2026届高三一轮复习讲义(教师基础版)数学第一章必刷小题1集合、常用逻辑用语、不等式

必刷小题1集合、常用逻辑用语、不等式(分值：73分)一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.已知集合A={x||x-1|≤3}，B=xx-5x+1<0，那么A∪A.(-1，4) B.(-1，4]C.(-2，5) D.[-2，5)答案D解析由|x-1|≤3，解得-2≤x≤4，即A=[-2，4].由x-5x+1<0，解得-1<即B=(-1，5)，所以A∪B=[-2，5).2.已知直线a，b和平面α，a⊄α，b∥α，则“a∥b”是“a∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析因为b∥α，则存在c⊂α使得b∥c且b⊄α，若a∥b且a⊄α，则a∥c，又a⊄α且c⊂α，所以a∥α，充分性成立；设β∥α，b⊂β，a⊂β，a∩b=P，则有a∥α，但a，b不平行，即必要性不成立，则“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件.3.已知集合A={x|x<a}，B={x|x≥1}，若(∁RB)∪A=A，则实数a的取值范围为()A.{a|a≥1} B.{a|a>1}C.{a|a≤1} D.{a|a<1}答案A解析因为B={x|x≥1}，∁RB={x|x<1}，因为(∁RB)∪A=A，所以(∁RB)⊆A，所以a≥1.4.已知a>b>0>c，n∈Z，则下列不等式一定成立的是()A.ab<bc B.a-b>b-cC.an>bn D.b(b-c)<a(a-c)答案D解析对于A，由a>b>0>c，可得ab>0>bc，所以A错误；对于B，例如，当a=2，b=1，c=-3时，可得a-b<b-c，所以B错误；对于C，例如，当a=2，b=1，n=-1时，a-1<b-1，所以C错误；对于D，由a>b>0>c，可得0<b-c<a-c，又由0<b<a，根据不等式的性质，可得b(b-c)<a(a-c)，所以D正确.5.当x>1时，不等式2x+1x-1≥a恒成立的充要条件是(A.a≤22 B.a≤4C.a≤22+2 D.a≥22答案C解析因为当x>1时，不等式2x+1x-1≥a恒成立，故a≤2x+当x>1时，x-1>0，故2x+1x-1=2(x-1)+1x-1+2≥22(当且仅当2(x-1)=1x-1，即x=1+22时等号成立，故a≤2所以“当x>1时，不等式2x+1x-1≥a恒成立”的充要条件是“a≤22+26.已知命题p：“∃x∈[-1，1]，x2-a>0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+4=0”.若命题p为假命题且命题q为真命题，则实数a的取值范围是()A.a≤-2或a=1 B.a≤-2或1≤a≤2C.a≥1 D.a≥2答案D解析依题意¬p：“∀x∈[-1，1]，x2-a≤0”为真命题，则∀x∈[-1，1]，a≥x2，∴a≥1，若∃x∈R，x2+2ax+4=0，则Δ=(2a)2-16≥0，解得a≤-2或a≥2.∵命题¬p和命题q都是真命题，∴a≥2.7.已知a2+b2=ab+4，则a+b的最大值为()A.2 B.4 C.8 D.22答案B解析a2+b2=ab+4，则有(a+b)2=3ab+4≤3(a+可得(a+b)2≤16，即a+b≤4，当且仅当a=b=2时，等号成立.所以a+b的最大值为4.8.(2025·怀化模拟)给定整数n≥3，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集T={|a-b||a，b∈S，a≠b}，如果min(T)=1，则称集合S为规范数集(注：min(X)表示数集X中的最小数).对于集合M={-0.1，-1.1，2，2.5}，N={-1.5，-0.5，0.5，1.5}，则()A.M是规范数集，N不是规范数集B.M是规范数集，N是规范数集C.M不是规范数集，N是规范数集D.M不是规范数集，N不是规范数集答案C解析集合M={-0.1，-1.1，2，2.5}中，2∈M，2.5∈M，则|2-2.5|=0.5<1，即M的相伴数集中的最小数不是1，因此M不是规范数集；集合N={-1.5，-0.5，0.5，1.5}中，|-1.5-(-0.5)|=1，|-0.5-0.5|=1，|0.5-1.5|=1，|-1.5-0.5|=|-0.5-1.5|=2，|-1.5-1.5|=3，即N的相伴数集中的最小数是1，因此N是规范数集.二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.已知a>b>c，且ac<0，则()A.ab>bc B.1a>C.bc<c2 D.1a-答案BCD解析因为a>b>c，ac<0，所以a>0，c<0，则有1a>0>1c，故因为b可正，可负，也可以为0，故A错误；由b>c，c<0，可得bc<c2，故C正确；因为a>b>c，所以-c>-b，所以a-c>a-b>0，所以1a-b>1a-10.已知集合A={x|x2-x-6>0}，B={x|ax2+bx+c≤0}，其中a≠0，若A∪B=R，A∩B={x|3<x≤5}，则()A.a>0B.关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为xC.a+b+c>0D.bc>10a-1答案AD解析由题知A={x|x<-2或x>3}，又A∪B=R，A∩B={x|3<x≤5}，所以B={x|-2≤x≤5}，故-2，5是ax2+bx+c=0的两个根且a>0，A对；则-ba=3，ca=-10⇒b=-3a，c=-10由cx2+bx+a=-a(10x2+3x-1)>0，得10x2+3x-1<0，即(5x-1)(2x+1)<0，所以解集为x-12bc-10a+1=30a2-10a+1=30a-162+16>0，即bc>10a11.已知a>0，b>0且a+b=1，下列结论正确的是()A.1a+1b的最小值为4 B.abC.a+b的最大值为2 D.a2+b2的最小值为1答案AD解析对于A，因为正实数a，b满足a+b=1，所以1a+1b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab≥2+2ba·ab=4，当且仅当ba=对于B，因为正实数a，b满足a+b=1，所以1=a+b≥2ab⇒ab≤12，当且仅当a=b=12时等号成立，即ab的最大值为12，对于C，因为正实数a，b满足a+b=1，所以a+b2≤(a)2+(b)22=a+b2=12⇒a+对于D，因为正实数a，b满足a+b=1，所以a2+b22≥a+b2=12当且仅当a=b=12时等号成立，故D正确三、填空题(每小题5分，共15分)12.已知正数a，b满足1a+4b=2，则ab的最小值为答案4解析∵1a+4b≥21a∴2≥4ab，即ab≥4当且仅当1a=4b且ab即a=1，b=4时等号成立，∴ab的最小值为4.13.已知p：|x-1|<1，q：x2-(a+1)x+a≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是.

答案(0，2)解析由|x-1|<1，解得0<x<2，所以p：0<x<2，对于q：x2-(a+1)x+a≤0，即(x-1)(x-a)≤0，若a>1，解得1≤x≤a，要使p是q的必要不充分条件，则a<2，所以1<a<2；若a<1，解得a≤x≤1，要使p是q的必要不充分条件，则a>0，所以0<a<1；若a=1，则q为{x|x=1}，符合题意，所以实数a的取值范围是(0，2).14.当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合A=-1，12，1，B={x|x2=a}.若A与B构成“全食”，则a的取值范围是；若A与B构成“偏食”，则答案{a|a<0或a=1}1解析由B={x|x2=a}可知，当a<0时，B=∅，此时B⊆A；当a=0时，B={0}，此时A∩B=∅；当a>0时，B={-a，a又A=-1，12，1，若A与