2026届高三一轮复习讲义(基础版)数学第六章6.4数列中的构造问题

§6.4数列中的构造问题重点解读数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式.题型一待定系数法命题点1an+1＝pan+q(p≠0，1；q≠0)例1已知数列{an}中，a1＝5且an+1＝4an+6，则an＝.命题点2an+1＝pan+qn+c(p≠0，1；q≠0)例2已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝2an－n+1，Sn为数列{an}的前n项和，则S8＝.命题点3an+1＝pan+qn(p≠0，1；q≠0，1)例3(2024·衡阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an+1－2n+1，a1＝2，则an＝.思维升华形式构造方法an+1＝pan+q引入参数c，构造新的等比数列{an－c}an+1＝pan+qn+c引入参数x，y，构造新的等比数列{an+xn+y}an+1＝pan+qn两边同除以qn+1，构造新的数列a跟踪训练1(多选)已知数列{an}，下列结论正确的有()A.若a1＝2，2(n+1)an－nan+1＝0，则an＝n·2nB.在数列{an}中，a1＝1，且an＝2an－1+3(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝2n+1－3C.若a1＝2，an＝13an－1+13n(n≥2)D.已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+n－1，则数列{an}的通项公式为an＝2n－n+1题型二取倒数法和取对数法命题点1取倒数法例4已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝anan+3(n∈N*)，则a命题点2取对数法例5(2025·岳阳模拟)已知数列{an}满足a1＝10，an+1＝10an2，则an＝思维升华(1)形如an+1＝tansan+r的递推公式，两边同时取倒数转化为1an+1＝rt·1an+st(2)形如an+1＝panq的递推公式，两边同取以p为底的对数，得logpan+1＝qlogpan+1，将logpan看成整体，运用待定系数法求得logpan的表达式，再得出a跟踪训练2(1)在数列{bn}中，b1＝－1，bn+1＝bn3bn+2，则数列{bn}的通项公式(2)设数列{an}满足a1＝10，an>0，且an＝an-12(n≥2)，则an

答案精析例17×4n－1－2解析因为an+1＝4an+6，所以an+1+2＝4an+8＝4(an+2)，又因为a1+2＝5+2＝7≠0，所以an+1+2所以数列{an+2}是以7为首项，4为公比的等比数列，所以an+2＝7×4n－1⇒an＝7×4n－1－2.例2291解析设an+1+λ(n+1)+u＝2(an+λn+u)，所以an+1＝2an+λn+u－λ，又an+1＝2an－n+1，所以λ＝-1所以an+1－(n+1)＝2(an－n)，又a1－1＝1，因此数列{an－n}是以1为首项，2为公比的等比数列，故an－n＝2n－1，因此an＝n+2n－1，所以S8＝(1+2+…+8)+(20+21+…+27)＝8+20×(1-例3(n+1)2n－1解析因为Sn＝an+1－2n+1，Sn－1＝an－2n(n≥2)，两式相减得Sn－Sn－1＝(an+1－2n+1)－(an－2n)，即an+1＝2an+2n.两边同除以2n+1可得an+12n+1－又S1＝a2－22＝2，得a2＝6，满足a2所以数列an2n是首项为a公差为12故an2n＝即an＝(n+1)2n－1.跟踪训练1AB[∵2(n+1)an－nan+1＝0，∴an∴ann是首项为a1公比为2的等比数列，∴ann＝2·2n－1，∴an＝n·2n，故由an＝2an－1+3(n≥2)，得an+3＝2(an－1+3)，即an+3a又a1+3＝1+3＝4，∴数列{an+3}是首项为4，公比为2的等比数列，∴an+3＝4×2n－1，即an＝2n+1－3，∴数列{an}的通项公式为an＝2n+1－3，故B正确；根据题意，an＝13an－1+⇔an13n－an又a113＝6，∴a公差为1的等差数列，故C错误；设an+1+k(n+1)+b＝2(an+kn+b)，∴an+1＝2an+kn+b－k，由an+1＝2an+n－1，得k＝1∴an+1+即{an+n}是首项为a1+1＝2，公比为2的等比数列.∴an+n＝2×2n－1＝2n，故an＝2n－n，故D错误.]例42解析因为an+1＝anan+3(n∈所以1an设1an+1+t＝所以3t－t＝1，解得t＝12所以1an+1+12又1a1+12＝所以数列1an+12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以1an+12＝32×例510解析由an+1＝10an2可得anlgan+1＝lg(10an2)＝2lgan故lgan+1+1＝2(lgan+1)，又lga1+1＝2，故数列{lgan+1}是首项为2，公比为2的等比数列，则lgan+1＝2n，故an＝102跟踪训练2(1)1解析bn+1＝bn得1bn+1＝因此1bn+1+3＝又1b1+3＝故1bn+3是以2则1bn+3＝2·2n－1＝2可得bn＝12(