（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步讲义+达标检测2.3.1 两条直线的交点及距离公式（解析版）

第第页2．3.1两条直线的交点坐标2．3.2两点间的距离公式知识点一两条直线的交点1．两直线的交点已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)．(1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0.))2．两直线的位置关系方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行知识点二两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关．(2)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).【题型目录】题型一、求相交直线的交点坐标题型二、方程组解的个数与直线位置关系题型三、由直线交点的个数求参数题型四、两点间的距离题型一、求相交直线的交点坐标1．过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出两直线交点，再由与直线平行得出斜率，由点斜式写出方程即可求解.【详解】由解得，则直线的交点，又直线的斜率为，则所求直线方程为，整理得.故选：C.2．过两直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程为______．【答案】【分析】求出两直线交点坐标，再根据所求直线与直线垂直，确定所求直线斜率，再利用点斜式即可得到答案.【详解】根据题意可得，解得，则两直线交点坐标为，又所求直线与直线垂直，则所求直线的斜率为，则所求直线方程为，整理得，故答案为：.3．三条直线构成一个三角形，则的取值范围是______．【答案】且【分析】排除，及交于一点的情况，即可得解.【详解】由得，由得，由得，若在上，则．故若能构成一个三角形，则．故答案为：且.4．判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)平行；(2)相交；；(3)相交；【分析】（1）由斜率相等，再判断在y轴上的截距是否相等；（2）由斜率不相等，再联立两方程求交点；（3）由斜率不相等，再联立两方程求交点.【详解】(1)因为，令，，所以；(2)因为，所以两直线相交，联立，解得，所以交点坐标为；(3)因为，所以两直线相交，联立，解得，所以交点坐标为.5．数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求：(1)外心的坐标；(2)重心的坐标；(3)垂心的坐标．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）将直线垂直平分线方程与欧拉线方程联立即可解得外心坐标；（2）设，由此可得重心坐标，将其代入欧拉线可得关于方程；由可得关于的另一方程，由此联立可得的值，进而得到重心坐标；（3）将边上的高所在直线方程与欧拉线方程联立即可解得垂心坐标.【详解】（1）中点为且，垂直平分线方程为：，即，由得：，即外心.（2）设，则重心，将代入欧拉线得：，即…①；由得：…②；由①②得：或（与重合，不合题意），，重心.（3）由（2）知：；由（1）知：，边的高所在直线方程为：，即；由得：，垂心.题型二、方程组解的个数与直线位置关系6．若关于x，y的方程组无解，则（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由题可知直线与平行,再根据平行公式求解即可.【详解】由题,直线与平行,故.故选：A7．直线3x－2y＋a＝0与直线(a2－1)x＋3y＋2－3a＝0的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．相交或平行【答案】A【分析】】由两直线平行则斜率相等且在y轴上的截距不相等求解．【详解】令，解得2a2＝－7，无解，故两条直线不可能平行或重合，必相交，故选A．8．若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______【答案】4【分析】当方程组有无穷多解时,可得到两直线重合,则可求出,,计算即可得解.【详解】若方程组有无穷多组解，即两条直线重合,即,则故答案为：4题型三、由直线交点的个数求参数9．设点,,若直线与线段没有交点,则的取值范围是(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】因为直线过定点,直线与线段没有交点,转化为过定点的直线与线段无公共点,画出图像,结合图像,即可求得答案.【详解】直线与线段没有交点，即直线与线段没有交点对于直线,令,则,则直线恒过点根据题意,作出如下图像:,根据两点求斜率公式可得:直线的斜率为,根据两点求斜率公式可得:直线的斜率为直线的斜率为，若直线与线段没有交点，则故选:C.10．已知三条直线，，.（1）若直线，，交于一点，求实数的值；（2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值.【答案】（1）或；（2）或或4或.【分析】（1）联立方程组即可求出；（2）根据题意可知直线交于一点或有两条直线平行，则可求解.【详解】（1）∵直线，，交于一点，∴与不平行，∴，由，得，即与的交点为，代入的方程，得，解得或.（2）若，，交于一点，则或；若，则；若，则；若，则不存在满足条件的实数.综上，可得或或4或.题型四、两点间的距离11．以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是【答案】C【分析】计算出，由此确定三角形的形状.【详解】，，，，所以三角形是直角三角形.故选：C12．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是（

