高三一轮复习讲义（基础版）数学第九章9.4列联表与独立性检验

§9.4列联表与独立性检验课标要求1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解独立性检验及其应用.1.分类变量为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示.2.列联表与独立性检验(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：XY合计Y＝0Y＝1X＝0aba+bX＝1cdc+d合计a+cb+dn＝a+b+c+d(2)计算统计量χ2＝n(ad-bc)2(a+b)(c如表为5个常用的小概率值和相应的临界值.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8281.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数.()(2)事件A和B的独立性检验无关，即两个事件互不影响.()(3)χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量.()(4)在2×2列联表中，若|ad－bc|越小，则说明两个分类变量之间关系越强.()2.一个2×2列联表如表所示，则表中a，c处的值分别为()y1y2合计x1a2573x221bc合计d49A.98，28 B.28，98C.48，45 D.45，483.想要检验喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该提出统计假设H0为()A.男性喜欢参加体育活动B.女性不喜欢参加体育活动C.喜欢参加体育活动与性别有关D.喜欢参加体育活动与性别无关4.(2024·哈尔滨模拟)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得χ2＝2.826，依据α＝0.05的独立性检验，结论为()参考值：α0.10.050.01xα2.7063.8416.635A.x与y不独立B.x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05C.x与y独立D.x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误.题型一列联表及等高堆积条形图例1(1)为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才.某学校在不加重学生负担的前提下，提供个性、全面的选修课程.为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高堆积条形图，根据条形图，下列结论正确的是()A.样本中不愿意选该门课的人数较多B.样本中男生人数多于女生人数C.样本中女生人数多于男生人数D.该等高堆积条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数(2)假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为YXy1y2合计x1101828x2m26m+26合计m+1044m+54则当整数m取时，X与Y的关系最弱()

A.8 B.9 C.14 D.19思维升华利用2×2列联表分析两个分类变量间关系的步骤(1)根据题中数据获得2×2列联表；(2)根据频率特征，即将aa+b与c跟踪训练1(2024·成都模拟)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到列联表：优秀非优秀甲班10b乙班c30附：χ2＝n(ad-bc)2(a+b)(cα0.050.010.005xα3.8416.6357.879已知在全部的105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是(A.甲班人数少于乙班人数B.甲班的优秀率高于乙班的优秀率C.表中c的值为15，b的值为50D.根据表中的数据，若依据α＝0.05的独立性检验，能认为“成绩优秀率与班级有关系”题型二列联表与独立性检验例2随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加，为此某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每周进行长跑训练天数不大于2天3天或4天不少于5天人数3013040若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”.附：χ2＝n(ad-bc)α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828(1)经调查，该市约有3万人参与马拉松运动，估计其中“热烈参与者”的人数；(2)根据表中数据，填写下列2×2列联表，并通过计算判断依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为马拉松的“热烈参与者”与性别有关？热烈参与者非热烈参与者合计男140女55合计思维升华独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据制成2×2列联表.(2)根据公式χ2＝n(ad(3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断.跟踪训练2某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率的作用”的试验，其中甲班为试验班(加强“语文阅读理解”训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如表所示：60分以下61~70分71~80分81~90分91~100分甲班(人数)31161218乙班(人数)78101015现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀.(1)计算两个班级的优秀率；(2)根据以上统计数据填写下面2×2列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率有帮助？优秀人数非优秀人数合计甲班乙班合计参考公式及数据：χ2＝n(ad-bc)2(a+b)(α0.050.010.001xα3.8416.63510.828题型三独立性检验的综合应用例3(2024·拉萨模拟)为促进中华戏曲文化的传承与发展，某校开展了戏曲进校园文艺活动，从全校学生中随机抽取60名男生和60名女生参加戏曲知识竞赛，并按得分(满分：100分)统计，分别绘制成频率分布直方图，如图所示.(1)现有10张某戏剧的演出票送给得分在80分以上(含80分)的同学，根据男生组和女生组得分在80分以上(含80分)的人数，采用按比例分配的分层随机抽样的方法，则男生组、女生组分别得多少张该戏剧的演出票？(2)假设学生竞赛成绩在80分以上(含80分)被认定为这名学生喜爱戏曲.将参加竞赛的学生成绩及性别制成下列2×2列联表：男生女生合计喜爱戏曲不喜爱戏曲合计将列联表补充完整并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为学生喜爱戏曲与性别有关？参考公式及数据：χ2＝n(ad-bc)2(a+b)(c+α0.050.010.001xα3.8416.63510.828思维升华独立性检验的考查，往往与概率和抽样统计图等一起考查，这类问题的求解往往按各小题及提问的顺序，一步步进行下去，是比较容易解答的，考查单纯的独立性检验往往用小题的形式，而且χ2的公式一般会在原题中给出.跟踪训练3(2024·赤峰模拟)随着中国科技的迅猛发展和进步，中国民用无人机行业技术实力和国际竞争力不断提升，市场规模持续增长.为了适应市场需求，我国某无人机制造公司研发了一种新型民用无人机，为测试其性能，对其飞行距离与核心零件损坏数进行了统计，数据如下：飞行距离x(千公里)5663717990102110117核心零件损坏数y(个)617390105119136149163(1)若建立y关于x的回归模型为y^＝b^x+a^，求y关于x的经验回归方程(b^精确到0.1(2)为了检验核心零件报废是否与保养有关，该公司进行第二次测试，从所有同型号民用无人机中随机选取100台进行等距离测试，测试前对其中60台进行核心零件保养，测试结束后，有20台无人机核心零件报废，其中保养过的占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为核心零件的报废与保养有关？保养未保养合计报废20未报废合计60100附：经验回归方程y^＝b^x+a^χ2＝n(ad-bc)2(a+b)(α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828参考数据：x＝86，y＝112，8Σi=1xiyi＝82743，8Σi=1x

