2024-2025学年广东省湛江市高一下学期4月期中联盟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省湛江市2024-2025学年高一下学期4月期中联盟考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册，必修第二册第六章至第八章第4节．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，，则．故选：B2.已知向量，，若，则（）A. B.0 C.4 D.5【答案】A【解析】由题意可得，因为，所以，解得．故选：A3.如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（）A.2 B.4 C.6 D.【答案】C【解析】由题意可得还原后如下：，，，则故选：C.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当，，时，满足，此时，即不能推出；当，，时，满足，此时，即不能推出.故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.5.已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，满足的点的集合组成的图形是以原点O为圆心，以2及3为半径的两个圆所夹的圆环，则其面积为.故选：B.6.已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调，若，，且，则的最小值是（）A.4 B. C.8 D.9【答案】D【解析】由题意可得，，则，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为9.故选：D.7.已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，，所以，又因为函数在上恰有3个零点，所以，解得，所以的取值范围是．故选：A.8.如图，在正四棱锥中，，．从拉一条细绳绕过侧棱，回到点，则细绳的最短长度为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，将侧面，侧面，侧面，侧面展开到一个平面内．由题意可知，，设，则，所以，所以．由余弦定理可得，则，即细绳的最短长度为．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题是真命题的是（）A.棱台的侧面一定是梯形B.直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥C.棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点D.过空间内不同的三点有且仅有一个平面【答案】ABC【解析】由棱台的定义可知棱台的侧面一定是梯形，则A正确；绕直角三角形的一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，则B正确；因为棱台是由棱锥截成的，所以棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点，则C正确；当三点共线时，有无数个平面，则D错误．故选：ABC.10.六角螺帽也叫六角螺母，是一种常见的紧固用零件，与螺丝、螺栓、螺钉相互配合使用，起连接紧固机件的作用．如图，这是某六角螺帽的截面图，O是正六边形的中心，也是圆O的圆心．是圆上的动点，且线段经过点．已知，，是六边形边上的动点，则下列结论正确的是（）A.若点与点重合，则的最大值是7B.若是线段的中点，则C.若是线段的中点，则D.的最大值是7【答案】ACD【解析】对于A，若点与点重合，连接并延长，与圆的另一个交点为．当点与点重合时，取得最大值7，则A正确．对于B，当是线段的中点时，，则B错误．对于C，因为，，所以，则C正确．对于D，因为，且，所以，则D正确.故选：ACD.11.已知直三棱柱的外接球的半径为5，是以为斜边的直角三角形，且，则（）A.直三棱柱的体积的最大值是24B.直三棱柱的体积的最大值是72C.直三棱柱的侧面积的最大值是D.直三棱柱的表面积的最大值是【答案】BCD【解析】由题意可得直三棱柱的高为．设，，则．直三棱柱的体积．因为，所以，当且仅当时，等号成立，则，故A错误，B正确．直三棱柱的侧面积．因为，所以，解得，则，当且仅当时，等号成立，故C正确．直三棱柱的上、下底面的面积之和，当且仅当时，等号成立，则直三棱柱的表面积，当且仅当时，等号成立，故D正确．故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若是纯虚数，则______．【答案】2【解析】由复数是纯虚数，可得，解得．故答案为：.13.某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图，这是要测量的一建筑物的高度，选择与该建筑物底部在同一水平面上的，两点，测得米，，，，则该建筑物的高度______米.【答案】20【解析】设米，在中，因为，则米.在中，因为，所以米.在中，由余弦定理可得，因为米，则，即，解得，所以米.故答案为：2014.若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是__________.【答案】2【解析】如图：设，，则，依题意.过作，垂足为，则，即的最小值是2.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数，，其中．（1）当时，求；（2）若复数在复平面内所对应的点位于第三象限，求a的取值范围．解：（1）当时，，则.（2）因为，，所以．因为在复平面内所对应的点位于第三象限，所以，解得，即a的取值范围是.16.石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅，是一种常见的户外休闲设施．如图，这是某广场的石凳直观图，它是由正方体截去四面体，，，得到的，其中均为各棱的中点，且厘米．（1）求该石凳的体积；（2）求该石凳的表面积（不包含底面）．解：（1）由题意可得正方体的体积立方厘米，四面体的体积立方厘米，则该石凳的体积立方厘米（2）由题意可得，，，均为边长为厘米的等边三角形，四边形是边长为厘米的正方形，则的面积平方厘米，正方形的面积平方厘米，五边形的面积平方厘米，故该石凳的表面积平方厘米．17.已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）求在上的值域；（3）若是锐角，且，求的值.解：（1）由题意可得.令，，解得，，则的单调递减区间是.（2）因为，所以.当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值.