2024-2025学年广西壮族自治区来宾市高一下学期5月期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西壮族自治区来宾市2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题一、单选题（8小题，每小题5分共40分）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得.故选：C.2.已知，则（）A.3 B.5 C. D.【答案】C【解析】因为，所以，则.故选：C.3.已知分别为三个内角的对边，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中由余弦定理.故选：C4.已知向量，满足，，且，则向量，夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，设与夹角为，因为，，，所以.故选：C.5.在中，角所对的边分别为，若，则一定是（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰或直角三角形【答案】B【解析】由，利用正弦定理，，即，因，则或（不合题意舍去），故一定是等腰三角形.故选：B.6.已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，，，则球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】可将直三棱柱补成如下图所示的长方体，则长方体的外接球即为直三棱柱的外接球球的半径球的体积故选：7.设，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，，所以故选：C8.如图，在正方形中，分别为边的中点，若，则（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】因为在正方形中，分别为边的中点，所以，所以，所以，故选：C二、多选题（3小题，每小题6分共18分）9.若复数，则（）A.B.在复平面内对应的点位于第四象限C.D.复数满足，则的最大值为【答案】BCD【解析】复数，对于A，，A错误；对于B，在复平面内对应的点位于第四象限，B正确；对于C，，C正确；对于D，由，得在复平面内复数对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，表示该圆上的点与点的距离，所以的最大值为，D正确.故选：BCD10.已知向量，，满足，，，则（）A.B.当时，C.当时，D.在上的投影向量的坐标为【答案】BC【解析】选项A：，故A错误.选项B：当时，存在实数使得且，得，代入得：，，故选项B正确.选项C：当与垂直时，.，化简得，即，故项C正确.选项D：，，投影向量为，与选项中的()不符，故D错误.故选：BC.11.如图所示，在长方体中，若，分别是、的中点，则下列结论中一定成立的是（）A.与垂直B.与所成的角大小为C.与平面所成角大小为D.直线与平面平行【答案】ACD【解析】如图所示：A.连接，则，由平面，平面，则，所以，故A正确；B.由选项A知：与所成的角为，因为长度不定，所以与所成的角不确定，故错误；C.易知平面，则平面，所以与平面所成角大小为，故正确；D.由选项A知：，且平面，平面，所以直线与平面平行，故正确，故选：ACD三、填空题（3小题，每小题5分共15分）12.已知水平放置的四边形按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是_____．【答案】6【解析】如图，直角梯形即为原图形，则，所以四边形的面积.故答案为：6.13.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑.位于河北省邯郸市的武灵丛台的主体建筑——据胜亭（图1）就是四角攒尖的代表，它的屋顶部分的轮廓可以近似看作如图2所示的正四棱锥，其中底面边长约为6米，顶点到底面的距离约为2米，则据胜亭屋顶部分的体积约为____立方米.【答案】24【解析】由题可知，据胜亭屋顶部分的体积约为立方米．故答案为：24.14.如图，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点，设，则的最小值为______．【答案】【解析】因为点G为重心，可得，又因为三点共线，所以，所以，当时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.四、解答题（5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分）15.（1）已知，若与平行，求；（2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值．解：（1）因为，，且与平行，所以，解得，所以，所以．（2）已知与的夹角为，所以，因为与垂直，所以，所以．16.记的内角的对边分别为，已知向量，，且.（1）求；（2）若的面积为，且，求.解：（1）由题意知，，由正弦定理得，因为，所以，则，即，又，所以.（2）因为的面积为，解得，所以，由余弦定理得，所以.17.如图，在正四棱柱中，，．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求点到平面的距离．解：（1）因为所以是平行四边形，所以平面，且平面，所以平面；（2）因为是正方形，所以得，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面；（3）设点到平面的距离为，因为，所以，，所以，故点到平面的距离为；18.锐角三角形中，角的对边分别为且.（1）求；（2）求三角形周长的取值范围；（3）求三角形面积的最大值.解：（1）由正弦定理：，则，所以，根据得：.（2）由正弦定理：，所以，，注意到，所以，所以，所以，所以周长的取值范围是.（3）余弦定理：，所以三角形面积为，当且仅当时，即为等边三角形时，三角形面积取最大值.19.如图所示，在四棱锥，底面是正方形，与交于点，平面，为的中点，．（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）是线段上一点，且满足，是否存在实数使平面？若存在求出的值，若不存在，请说明理由．