）A．(－4，5)B．(－3，4)C．(－1，2)D．(0，1)【答案】BC【分析】根据两点间的距离公式求得正确选项.【详解】设所求点的坐标为，则，解得或，所以所求点的坐标为或.故选：BC13．已知点为直线上的动点，，则m的最小值为（

）A．5 B．6 C． D．【答案】C【分析】根据两点之间距离最小结合点关于直线的对称性即可根据两点间距离公式求解.【详解】表示点到点和点的距离之和．因为点关于直线的对称点为，所以m的最小值为点与点之间的距离，即．此时点为与的交点.故选：C14．若点为直线上的动点，则的最小值为___________.【答案】4【分析】由题意，根据两点之间的距离公式，问题转化为点到直线上的点的最短距离，由点到直线的距离公式，可得答案.【详解】解：由可化为，转化为点到点的距离的平方，因为点为直线上的动点，由点到直线的距离为，的最小值为4.故答案为：.15．如图，在中，，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则点的坐标为______，______．【答案】

【分析】设，由中点坐标公式即可表示出、两点的坐标，由点在轴上，点在轴上则可列出方程组，即可解出点的坐标，再利用两点的距离公式，即可求出的值.【详解】设因为的中点在轴上，的中点在轴上，，，所以，解得，所以点的坐标是，．故答案为：；.16．设，已知直线l1：，过点作直线l2，且l1∥l2，则直线l1与l2之间距离的最大值是__．【答案】【分析】直接利用方程组求出直线经过的定点，则当此定点和点的连线与l1垂直时，直线l1与l2之间距离取得最大，进一步利用两点间的距离公式求出结果．【详解】解：由于直线l1：，整理得，由，解得，即直线l1恒过点；则过点作直线l2，且l1∥l2，所以直线l1与l2之间距离的最大值为点与点间的距离．故答案为：．1．若与的图形有两个交点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根据题意，可知表示关于轴对称的两条射线，表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，画出图形，分析判断即可求出的取值范围.【详解】解：表示关于轴对称的两条射线，表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，根据题意，画出大致图形，如下图，若与的图形有两个交点，且，则根据图形可知．故选：A．2．已知，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为______．【答案】【分析】求得过点且与直线垂直的直线方程，通过联立方程组来求得点的坐标.【详解】直线的斜率为，所以过点且与直线垂直的直线的斜率为，所以过点且与直线垂直的直线方程为，由.故答案为：3．直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为____．【答案】【分析】联立方程求两直线的交点坐标，进而根据第四象限的特征即可列不等式求解.【详解】由题意可得，解得，且，故答案为：4．方程组有无穷多组解，则实数___________【答案】【分析】由已知关于的方程组有无穷多组解，则直线与直线重合，根据两条直线重合对应系数成比例，构造关于的方程，解方程即可得到答案．【详解】解：若关于的方程组有无穷多组解，则直线与直线重合，即，解得，故答案为．5．若三直线：，：，：经过同一个点，则______【答案】【分析】先求出直线与的交点坐标，然后将交点坐标代入直线的方程后可求得.【详解】由，解得，∴直线与的交点坐标坐标为．由题意得点在直线上，∴，解得．故答案为：-3．6．光线从点射到轴上，经反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为___________，光线从到的路线长度为___________.【答案】

