的体积为定值D.时，直线与面的交点轨迹长度为【答案】ABC【解析】由题意，正方体的棱长为1，为线段的中点，且，其中，对于A中，取分别为的中点，当时，可得点在线段上运动，如图（1）所示，在正方形中，因为的中点，可得，又由平面，平面，所以，因为，所以平面，又因为平面，所以，所以A正确.对于B中，在上分别取点和点，使得，连接，当当时，可得点在线段上运动，在直角中，，可得，如图（2）所示，沿将平面旋转到与平面重合，得到平面，连接，则，即的最小值为，所以B正确.对于C中，如图（3）所示，取的中点，分别连接，当时，可得点在线段上运动，由且平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，又由的面积为定值，所以（定值），所以C正确.对于D中，如图（4）所示，连接，交于点和点，当时，可得点在线段上运动，因为且平面，所以平面，又因为平面平面，所以，由与相似，且相似比为，所以，即直线与面的交点轨迹长度为，所以D不正确.综上可得，选项正确的是ABC.故答案为：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在正方体中，直线与直线所成角的大小为______.【答案】【解析】因为，所以直线与直线AC所成角为直线与直线所成角,即或其补角，是等边三角形，所以，所以直线与直线AC所成角的大小为.故答案为：13.若圆锥的表面积为，且其母线长是底面半径的3倍，则圆锥的体积为______.【答案】【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，依题意得，解得.设圆锥的高为，所以，.故答案为：14.盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长为8cm的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最小值为______cm.【答案】【解析】如图，是棱长为8cm的正四面体，由题意，，设的中点为，底面的重心为，为外接球的球心，则有底面，，，是外接球半径，在中，，在中，，，所以，解得，即正方体的最短棱长为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知向量与的夹角为，且.（1）求的值；（2）求的值；（3）求向量与向量的夹角.解：（1）因为向量与的夹角为，且，则.（2）因为向量与的夹角为，且，且.可得.（3）设向量与向量的夹角为，可得，因为，可得，所以向量与向量的夹角为.16.如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点分别是的中点.求证：（1）平面PCD；（2）平面平面PBC