2022届广东省深圳市高三二模数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页广东省深圳市2022届高三二模数学试题一、单选题1.已知集合A=xx<1，A.(0，1) B.(1，2) C.【答案】C【分析】求出集合B，由并集的定义即可求出答案.【详解】因为B=xx故选C.2.已知复数z满足zi=3+4i，其中i为虚数单位，则|A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【分析】先利用复数的除法化简复数，再利用复数的模公式求解.【详解】解：因为复数z满足zi所以z=则z=故选C3.己知点A(0，1)，B(2，A.(1，-2) B.(-1，2) C.【答案】D【分析】由向量的减法和向量的坐标运算即可求出答案.【详解】设Cx，y，所以BCAC=故选D.4.深圳是一座志愿者之城、爱心之城.深圳市卫健委为了解防疫期间志愿者的服务时长(单位：小时)，对参加过防疫的志愿者随机抽样调查，将样本中个体的服务时长进行整理，得到如图所示的频率分布直方图.据此估计，7.2万名参加过防疫的志愿者中服务时长超过32小时的约有()A.3.3万人 B.3.4万人 C.3.8万人 D.3.9万人【答案】A【分析】由频率分布直方图求出样本中服务时长超过32小时的个体频率，即可估计人数；【详解】解：依题意样本中服务时长超过32小时的个体频率为1-4×0.005+0.04+0.09由样本估计总体，可得总体中服务时长超过32小时的个体数为7.3×0.46=3.312≈3.3(万人)；故选A5.已知一个球的表面积在数值上是它的体积的3倍，则这个球的半径是()A.2 B.2 C.3 D.3【答案】D【分析】根据球的表面积公式和体积公式，列出方程求解即可【详解】设球的半径为R，则根据球的表面积公式和体积公式，可得，4πR2故选D6.若x=π2是函数f(x)=cosA.π B.2π C.π2 【答案】A【分析】根据余弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意π2ω=kπ，k∈Z，解得所以f(x)的最小正周期T=2故选A7.已知a>0，若过点(a，b)可以作曲线A.b<0 B.0<b<a3 【答案】B【分析】设切点为x0，x03，切线方程为y=kx-【详解】解：设切点为x0，x03，切线方程为y=k则k=3x0令gx=2x因为a>0，所以当x<0或x>a时g'所以gx在-∞，0和a所以当x=0时gx取得极大值，当x=a时gx依题意gx=2x3-3ax故选B8.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若|A.30°或150° B.45°或135° C.60°或120° D.与p值有关【答案】C【分析】根据题意画出图形，根据抛物线的定义和相似三角形列出比例式，再利用直角三角形的边角关系求出直线的倾斜角.【详解】如图所示，由抛物线y2=2px(p分别过A，B作准线的垂线，垂足为A'，B'，直线l交准线于则AA'=AF，所以AM=2BF，所以∠ABM=30∘，即直线同理可得直线l的倾斜角为钝角时即为120∘故选C.二、多选题9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，则下列条件中，能使直线A.F为AA1的中点 B.F为BB1的中点 C.F为CC1的中点【答案】ACD【分析】取棱BC，CC1，C1D1，D1A1【详解】如图，M，G，H，I，J分别是棱BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，易证E与M，G，H，I，J共面，由EM//AC，故选ACD.10.已知随机变量X服从正态分布N(0，1)，密度函数f(x)=A.f(-x)=1-C.f(x)在(0，【答案】ACD【分析】根据正态曲线的性质，再结合正态分布的密度曲线定义f(x【详解】∵随机变量X服从正态分布N(0，1)，∴正态曲线关于直线x=0对称，f(∵f(x)=P(Xf(2x)=P(|X|≤x故选ACD.11.已知(2-x)8=A.a0=2C.a1+a【答案】AD【分析】利用赋值法判断A、B、C，对二项式及展开式两边对x取导，再令x=1，即可判断D【详解】解：因为(2-x令x=0，则a0=令x=1，则a0+a1令x=-1，则a0-a1对(2-x)8-8(2-x)7=a1故选AD12.P是直线y=2上的一个动点，过点P作圆x2+y2=1的两条切线，AA.弦长|AB|的最小值为3 B.存在点PC.直线AB经过一个定点 D.线段AB的中点在一个定圆上【答案】ACD【分析】设AB∩OP=C，则C为AB的中点，且OP⊥AB，再根据勾股定理、等面积法及锐角三角函数得到AB=21-1OP2、sin∠APB2=【详解】解：依题意OP2=AP2+AO2，即OP2=所以AC=AP⋅AOOP=AP所以sin∠APB2∈0，12，AB∈设Pt，2，则OP=t则x-t22+y-12-x2+y又OC⊥MC，OM=12，所以AB的中点C故选ACD三、填空题13.已知tanα=3，则【答案】-【解析】解：由题意可知：cos2α14.设0<x<1，则1【答案】9【解析】试题分析：因为0<x<1，所以0<1-≥5+21-xx⋅4x1-考点：基本不等式的应用.【方法点晴】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，属于中档试题，此类问题解答中要注意基本不等式的成立的条件和等号成立的条件，灵活应用，着重考查了构造思想的应用，本题的解答中把1x+41-15.已知函数f(x)=ln【答案】12【分析】依据偶函数的定义建立方程即可求解.【详解】由题意知：f(则x∈R即：ln即：ln即：k-1x=-故答案为：12四、双空题16.祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果裁得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.