2024-2025学年湖北省部分高中联考协作体高二上学期11月期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省部分高中联考协作体2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题第Ⅰ卷选择题（共58分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知向量，则＝（）A.6 B.7C.9 D.13【答案】C【解析】因为所以.故选：C.2.椭圆的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】由，得，因为椭圆的焦点在轴上，所以，因为长轴长是短轴长的两倍，所以，即，得，故选：D.3.直线与直线平行，那么的值是（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】因为直线与直线平行，所以，解得：，故选：B.4.在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线BC的距离为（）A. B. C.3 D.5【答案】A【解析】利用空间两点间距离公式，，，，所以，，所以，设点A到直线BC的距离为，则，故选：A.5.如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】=，故选：A.6.过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设圆心为，半径为，则，解得，所以圆心为，半径.所以圆的方程为.故选：A.7.已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【解析】，即，整理得，由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，可得，解之得，故选：B.8.如图，椭圆的中心在坐标原点顶点分别是，焦点分别为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为，，，则，，因为就是与的夹角，所以与的夹角为钝角，所以，即，又，所以，两边同时除以，得，即，解得或，又，所以，所以椭圆离心率的取值范围为，故选：D．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或未选的得0分.）9.下列说法正确的是（）A.过，两点的直线方程为B.点关于直线的对称点为C.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2D.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为【答案】BC【解析】对于A：当，时，过，两点的直线方程为，故A不正确；对于B：点

(0,2)

与

(1,1)

的中点坐标，

满足直线方程,

并且两点的斜率为：

−1,

所以点

(0,2)

关于直线

y=x+1

的对称点为

(1,1)

，所以

B

正确；对于C：直线在两坐标轴上的截距分别为：

2,−2,

直线与坐标轴围成的三角形的面积是，所以C

正确；

对于D：经过点

(1,1)

且在

x

轴和

y

轴上截距都相等的直线方程为

x+y−2=0

或

y=x

，所以

D

不正确；故选：BC.10.已知椭圆C：内一点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论不正确的是（）A.C的焦点坐标为2,0，B.C的长轴长为C.直线l的方程为D.【答案】AB【解析】由，得椭圆焦点在轴上，且，，则，，，所以椭圆的焦点坐标为0,2，，长轴长为，故选项A、B错误；设Ax1,y1，B两式作差得，因为为线段的中点，所以，，所以，所以直线的方程为，即，所以选项C正确；由，得，则，，所以，所以选项D正确．故选：AB．11.如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（）A.B.平面C.向量与夹角是60°D.直线与AC所成角的余弦值为【答案】AC【解析】对于，，所以，选项错误；对于，所以，即，，所以，即，因为，平面，所以平面，选项正确；对于：向量与的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项错误；对于，所以，，同理，可得，，所以，所以选项正确．故选：AC．第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为____________.【答案】45°或135°【解析】因为两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角与相等或互补，因为，且，故.故两平面所成的二面角为45°或135°.13.已知圆：与圆：有四条公共切线，则实数的取值可能是___________.（填序号）①；②；③；④.【答案】①④【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，因为两圆有四条公切线，所以两圆外离，又两圆圆心距，即，解得或，故答案为：①④.14.已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．【答案】【解析】因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形矩形，设，则，所以，，即四边形面积等于.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为A（2，1），B（-2，3），C（-3，0）．（1）求BC边所在直线的方程；（2）求BC边上的高AD所在直线的方程．解：（1）设直线BC的直线方程为y=kx+b，将点B（-2，3），C（-3，0）代入，可得，解得，∴直线BC方程为y=3x+9，即3x-y+9=0．（2）∵AD为直线BC的高，∴AD⊥BC，∴，设直线AD的方程为，将点A（2，1）代入，解得，∴直线AD的方程为，即x+3y-5=0．16.已知空间三点，设．（1）若，，求；（2）求与的夹角的余弦值；（3）若与互相垂直，求k．解：（1）因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，因此或；（2）因为所以与的夹角的余弦值为；（3）因为与互相垂直，所以或.17.已知圆和点.（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；（2）求以点M为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆M的方程；解：（1）当切线的斜率不存在，直线方程为，为圆的切线；当切线的斜率存在时，设直线方程为，即，∴圆心到切线的距离为，解得，∴直线方程为综上切线的方程为或.（2）点到直线的距离为，∵圆被直线截得的弦长为8，∴，∴圆的方程为.18.如图，在三棱锥中，，为的中点，.（1）证明：平面平面;（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，三棱锥的体积为，求平面BCD与平面BCE的夹角的余弦值.（1）证明：因为，为的中点，所以，又且，所以平面BCD，又平面ABD，所以平面平面；（2）解：由题意，，所以，由（1）知平面BCD，所以，所以OA=2，取的中点，因为为正三角形，所以，过作与交于点，则，所以，，两两垂直，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，1，，A（0，0，2），，因为平面，所以平面的一个法向量为，设平面的法向量为，又，所以由，得，令，则，，所以，所以，所以平面BCD与平面BCE的夹角的余弦值为.19.已知椭圆过点，且右焦点为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点P.若，，求的值.解：（1）由题意可得，，故椭圆的方程为.（2）①若直线垂直轴，根据椭圆简单的几何性质可知A，B两点的坐标，如，则，，，，，，又∵，求得，，，∴.②若直线不垂直轴，则设直线的方程为，联立椭圆方程，消可得，设，则由可得，∴，由同理可得，∴.湖北省部分高中联考协作体2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题第Ⅰ卷选择题（共58分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知向量，则＝（）A.6 B.7C.9 D.13【答案】C【解析】因为所以.故选：C.2.椭圆的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】由，得，因为椭圆的焦点在轴上，所以，因为长轴长是短轴长的两倍，所以，即，得，故选：D.3.直线与直线平行，那么的值是（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】因为直线与直线平行，所以，解得：，故选：B.4.在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线BC的距离为（）A. B. C.3 D.5【答案】A【解析】利用空间两点间距离公式，，，，所以，，所以，设点A到直线BC的距离为，则，故选：A.5.如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】=，故选：A.6.过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设圆心为，半径为，则，解得，所以圆心为，半径.所以圆的方程为.故选：A.7.已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【解析】，即，整理得，由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，可得，解之得，故选：B.8.如图，椭圆的中心在坐标原点顶点分别是，焦点分别为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为，，，则，，因为就是与的夹角，所以与的夹角为钝角，所以，即，又，所以，两边同时除以，得，即，解得或，又，所以，所以椭圆离心率的取值范围为，故选：D．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或未选的得0分.）9.下列说法正确的是（）A.过，两点的直线方程为B.点关于直线的对称点为C.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2D.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为【答案】BC【解析】对于A：当，时，过，两点的直线方程为，故A不正确；对于B：点

