高三一轮复习讲义（提高版）数学第三章进阶篇不等式恒（能）成立问题进阶1参数全分离

进阶篇不等式恒(能)成立问题解决不等式恒(能)成立问题，常用的方法有：(1)参数全分离将原含参不等式等价变形成a≤f(x)这类形式，进而转化为求f(x)的最值问题.当参变分离后的函数f(x)不复杂，容易求最值时，可采用此法.(2)参数半分离将原含参不等式等价变形成f(x)≤g(a，x)这类形式，画图分析参数a如何取值才能满足该不等式，这种方法往往需要关注切线、端点等临界状态.注：g(a，x)表示g(x)这个函数表达式中既有a也有x，a在不等式左右两边都可以.(3)参数不分离(隐零点、端点效应).(4)特殊的方法(同构等).进阶1参数全分离题型一参数全分离例1不等式lnxax+1≤0恒成立，求实数a的取值范围.思维升华分离参数法解决恒(能)成立问题的策略(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.跟踪训练1(2024·青岛模拟)已知函数f(x)=axex，a>0.(1)若a=1，求函数f(x)在x=1处的切线方程；(2)若x>0，f(x)≤ax2恒成立，求实数a的取值范围.题型二换元后参数分离例2已知函数f(x)=xexa(1)若a=1，求f(x)的单调区间和极值点；(2)若a>0，且当x>0时，f(x)>1恒成立，求实数a的取值范围.思维升华在有些题目中不能直接利用分离参数法，有时为了简化函数，常进行换元，如本题令t=xa就可轻松分离参数跟踪训练2已知函数f(x)=[ln(1+x)]2x2(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若不等式1+1nn+a≤e对任意的n∈N*都成立(其中e是自然对数的底数答案精析例1解不等式lnxax+1≤0恒成立，即ax≥lnx+1恒成立，x>0，即a≥lnx设g(x)=lnx+1x，则g'(x)=lnx易知函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，g(x)max=g(1)=1，所以a≥1.跟踪训练1解(1)当a=1时，f(x)=xex，f(1)=1e，f'(x)=1ex，所以f'(1)=1e，所以f(x)在x=1处的切线方程为y(1e)=(1e)(x1)，即y=(1e)x.(2)当x>0时，axex≤ax2恒成立，即a(x1)≤exx2恒成立.①当0<x≤1时，x1≤0，ex>1，x2≤1，又a>0，所以a(x1)≤0，exx2>0，所以a(x1)≤exx2恒成立.②当x>1时，x1>0，原不等式等价于a≤ex即a≤ex令g(x)=ex则g'(x)=(e令h(x)=exx，则h'(x)=ex1，当x>0时，h'(x)>0，则h(x)=exx在(0，+∞)上单调递增，h(x)>h(0)=1，所以当x>1时，exx>0.则当1<x<2时，g'(x)<0，当x>2时，g'(x)>0，所以g(x)=ex-x2x-1在(1，2)上单调递减，在(所以a≤ex-x2x-1min=g所以0<a≤e24，综上，实数a的取值范围是(0，e24].例2解(1)当a=1时，f(x)=xex1，f'(x)=exxex，令f'(x)=0，得x=1，所以当x<1时，f'(x)>0；当x>1时，f'(x)<0.所以f(x)的单调递减区间为(1，+∞)，单调递增区间为(∞，1)，极大值点为x=1，无极小值点.(2)方法一f(x)>1⇔xexa-2a即xexa-2令xa=t，t>0，则x=atatet(2a+2)t+a+1>0对于t>0恒成立，即a(tet2t+1)>2t1，(*)易证当t>0时，et>t+1，则tet2t+1>t(t+1)2t+1>(t1)2≥0，即tet2t+1>0，于是，由(*)可得a>2t令g(t)=2t-1tet则g'(t)=-(2t+1)(t-1)(te当t∈(0，1)时，g'(t)>0；当t∈(1，+∞)时，g'(t)<0，所以g(t)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，g(t)max=g(1)=1e-1所以a>1e-1，故实数a的取值范围是1方法二f(x)>1⇔xexa-2a即xexa-2令xa=t，t>0则x=at，atet(2a+2)t+a+1>0对于t>0恒成立，即aa+1>2t-1t设h(t)=2t-1te则h'(t)=-(2t当t∈(0，1)时，h'(t)>0；当t∈(1，+∞)时，h'(t)<0.可得h(t)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，所以h(t)max=h(1)=1e则aa+1>1e，解得a>1e-1，故实数跟踪训练2解(1)函数f(x)的定义域为(1，+∞)，f'(x)=2ln(1+x=2(1+x设g(x)=2(1+x)ln(1+x)x22x，则g'(x)=2ln(1+x)2x，令h(x)=2ln(1+x)2x，则h'(x)=21+x2=当1<x<0时，h'(x)>0，故h(x)在(1，0)上单调递增；当x>0时，h'(x)<0，故h(x)在(0，+∞)上单调递减，所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0，所以g'(x)≤0，所以函数g(x)在(1，+∞)上为减函数，于是当1<x<0时，g(x)>g(0)=0；当x>0时，g(x)<g(0)=0，所以当1<x<0时，f'(x)>0，f(x)在(1，0)上单调递增；当x>0时，f'(x)<0，f(x)在(0，+∞)上单调递减，故函数f(x)的单调递增区间为(1，0)，单调递减区间为(0，+∞).(2)不等式1+1nn+a≤e等价于不等式(n+a)由1+1n>1知，a≤1ln设φ(x)=1ln(1+x)1x，x∈(0则φ'(x)=1(1+x=(1+x由(1)知，[l