2026届高三一轮复习讲义(提高版)数学第八章培优点7阿波罗尼斯圆与蒙日圆

培优点7阿波罗尼斯圆与蒙日圆重点解读在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及阿波罗尼斯圆、蒙日圆，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档.题型一阿波罗尼斯圆“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(－a，0)，B(a，0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以Cλ2＋1λ例1(1)设A，B是平面上两点，则满足|PA||PB|＝k(其中k为常数，k>0且k≠1)的点P的轨迹是一个圆，已知A(6，0)，B62，0，且k＝2，则点P所在圆M(2)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA＝2sinB，acosB＋bcosA＝2，则△ABC面积的最大值为.

思维升华阿波罗尼斯圆的逆用当题目给了一个圆的方程和一个定点，我们可以假设另一个定点，构造相同的阿氏圆，利用两圆是同一个圆，便可以求出定点的坐标.跟踪训练1(1)如图，在等腰△ABC中，已知|AB|＝|AC|，B(－1，0)，AC边的中点为D(2，0)，则点C的轨迹所包围的图形的面积等于.

(2)已知点P是圆(x－4)2＋(y－4)2＝8上的动点，A(6，－1)，O为坐标原点，则|PO|＋2|PA|的最小值为.

题型二蒙日圆在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，即x2＋y2例2(1)蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C：x2a＋2＋y2a＝1(a>0)的蒙日圆的方程为x2＋y2A.1 B.2 C.3 D.4(2)(多选)已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长为4，离心率为e＝12，P为椭圆C的蒙日圆上任一点，则以下说法正确的是(A.过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，则有PA⊥PBB.过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点，直线OP，AB的斜率分别为kOP，kAB，kOP·kAB＝－4C.过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则S△APB的取值范围为9D.过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则S△AOB的最大值为3思维升华(1)设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点.性质1PA⊥PB.性质2kOP·kAB＝－b2性质3kOA·kPA＝－b2a2，kOB·kPB＝－b2性质4PO平分椭圆的切点弦AB.性质5延长PA，PB分别交蒙日圆O于点C，D，则CD∥AB.性质6S△AOB的最大值为ab2，S△AOB的最小值为a性质7S△APB的最大值为a4a2＋b2，(2)蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广双曲线x2a2－y2b2＝1(a>b>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是蒙日圆：x2＋y2＝a2－b2(3)抛物线y2＝2px(p>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是该抛物线的准线：x＝－p2(可以看作半径无穷大的圆)跟踪训练2(多选)已知椭圆C：x25＋y24＝1A.椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝9B.过直线l：x＋2y－3＝0上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，当∠MPN为直角时，直线OP的斜率为－4C.若P为蒙日圆上一点，则PO平分椭圆的切点弦MND.若P为蒙日圆上一点，O，P到MN的距离分别为d1，d2，则d1d2＝20答案精析例1(1)x2+y2=3解析设P(x，y)，由题意可得，|PA||PB|=2即|PA|=2|PB|，则(x-6)2+整理得x2+y2=3.(2)4解析依题意，由sinA=2sinB，得|BC|=2|AC|，acosB+bcosA=a2+c2-b即|AB|=2，以AB边所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设A(1，0)，B(-1，0)，C(x，y)，x≠0，由|BC|=2|AC|，则C的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为x-532+y2=169边AB上的高的最大值为43所以(S△ABC)max=跟踪训练1(1)4π解析因为|AB|=|AC|=2|AD|，所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为(x-3)2+y2=4(y≠0).设C(x，y)，由AC边的中点为D(2，0)，知A(4-x，-y)，所以C的轨迹方程为(4-x-3)2+(-y)2=4(y≠0)，即(x-1)2+y2=4(y≠0)，故所求的面积为4π.(2)10解析假设A'(m，n)，使得|PO|=2|PA'|，设P(x，y)，则x2+y从而可得3x2-8mx+4m2+3y2-8ny+4n2=0，从而可知圆心坐标为4m由题意得圆3x2-8mx+4m2+3y2-8ny+4n2=0与圆(x-4)2+(y-4)2=8是同一个圆，所以4m3=4，4解得m=n=3，即A'(3，3).所以|PO|+2|PA|=2(|PA'|+|PA|)≥2|A'A|=2(6-3)2当A，P，A'三点共线且P在线段AA'上时，等号成立.即|PO|+2|PA|的最小值为10.例2(1)A[∵椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，找两个特殊点分别为(2+a，0)，(0，a)，则两条切线分别是x=2+a，y=a，这两条切线互相垂直，且两条直线的交点为P(2+a，a)，而P在蒙日圆上，∴(2+a)2+(2)ACD[由题意知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为e=12，故所以c=1，b2=a2-c2=3，则椭圆方程为x24+y23=1，蒙日圆的方程为x2+对于A，由蒙日圆的定义知PA⊥PB，A正确；对于B，设P(x1，y1)，A(x2，y2)，B(x3，y3)，则PA的方程为x2x4+PB的方程为x3x4+两切线过点P，故x2x14+y2y1即点A，B在直线x1x4+因为两点确定一条直线，故直线AB的方程为x1x4+则kAB=-3x14y1，而故kOP·kAB=-34，B对于C，当点P在x轴上时，则y1=0，x1=7或x1=-7，则直线AB的方程为x=±47联立x24+y23=1，得所以|AB|=677，易得点P到直线AB的距离为则S△APB=12×677×3当点P不在x轴上时，由于直线AB的方程为x1x4+联立x24+y得(3x12+4y12)x2-24x1xΔ=(-24x1)2-4(3x12+4y12=64y12(3x12+4y则x2+x3=24xx2x3=48-16y故|AB|=1+kAB=1+9x=29又点P到直线AB的距离d1=|3故S△APB=12|AB|d=9x|3=(3x又x12+y故令t=3x12+4y12-12=y1则S△APB=t3t2令f(t)=1t+12显然f(t)在(3，4]上单调递减，故y=11t+12t3在则S△APB>1f(3)=(S△APB)max=1f(4)=综上所述，S△APB的取值范围为97，16对于D，由C的分析可知，当点P在x轴上时，|AB|=677，点O到直线AB的距离为则S△AOB=12×677×4当点P不在x轴上时，|AB|=29而点O到直线AB的距离d2=|-12故S△AOB=12|AB|d=9x|-12=123又x12+y故令t=3x12+4y12-12=y1则S△AOB=12tt2而t+12t≥212=43当且仅当t=12t，即t=23∈(3，4]故S△AOB=12t+12t≤又127<3所以S△AOB的最大值为3，D正确.]跟踪训练2ACD[由蒙日圆的定义，易得椭圆C：x25+y24=1的蒙日圆方程为x2+y2依题意，点P是直线l与蒙日圆的交点，则x解得P-95，125或P(3，0)，直线OP的斜率为-4当点P在坐标轴上时，由对称性可知，PO平分椭圆的切点弦MN；当点P不在坐标轴上时，设P点坐标为(x