答案精析落实主干知识自主诊断1.(1)√(2)×(3)√(4)×2.C[由2×2列联表知，a+25＝73，b+25＝49，b+21＝c，解得a＝48，b＝24，c＝45.]3.D[独立性检验是一种假设性检验，假设有反证法的意味，应假设两类变量无关，在该假设下构造的随机变量χ2应该很小，如果χ2很小，则不能肯定或否定假设，反之，则在一定程度上说明假设不合理，即认为两个变量在一定程度上有关，所以想要检验喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该提出统计假设H0：喜欢参加体育活动与性别无关.]4.C[零假设为H0：x与y独立，由χ2＝2.826<3.841，依据α＝0.05的独立性检验，可得H0成立，故可以认为x与y独立.]探究核心题型例1(1)B[由图乙可知，样本中男生，女生都大部分愿意选择该门课，则样本中愿意选该门课的人数较多，A错误；由图甲可知，在愿意和不愿意的人中，都是男生占比较大，所以可以确定，样本中男生人数多于女生人数，B正确，C，D错误.](2)C[在两个分类变量的列联表中，当|ad－bc|的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小.令|ad－bc|＝0，得10×26＝18m，解得m≈14.4，又m为整数，所以当m＝14时，X与Y的关系最弱.]跟踪训练1D[由条件知10+b+c+30＝105，10+c故b+c＝65，10+c＝30，所以b＝45，c＝20，故C错误；由于甲班人数为10+b＝10+45＝55，乙班人数为c+30＝20+30＝50<55，故A错误；由于甲班优秀率为1055＝211，乙班优秀率为2050由于χ2＝105×(10×30-45×20)255×例2解(1)s＝100+80＝180，t＝80+70＝150.(2)∵80180∴p的估计值为49(3)零假设H0：药物A对预防疾病B无效.根据列联表中的数据可得χ2＝400＝2000297≈6.734>6.635＝x0.01根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为药物A对预防疾病B有效.跟踪训练2解(1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30人，优秀率为3050＝0.6＝60%乙班优秀人数为25人，优秀率为2550＝0.5＝50%所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.(2)补全2×2列联表如下所示.优秀人数非优秀人数合计甲班302050乙班252550合计5545100零假设为H0：加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率没有帮助.由χ2＝100×(25×30-25×20根据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此认为H0成立，即加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率没有帮助.例3解(1)由频率分布直方图得，男生组得分在80分以上(含80分)的有(0.010+0.005)×10×60＝9(人)，女生组得分在80分以上(含80分)的有(0.025+0.010)×10×60＝21(人)，所以男生组分得票数为99+21×10＝3女生组分得票数为219+21×10＝7所以男生组、女生组分别得3张和7张该戏剧的演出票.(2)由(1)知，男生组得分在80分以上(含80分)的有9人，80分以下的有51人；女生组得分在80分以上(含80分)的有21人，80分以下的有39人，所以补充2×2列联表：男生女生合计喜爱戏曲92130不喜爱戏曲513990合计6060120零假设为H0：学生喜爱戏曲与性别无关.根据列联表中数据计算，得χ2＝120＝325＝6.4<6.635根据临界值表可知，没有充分证据推断H0不成立，即学生喜爱戏曲与性别无关.跟踪