【分析】由题设，反射光线过和，应用点斜式写出方程，再由从到的路线长度为与的距离，两点式求路线长度.【详解】由题设，反射光线过和，故斜率为，所以反射光线为，整理得，光线从到的路线长度，即为与的距离，所以路线长度为.故答案为：，7．设的最小值为_______.【答案】【分析】已知的式子可以看成点到点和距离的和，则其最小值就是点和距离，从而可求得答案【详解】从几何意义看，+表示点到点和距离的和，其最小值为和两点间的距离.故答案为：8．求下列各组直线的交点坐标：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】分别联立两直线方程即可得解.【详解】(1)联立，解得，所以交点坐标为；(2)联立，解得，所以交点坐标为；(3)联立，解得，所以交点坐标为.9．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)．（1）判断△ABC的形状；（2）求△ABC的面积．【答案】（1）△ABC是以A为直角顶点的直角三角形；（2）5．【分析】（1）利用两点间的距离公式求出的值，再由勾股定理的逆定理判断即可；或求出直线、的斜率，利用斜率的关系判断即可；（2）直接直角三角形的两直角边求面积即可【详解】2、（1）如图所示，△ABC为直角三角形，下面进行验证．法一：∵，，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．法二：∵．∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC．∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．（2）由（1）中法一得|AB|＝2，|AC|＝．又∵∠A＝90°，∴S△ABC＝|AB||AC|＝×2×＝5．1．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】考虑到该题为高一新生所做，过点作交于，在求得与的长度即可.【详解】过点作交于，如图所示。因为四边形是菱形，所以，,所以在中，，所以在中，，，，故的坐标为：.故选：D.2．已知，，，则ABC垂心的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，求出AB和BC边上的高所在直线的方程，然后联立方程，求解出交点坐标即为ABC垂心的坐标.【详解】解：因为，，，所以，，所以AB边上的高所在直线的方程为x＝1，BC边上的高所在直线的斜率为1，方程为y＝x，联立，得，所以垂心的坐标为．故选：D．3．曲线与的交点的情况是（

）A．最多有两个交点 B．两个交点C．一个交点 D．无交点【答案】A【分析】联立两条直线的方程得到二次方程，再根据判别式分析即可【详解】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点．故选：A4．已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据菱形对角线互相垂直可知轴，则可设，由可构造方程求得结果.【详解】四边形为菱形，轴，轴，可设，，，解得：（舍）或，.故选：A.5．（多选）若两平行线分别经过点A（5，0），B（0，12），则它们之间的距离d可能等于（

）A．14 B．5 C．12 D．13【答案】BCD【分析】由题意可知当两平行线与A，B两点所在直线垂直时，两平行线间的距离d最大，求得，即可得出答案.【详解】因为两平行线分别经过点A（5，0），B（0，12），易知当两平行线与A，B两点所在直线垂直时，两平行线间的距离d最大，即，所以，故距离d可能等于5，12，13.故选：BCD．6．（多选）已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（

）A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则【答案】AB【分析】画出图像，逐一分析，即可.【详解】解：如图所示，当点与D、F重合时，为直角三角形，此时或，故A对，当点介于D、F之间时，为锐角三角形，此时，故B对，当点于位于D点左侧且不与B点重合时，为钝角三角形，此时且，故C错误，当点与E、F、G重合时，为等腰三角形，此时或，故D错误，故选：AB.7．直线l1：和l2：的交点的坐标为________．【答案】【分析】联立两直线方程解方程组即可.【详解】解方程组得所以两条直线交点的坐标为.故答案为：8．已知直线和相交，且交点在第二象限，则实数的取值范围为____．【答案】【分析】分析可得，联立两方程，求得交点坐标，根据交点在第二象限，列出不等式组，即可得答案.【详解】当，直线和平行，不满足题意，故，此时联立方程，解得，因为交点在第二象限，所以，解得，故实数的取值范围为．故答案为：9．点在轴上运动，点在直线上运动，若，则的周长的最小值为___________.【答案】【分析】设A关于轴的对称点关于的对称点，利用对称将的周长的最小值转化为求的长度，求得的坐标，由两点间距离公式即可求得答案.【详解】设A关于轴的对称点关于的对称点，的周长，取等号时即共线时，的周长的值最小，即的长度即为三角形周长的最小值，由题意，设点，解得，所以，由两点距离公式知.故答案为：.10．已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标为________．【答案】或【分析】由题意得，，根据直线垂直的斜率公式与两点距离公式列式求解.【详解】设，由题意知，，得，可化为，解得或，所以点的坐标为或．故答案为：或11．已知点，且，写出直线AB的一个方程____【答案】(答案不唯一)【分析】根据两点间的距离公式，求出的值，然后写出点的坐标，从而可求直线AB的一个方程.【详解】根据两点间的距离公式，得，即。所以，所以或，当时，，直线的方程为；当时，，直线的方程为.故答案为：.