(0,2)

与

(1,1)

的中点坐标，

满足直线方程,

并且两点的斜率为：

−1,

所以点

(0,2)

关于直线

y=x+1

的对称点为

(1,1)

，所以

B

正确；对于C：直线在两坐标轴上的截距分别为：

2,−2,

直线与坐标轴围成的三角形的面积是，所以C

正确；

对于D：经过点

(1,1)

且在

x

轴和

y

轴上截距都相等的直线方程为

x+y−2=0

或

y=x

，所以

D

不正确；故选：BC.10.已知椭圆C：内一点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论不正确的是（）A.C的焦点坐标为2,0，B.C的长轴长为C.直线l的方程为D.【答案】AB【解析】由，得椭圆焦点在轴上，且，，则，，，所以椭圆的焦点坐标为0,2，，长轴长为，故选项A、B错误；设Ax1,y1，B两式作差得，因为为线段的中点，所以，，所以，所以直线的方程为，即，所以选项C正确；由，得，则，，所以，所以选项D正确．故选：AB．11.如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（）A.B.平面C.向量与夹角是60°D.直线与AC所成角的余弦值为【答案】AC【解析】对于，，所以，选项错误；对于，所以，即，，所以，即，因为，平面，所以平面，选项正确；对于：向量与的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项错误；对于，所以，，同理，可得，，所以，所以选项正确．故选：AC．第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为____________.【答案】45°或135°【解析】因为两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角与相等或互补，因为，且，故.故两平面所成的二面角为45°或135°.13.已知圆：与圆：有四条公共切线，则实数的取值可能是___________.（填序号）①；②；③；④.【答案】①④【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，因为两圆有四条公切线，所以两圆外离，又两圆圆心距，即，解得或，故答案为：①④.14.已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．【答案】【解析】因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形矩形，设，则，所以，，即四边形面积等于.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为A（2，1），B（-2，3），C（-3，0）．（1）求BC边所在直线的方程；（2）求BC边上的高AD所在直线的方程．解：（1）设直线BC的直线方程为y=kx+b，将点B（-2，3），C（-3，0）代入，可得，解得，∴直线BC方程为y=3x+9，即3x-y+9=0．（2）∵AD为直线BC的高，∴AD⊥BC，∴，设直线AD的方程为，将点A（2，1）代入，解得，∴直线AD的方程为，即x+3y-5=0．16.已知空间三点，设．（1）若，，求；（2）求与的夹角的余弦值；（3）若与互相垂直，求k．解：（1）因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，因此或；（2）因为所以与的夹角的余弦值为；（3）因为与互相垂直，所以或.17.已知圆和点.（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；（2）求以点M