现已知直线y=±2与双曲线x2-y2=1及其渐近线围成的平面图形G如图所示，若将图形G被直线y=t(-2≤t≤2)所截得的两条线段绕y【答案】π4【分析】由直线y=t，其中-2≤t≤2，分步联立方程组y=xy=t和【详解】如图所示，双曲线x2-y由直线y=t，其中联立方程组y=xy联立方程组x2-y所以截面圆环的面积为S=π(根据“幂势既同，则积不容异”，可得该几何体的体积与底面面积为π，高为4的圆柱的体积相同，所以该几何体的体积为V=故答案为：π；4π五、解答题17.已知数列an的前n项和S(1)求数列an(2)若1a1+【答案】(1)a(2)5【分析】(1)由an与S(2)由等比数列前n项和公式求和后解不等式【详解】(1)①n=1时，a1=①n≥2时，an=故an是首项为3，公比为2的等比数列，(2)由(1)得1an整理得(12)n-1故n的最大值为518.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(1)证明：B=2(2)当a=4，b=6时，求【答案】(1)证明见解析(2)15【分析】(1)利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，整理可证明B=2A(2)由正弦定理及已知中的a和b的值，整理可求得sinC值，进而利用三角形面积公式，即可求解【详解】(1)由题意：因为正弦定理：asin所以对于a+有sinC∴sin(整理得：sinA所以，sin(A-B)=sin(-A)，因为A，所以A-B=-(2)由(1)及题意可得：asinA=bsinB，∴cosA=34，∴sinC则S所以△ABC的面积为1519.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，M是侧棱PD的中点，且AM⊥(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD(2)求AM与平面PBC所成角的正弦值.【答案】(1)详见解析；(2)7【分析】(1)由AM⊥平面PCD，得到AM⊥CD，易得AD⊥CD(2)以O为原点，建立空间直角坐标系，先求得平面PBC的一个法向量n=x，y，z，设AM与平面PBC【详解】(1)证明：因为AM⊥平面PCD所以AM⊥又底面ABCD为正方形，所以AD⊥CD，又所以CD⊥平面PAD，又CD⊂平面所以平面PAD⊥平面ABCD(2)取AD的中点O，连接PO，则PO⊥平面ABCD则以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系：设AB=2，则A1所以AM=设平面PBC的一个法向量为n=则PB⋅n=0令z=3，则y=32，设AM与平面PBC所成角θ，所以sinθ20.2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛.约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束.已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为13；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中1(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛.请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元.在比赛前，已知业余队采用了(1)中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望E(X【答案】(1)业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛(2)Ex的取值范围为：4.25，4.3【分析】(1)分别求出第一场比赛，业余队安排乙与甲或丙与甲进行比赛业余队获胜的概率，比较两者的大小即可得出答案.(2)由已知X=4.5万元或X=3.6万元，分别求其对应的概率，得到分布列，求出Ex，由13【详解】(1)第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：P1第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：P2因为13<p<1所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.(2)由已知X=4.5万元或X=3.6由(1)知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛.此时，业余队获胜的概率为P1专业队获胜的概率为P3所以，非平局的概率为PX平局的概率为PXX的分布列为：X4.53.6P81X的数学期望为Ex=4.5×8而13<p<12，所以21.已知椭圆E：x2a2+y2(1)求椭圆E的方程；(2)若N(s，t)是平面上的动点，①s=1，t≠±32，直线NA，②t=2，s∈R，直线NC，ND【答案】(1)x(2)见解析【分析】(1)由已知可得：1a2+34(2)选①，则N(1，tkNA=联立直线和椭圆的方程，求出P，Q的坐标，进一步得到直线PQ的方程，令y=0，x选②，则N(s，kNC=联立直线和椭圆的方程，求出P，Q的坐标，进一步得到直线PQ的方程，令x=0，y【详解】(1)由已知，c=3，点M1，3a2=4，(2)选①，则N(1，tkNA=y=t3x+2Δ=256所以-2xP=16tP-8y=-tx-2xΔ=256t所以2xQ=16tQ8所以kPQ所以直线PQ的方程为：y-所以16y4+8x-32t选②，则N(s，kNC=y=1sx+1Δ=4所以yP=s2-4s同理：yQ=36-sk所以直线PQ的方程为：y令x=0，则故直线PQ恒过定点0，【点评】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，解题的关键是求出P，Q的坐标，进一步得到直线PQ的方程，即可得出直线PQ22.设函数f(x)=(1)讨论f((2)当f(x)存在小于零的极小值时，若x1，【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)求导函数，根据f'x>0⇒f(2)首先根据(1)的结果判断出满足条件fx的单调性，再利用构造函数gx=【详解】(1)由f①当a≤0时，f'x>0⇒f'x<0⇒x②当a>0时，令(i)当x1=x2当x<-