高考数学一轮复习微专题106讲19.恒成立问题高三备考核心考点与应用

目录TOC\o"11"\h\u1.求导以后的因式分解策略专项训练 32.单调性分析 103.对数“单身狗”，指数“找朋友” 174.参数分离方法与“副产物” 205.端点效应与必要性探路 266.不等式放缩 327.同构变换与恒成立问题 378.导数恒成立与数列不等式 459.函数与导数中的“凸凹反转”技巧与应用 5110.双变量恒成立问题与应用 5711.恒成立问题中的主元方法 6412.泰勒展开式及其在恒成立问题中的应用 721.求导以后的因式分解策略专项训练本文想通过下面几个例子来说明对导函数处理的基本模式.马上就要进入到导数新授课了，初学导数必须要把握住讨论导数的核心是关注它的正负，零点，所以对其进行因式分解这一步至关重要，不管将来介绍多少种技巧方法，但是最基本的导数应用思想却需要从一开始就要融入的.一．基本原理1.对数求导完后要通分，分母明确正负号后也要通分，都有指数项要提出来等等.2.把握一些基本的的模型：考虑以下函数，4.在下面的例子中，我们将看到指数加多项式结构函数的一些典型应用，它们或是讨论单调性，恒成立，零点个数，或是讨论由极值点构成的双变量问题.不管哪种，求导之后及时的对导数进行因式分解是关键步骤.同时要注意，在指数配多项式的恒成立问题中，“指数找基友”技巧也是极其重要的.二．典例分析（1）讨论的单调性；（2）略.

2.单调性分析二．典例分析解析：方法1.（直接讨论）三．习题演练

3.对数“单身狗”，指数“找朋友”一．基本原理由于很多函数中都包含指数或对数项，在处理时我们有一个技巧：“指数找基友，对数单身狗”，其原理如下：以为底的指数函数具有求导不变性和恒正性，所以给它找“基友”求到后可不再考虑指数函数对正负号的影响，而对数则不具有这样的性质，反而越求导越麻烦，所以让它单独出现，同时对数的定义域决定了当它单独求到后的正负号易于判断.二．典例分析4.参数分离方法与“副产物”“副产物”1：二次求导解析：（方法一：参数分离）（方法2.带参讨论）“副产物”2：隐零点代换“副产物”3：渐近线习题演练（2）试讨论函数的单调性；

5.端点效应与必要性探路一．真题分析.(2)必要性探路是恒成立问题中一种重要的处理手法，由于恒成立问题的任意性，我们可以通过特数值来缩小参数范围.特别地，如果恒成立问题恰好在端点处取到最值，利用连续函数的保号性，可以进一步得到端点效应，下面详细说明其原理.二．基本原理.端点效应的原理：1.必要条件缩小范围：2.充分性求结果：（公众号：凌晨讲数学整理，更多免费资料，请前往公众号）注：必要性探路（端点效应）求出的参数范围可能是所求范围，可能比所求范围要大，所以利用上面原理缩小完参数范围后一定要反过来证明充分性是否成立！三．更多案例解析：（2）必要性探路进一步整理可得：6.不等式放缩一．基本原理首先来梳理常见的不等式及其构造原理.1.切线不等式：将这两个切线不等式进行合适的取值与加减项，又可得到更多的不等式：2.高次不等式放缩3.分式不等式放缩4.数列不等式二．典例分析注：此题实质和下面这道2013年高考试题同源.解析：本题仅就第二问的命题手法做一解析此处仅从不等式放缩角度给出第二问的原理.在不等式试题中，还经常考察与对数有关的数列不等式，下面我们通过一个例子，展示其基本手法.三．习题演练解析：（1）略.

7.同构变换与恒成立问题一．基本原理1.直接变形：说明：取对数是最快捷的，而且同构出的函数，其单调性一看便知.2.先凑再变形：若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以，同加上等，再用上述方式变形.常见的有：二．典例分析习题演练故选：A．8.导数恒成立与数列不等式（1）讨论的单调性；2.利用前n项和的性质构造导数不等式（1）当时，讨论的单调性；3.利用常见导数不等式放缩构造习题演练9.函数与导数中的“凸凹反转”技巧与应用凌晨讲数学一．基本原理3.如何辨识凸凹反转，这就需要我们了解一些常见函数的凸凹性，下表给出了相关总结[1]：总之，可以看到，具有凸凹性的函数就是我们熟悉的导数“六金花”及其衍生，说一千道一万，还是得对下面的函数图像多加了解.二．典例分析★应用1.直接凸凹反转解决恒成立例1．（24年南充市高二下期末考试）函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降．但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性．函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：根据以上内容，完成如下问题：（1）求；★应用2.构造公切线（隔离函数）完成凸凹反转（1）求实数a的值；（公众号：凌晨讲数学整理，更多免费资料，请前往公众号）（2）凸凹性与切线分析习题演练参考文献：[1].张扬，段小龙.再探“隔离函数”问题的探究.[J].数学通讯.2022.02

10.双变量恒成立问题与应用1基本原理.第1类.“任意=存在”型第2类.“存在=存在”型其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分.第3类.“任意≥(≤、>、<)任意”型上述四类就是常见的需要利用分析函数值域来去掉双变量的情形，所以，其实质就是计算函数的值域，下面将选取具体的实例来分析操作步骤.2.典例分析第1类问题问题应用.第2类问题应用第3类情形应用实例（公众号：凌晨讲数学整理，更多免费资料，请前往公众号）（1）讨论函数的单调性；第4类情形应用实例习题演练11.恒成立问题中的主元方法类型1.主元法解决单变量恒成立解析：（1）略（2）（必要性探路与主元变换）类型2.主元法解决单变量恒成立有关函数凸凹性（詹森不等式）背景的双变量问题也经常使用主元方法!下面我们通过例子说明.此处仅就第二问进行如下证明：注：此题在传统的双变量问题思路的基础上，进一步需要结合主元思想才能将多参数问题解决.（1）求的极值；

12.泰勒展开式及其在恒成立问题中的应用本讲主要研究以泰勒展开式为背景的导数命题模式.泰勒展开式应该是高中导数命题中最常用的高等背景，以其为背景的一阶导数（切线）放缩，二阶放缩等活跃于高考试题和各地模考试题中.本节，我们将通过一些典型例题来展示其中的泰勒身影，探析其中常见的命题手法.一．基本命题原理泰勒展开式（泰勒级数）：几个重要的不等式（公众号：凌晨讲数学整理，更多免费资料，请前往公众号）由泰勒公式，我们可以得到几个重要的不等式：二．命题手法展示1.一阶导数放缩2.二阶导数放缩下面我们来看看用二阶泰勒展开来命制2020全国1卷导数压轴题的过程.但是，这样的构造导函数其原函数过于简单，不能满足压轴题的难度，那就增加一个分母：下面一个高考试题也考察了二阶泰勒展开3.泰勒展开式相加命题例3.（2021八省新高考适应考试）（1）略；将上述三个式子相加，甩掉二次以上的项，就可以得到不等关系：4.泰勒公式变形处理下面我们尝试对对