解：（1）连接．由是正方形可知，点为中点．又为的中点，所以．又面，面，所以平面．（2）证明：由底面，底面，，由是正方形可知，，又，、平面，平面，即就是所求角，因为故所正弦值为．（3）在线段上存在点，使平面．理由如下：取中点，连接，在四棱锥中，，，．由（2）可知，平面，而平面，平面平面，且平面平面，，平面，平面，故在线段上存在点，使平面．由为中点，得．广西壮族自治区来宾市2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题一、单选题（8小题，每小题5分共40分）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得.故选：C.2.已知，则（）A.3 B.5 C. D.【答案】C【解析】因为，所以，则.故选：C.3.已知分别为三个内角的对边，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中由余弦定理.故选：C4.已知向量，满足，，且，则向量，夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，设与夹角为，因为，，，所以.故选：C.5.在中，角所对的边分别为，若，则一定是（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰或直角三角形【答案】B【解析】由，利用正弦定理，，即，因，则或（不合题意舍去），故一定是等腰三角形.故选：B.6.已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，，，则球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】可将直三棱柱补成如下图所示的长方体，则长方体的外接球即为直三棱柱的外接球球的半径球的体积故选：7.设，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，，所以故选：C8.如图，在正方形中，分别为边的中点，若，则（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】因为在正方形中，分别为边的中点，所以，所以，所以，故选：C二、多选题（3小题，每小题6分共18分）9.若复数，则（）A.B.在复平面内对应的点位于第四象限C.D.复数满足，则的最大值为【答案】BCD【解析】复数，对于A，，A错误；对于B，在复平面内对应的点位于第四象限，B正确；对于C，，C正确；对于D，由，得在复平面内复数对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，表示该圆上的点与点的距离，所以的最大值为，D正确.故选：BCD10.已知向量，，满足，，，则（）A.B.当时，C.当时，D.在上的投影向量的坐标为【答案】BC【解析】选项A：，故A错误.选项B：当时，存在实数使得且，得，代入得：，，故选项B正确.选项C：当与垂直时，.，化简得，即，故项C正确.选项D：，，投影向量为，与选项中的()不符，故D错误.故选：BC.11.如图所示，在长方体中，若，分别是、的中点，则下列结论中一定成立的是（）A.与垂直B.与所成的角大小为C.与平面所成角大小为D.直线与平面平行【答案】ACD【解析】如图所示：A.连接，则，由平面，平面，则，所以，故A正确；B.由选项A知：与所成的角为，因为长度不定，所以与所成的角不确定，故错误；C.易知平面，则平面，所以与平面所成角大小为，故正确；D.由选项A知：，且平面，平面，所以直线与平面平行，故正确，故选：ACD三、填空题（3小题，每小题5分共15分）12.已知水平放置的四边形按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是_____．【答案】6【解析】如图，直角梯形即为原图形，则，所以四边形的面积.故答案为：6.13.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑.位于河北省邯郸市的武灵丛台的主体建筑——据胜亭（图1）就是四角攒尖的代表，它的屋顶部分的轮廓可以近似看作如图2所示的正四棱锥，其中底面边长约为6米，顶点到底面的距离约为2米，则据胜亭屋顶部分的体积约为____立方米.【答案】24【解析】由题可知，据胜亭屋顶部分的体积约为立方米．故答案为：24.14.如图，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点，设，则的最小值为______．【答案】【解析】因为点G为重心，可得，又因为三点共线，所以，所以，当时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.四、解答题（5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分）15.（1）已知，若与平行，求；（2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值．解：（1）因为，，且与平行，所以，解得，所以，所以．（2）已知与的夹角为，所以，因为与垂直，所以，所以．16.记的内角的对边分别为，已知向量，，且.（1）求；（2）若的面积为，且，求.解：（1）由题意知，，由正弦定理得，因为，所以，则，即，又，所以.（2）因为的面积为，解得，所以，由余弦定理得，所以.17.如图，在正四棱柱中，，．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求点到平面的距离．解：（1）因为所以是平行四边形，所以平面，且平面，所以平面；（2）因为是正方形，所以得，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面；（3）设点到平面的距离为，因为，所以，，所以，故点到平面的距离为；18.锐角三角形中，角的对边分别为且.（1）求；（2）求三角形周长的取值范围；（3）求三角形面积的最大值.解：（1）由正弦定理：，则，所以，根据得：.（2）由正弦定理：，所以，，注意到，所以，所以，所以，所以周长的取值范围是.（3）余弦定理：，所以三角形面积为，当且仅当时，即为等边三角形时，三角形面积取最大值.19.如图所示，在四棱锥，底面是正方形，与交于点，平面，为的中