2024-2025学年河北省保定市六校联盟高一下学期4月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省保定市六校联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章第5～7节，必修第二册第六章～第七章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i为虚数单位，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故选：B2.已知向量，，若，则（）．A. B.2 C. D.5【答案】C【解析】因为，所以，所以，所以．故选：C．3.如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴.故选：A.4.中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为，由大角对大边可得，由正弦定理得，且，所以，故，充分性成立，同理当时，，，由正弦定理可得，由大边对大角可得，必要性成立，“”是“”的充要条件.故选：C5.已知平面向量、满足，，，则在上的投影向量为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，则，且，，则，可得，所以，在上的投影向量为.故选：B.6.在中，内角所对的边分别为，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为为的内角，则，由二倍角的余弦公式可得，解得，由正弦定理可得，所以，.故选：A.7.已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，因为函数在区间上至少有3个零点，所以，解得，所以的取值范围是.故选：C.8.已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（）A. B.0 C.12 D.【答案】D【解析】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，，，因为，，，所以，所以当时，取得最大值.故选:D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（）A.为实数 B.C.若，则 D.【答案】ABD【解析】对于A，设复数，则，则，为实数，故A正确；对于B，，，则，故B正确；对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误；对于D，，则，，则，则，故D正确.故选：ABD.10.函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数的图象关于点对称B.函数的图象关于直线对称C.函数在上单调递减D.将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象【答案】AB【解析】由图知，，所以，解得，因为的图象过点，所以，又因为，所以，所以．因为，所以函数的图象关于点对称，故A正确；，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；令，，解得，，令，得，，所以在上单调递减，在上单调递增，故C错误；的图象向右平移个单位长度，可得，故D错误．故选：AB．11.已知是边长为3的等边三角形，点在内或边界上，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则点P的轨迹长度为 D.若，则【答案】ABD【解析】对于A,当时，为的中点，则,故，A正确，对于B，，则，由余弦定理可得，B正确，对于C,若，则点P的轨迹为以圆心，以为半径的圆（在内部及边界部分），故长度为，C错误，对于D，当，则位于边的高上，故,又，故，D正确，故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.复数z满足，则________．【答案】或【解析】设，则，所以解得或所以或．故答案为：或．13.的三个内角所对应的边分别为，若，角的平分线交于，则_____．【答案】2【解析】由图可知，记，方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，由可得，，解得：．方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，由正弦定理可得，，解得：，因为，所以，又，所以，即．故答案为：.14.费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于，费马点是三角形内部对三边张角均为的点；如果三角形有一个内角大于或等于，费马点就是该内角所在的顶点.已知中，角所对的边分别为，为费马点.若，则的值为______.【答案】【解析】由，显然最大角为，且，所以为小于的钝角，且，所以费马点在内部，且，所以，则，所以，由.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足（1）求的值；（2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围.解：（1）令且，则，所以，则，可得，所以，则；（2）由，故对应点在第三象限，则，所以，即.16.记锐角三角形的内角的对边分别为，已知，．（1）求；（2）求的最大值．解：（1）因为，所以．又为锐角三角形，故，则．因为，所以．又，故．（2）由正弦定理得，则，．由（1）知，则．所以，因为为锐角三角形，所以，所以，所以，所以当时，即时，取得最大值．17.已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递减区间；（3）若方程在有两个根，求的取值范围.解：（1）函数，由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，得的最小正周期，解得，所以函数的解析式为.（2）由，解得，所以函数的单调递减区间是.（3）当时，，由，得，则函数在上单调递增，函数值从增大到0，在上单调递减，函数值从0减小到，当时，直线与函数的图象有两个交点，即方程在有两个根，所以的取值范围.18.如图，圆的半径为3（圆心为），其中为圆上的两点．（1）若，当为何值时，与垂直？（2）若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，，求的最小值；（3）若的最小值为1，求的值．