故在上的值域为.（3）因为，所以，所以.因为是锐角，所以.因为，所以，所以，则.18.如图，在中，，，且，，是和的交点．（1）用，表示，．（2）证明：．（3）证明：是线段的中点．（1）解：因为，所以，则．因为，所以，则．（2）证明：由（1）可得．因为，，所以，则．（3）证明：因为三点共线，所以．因为三点共线，所以，则，解得，即，故是线段的中点．19.如图，在四边形中，，，是等边三角形．（1）若，求的面积；（2）若，求的面积；（3）求的面积的最大值．解：（1）在中，由余弦定理可得:，则．因为是等边三角形，所以的面积．（2）在中，由余弦定理可得，则，故，因为是等边三角形，所以，所以，则的面积为，（3）设，，在中，由正弦定理可得，则，由余弦定理可得，，则，所以的面积：，因为，，所以，当时，取得最大值，即的面积的最大值为．广东省湛江市2024-2025学年高一下学期4月期中联盟考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册，必修第二册第六章至第八章第4节．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，，则．故选：B2.已知向量，，若，则（）A. B.0 C.4 D.5【答案】A【解析】由题意可得，因为，所以，解得．故选：A3.如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（）A.2 B.4 C.6 D.【答案】C【解析】由题意可得还原后如下：，，，则故选：C.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当，，时，满足，此时，即不能推出；当，，时，满足，此时，即不能推出.故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.5.已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，满足的点的集合组成的图形是以原点O为圆心，以2及3为半径的两个圆所夹的圆环，则其面积为.故选：B.6.已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调，若，，且，则的最小值是（）A.4 B. C.8 D.9【答案】D【解析】由题意可得，，则，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为9.故选：D.7.已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，，所以，又因为函数在上恰有3个零点，所以，解得，所以的取值范围是．故选：A.8.如图，在正四棱锥中，，．从拉一条细绳绕过侧棱，回到点，则细绳的最短长度为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，将侧面，侧面，侧面，侧面展开到一个平面内．由题意可知，，设，则，所以，所以．由余弦定理可得，则，即细绳的最短长度为．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题是真命题的是（）A.棱台的侧面一定是梯形B.直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥C.棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点D.过空间内不同的三点有且仅有一个平面【答案】ABC【解析】由棱台的定义可知棱台的侧面一定是梯形，则A正确；绕直角三角形的一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，则B正确；因为棱台是由棱锥截成的，所以棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点，则C正确；当三点共线时，有无数个平面，则D错误．故选：ABC.10.六角螺帽也叫六角螺母，是一种常见的紧固用零件，与螺丝、螺栓、螺钉相互配合使用，起连接紧固机件的作用．如图，这是某六角螺帽的截面图，O是正六边形的中心，也是圆O的圆心．是圆上的动点，且线段经过点．已知，，是六边形边上的动点，则下列结论正确的是（）A.若点与点重合，则的最大值是7B.若是线段的中点，则C.若是线段的中点，则D.的最大值是7【答案】ACD【解析】对于A，若点与点重合，连接并延长，与圆的另一个交点为．当点与点重合时，取得最大值7，则A正确．对于B，当是线段的中点时，，则B错误．对于C，因为，，所以，则C正确．对于D，因为，且，所以，则D正确.故选：ACD.11.已知直三棱柱的外接球的半径为5，是以为斜边的直角三角形，且，则（）A.直三棱柱的体积的最大值是24B.直三棱柱的体积的最大值是72C.直三棱柱的侧面积的最大值是D.直三棱柱的表面积的最大值是【答案】BCD【解析】由题意可得直三棱柱的高为．设，，则．直三棱柱的体积．因为，所以，当且仅当时，等号成立，则，故A错误，B正确．直三棱柱的侧面积．因为，所以，解得，则，当且仅当时，等号成立，故C正确．直三棱柱的上、下底面的面积之和，当且仅当时，等号成立，则直三棱柱的表面积，当且仅当时，等号成立，故D正确．故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若是纯虚数，则______．【答案】2【解析】由复数是纯虚数，可得，解得．故答案为：.13.某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图，这是要测量的一建筑物的高度，选择与该建筑物底部在同一水平面上的，两点，测得米，，，，则该建筑物的高度______米.【答案】20【解析】设米，在中，因为，则米.在中，因为，所以米.在中，由余弦定理可得，因为米，则，即，解得，所以米.故答案为：2014.若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是__________.【答案】2【解析】如图：设，，则，依题意.过作，垂足为，则，即的最小值是2.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数，，其中．（1）当时，求；（2）若复数在复平面内所对应的点位于第三象限，求a的取值范围．解：（1）当时，，则.（2）因为，，所以．因为在复平面内所对应的点位于第三象限，所以，解得，即a的取值范围是.16.石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅，是一种常见的户外休闲设施．如图，这是某广场的石凳直观图，它是由正方体截去四面体，，，得到的，其中均为各棱的中点，且厘米．（1）求该石