解：（1）因为，，所以，若与垂直，则，所以，所以，解得，即时，与垂直．（2）因为为的重心，所以，又因为，，所以，由于三点共线，所以存在实数，使得，所以，化简得，所以．显然，，则，当且仅当时，即时等号成立，则的最小值为2．（3）设，与的夹角为θ，在中，，所以，又，所以当时，有最小值，所以，解得，即取最小值1时，．19.在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定.（1）已知，求；（2）若向量，求证：；（3）记，且满足，，，求的最大值.解：（1）由，得.（2）由向量，向量，得，因此，同理，所以.（3）依题意，，，则当为锐角时，，当为钝角时，，当为锐角时，当时，取到最大值；当为钝角时，，当，即时，取得最大值，所以的最大值.河北省保定市六校联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章第5～7节，必修第二册第六章～第七章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i为虚数单位，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故选：B2.已知向量，，若，则（）．A. B.2 C. D.5【答案】C【解析】因为，所以，所以，所以．故选：C．3.如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴.故选：A.4.中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为，由大角对大边可得，由正弦定理得，且，所以，故，充分性成立，同理当时，，，由正弦定理可得，由大边对大角可得，必要性成立，“”是“”的充要条件.故选：C5.已知平面向量、满足，，，则在上的投影向量为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，则，且，，则，可得，所以，在上的投影向量为.故选：B.6.在中，内角所对的边分别为，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为为的内角，则，由二倍角的余弦公式可得，解得，由正弦定理可得，所以，.故选：A.7.已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，因为函数在区间上至少有3个零点，所以，解得，所以的取值范围是.故选：C.8.已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（）A. B.0 C.12 D.【答案】D【解析】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，，，因为，，，所以，所以当时，取得最大值.故选:D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（）A.为实数 B.C.若，则 D.【答案】ABD【解析】对于A，设复数，则，则，为实数，故A正确；对于B，，，则，故B正确；对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误；对于D，，则，，则，则，故D正确.故选：ABD.10.函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数的图象关于点对称B.函数的图象关于直线对称C.函数在上单调递减D.将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象【答案】AB【解析】由图知，，所以，解得，因为的图象过点，所以，又因为，所以，所以．因为，所以函数的图象关于点对称，故A正确；，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；令，，解得，，令，得，，所以在上单调递减，在上单调递增，故C错误；的图象向右平移个单位长度，可得，故D错误．故选：AB．11.已知是边长为3的等边三角形，点在内或边界上，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则点P的轨迹长度为 D.若，则【答案】ABD【解析】对于A,当时，为的中点，则,故，A正确，对于B，，则，由余弦定理可得，B正确，对于C,若，则点P的轨迹为以圆心，以为半径的圆（在内部及边界部分），故长度为，C错误，对于D，当，则位于边的高上，故,又，故，D正确，故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.复数z满足，则________．【答案】或【解析】设，则，所以解得或所以或．故答案为：或．13.的三个内角所对应的边分别为，若，角的平分线交于，则_____．【答案】2【解析】由图可知，记，方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，由可得，，解得：．方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，由正弦定理可得，，解得：，因为，所以，又，所以，即．故答案为：.14.费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于，费马点是三角形内部对三边张角均为的点；如果三角形有一个内角大于或等于，费马点就是该内角所在的顶点.已知中，角所对的边分别为，为费马点.若，则的值为______.【答案】【解析】由，显然最大角为，且，所以为小于的钝角，且，所以费马点在内部，且，所以，则，所以，由.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足（1）求的值；（2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围.解：（1）令且，则，所以，则，可得，所以，则；（2）由，故对应点在第三象限，则，所以，即.16.记锐角三角形的内角的对边分别为，已知，．（1）求；（2）求的最大值．解：（1）因为，所以．又为锐角三角形，故，则．因为，所以．又，故．（2）由正弦定理得，则，．由（1）知，则．所以，因为为锐角三角形，所以，所以，所以，所以当时，即时，取得最大值．17.已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递减区间；（3）