（人教A版）必修一高一数学上册期末专题强化练习05 三角函数中的最值问题（解析版）

第第页强化专题6三角函数中的最值问题【题型目录】一、y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最值问题二、可化为y＝f(sinx)型的二次式的值域问题三、含sinx±cosx，sinxcosx的最值问题四、函数图象平移距离的最小值五、ω的最值【例题详解】一、y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最值问题1．在上的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据的取值范围，求出的取值范围，再根据余弦函数的性质计算可得；【详解】解：，，即，故函数的值域为；故选：C.2．函数f(x)=sin(x+)+cos(x−)的最大值为（

）A． B．1 C． D．【答案】A【详解】由诱导公式可得，则,函数的最大值为.所以选A.3．函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由在上单调递增，可得；再由在或上单调递减即可得到的范围.【详解】根据正切函数的性质，可知：在上单调递增，当时，；当时，.所以，由在或上单调递减，可得：当时，；当时，.所以函数的值域是.故选：4．函数在区间上的值域为_____________.【答案】【分析】因为，求得，结合正切函数的单调性，即可求解.【详解】因为，可得，因为函数是单调递增函数，又由，所以函数在区间上的值域为.故答案为：.5．已知函数，(I)求最小正周期；(II)求在区间上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）,.【详解】（Ⅰ）由已知，有.所以的最小正周期.（Ⅱ）因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，，所以在区间上的最大值为，最小值为.考点：三角恒等变形、三角函数的图象与性质.二、可化为y＝f(sinx)型的二次式的值域问题6．函数的最小值为（

）A．2 B．0 C． D．6【答案】B【分析】设，则，结合二次函数性质求其最小值即可.【详解】因为，设，则，由二次函数性质可得当上单调递减，所以当，取最小值，最小值为0，故当时，函数取最小值，最小值为0，故选：B.7．函数（）的最大值是__________．【答案】1【详解】化简三角函数的解析式，可得，由，可得，当时，函数取得最大值1．8．函数的值域是___________．【答案】【分析】根据二倍角公式将原式化简，得，利用换元法和二次函数的性质即可求解.【详解】，令，所以原函数，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，能取到最小值，当时，能取到最大值7，所以函数的值域为.故答案为：.9．若方程在内有解，则a的取值范围是______．【答案】【分析】利用同角三角函数关系式可将问题转化为在上有解，利用正弦函数及二次函数的性质求得a的取值范围.【详解】把方程变为，设，则．显然当且仅当的值域时,有解．且由知,，∴当时，有最小值，当时，有最大值的值域为,∴的取值范围是．故答案为：.10．已知x∈[－，]，f(x)＝tan2x＋2tanx＋2，则f(x)的值域____________．【答案】【分析】令t=tanx，则函数f（x）=h（t）=t2+2t+2，对称轴为t=-1，利用二次函数的性质求出原函数值域．【详解】∵x∈[－，]，令t=tanx，则函数f（x）=h（t）=t2+2t+2，对称轴为t=-1，所以h（t）在递减，在递增，所以h（-1）=1，h（1）=5，原函数值域为．故答案为：三、含sinx±cosx，sinxcosx的最值问题11．函数的最小值为___________________．【答案】-1【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简函数为，令，，可将函数化为二次函数的形式，根据二次函数性质可求得最小值.【详解】令，则

，当时，，即的最小值为本题正确结果：12．已知函数，则的最大值为___________.【答案】【分析】设，用换元法化为二次函数求解．【详解】设，则，，，∴时，，即．故答案为：．13．函数的值域为___________.【答案】【分析】由正弦的二倍角公式、两角和的正弦公式变形后，令换元，化为的二次函数，求得的范围后，由二次函数性质得结论．【详解】；令，则故答案为：．14．若对任意恒成立，则的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】先分离参数，将恒成立问题转化为最值问题，再换元求出最值，即可得到答案.【详解】和在均大于0，∴在上大于0，得.令，则.令，则，且，于是，且在上为减函数，所以，所以.故选D.四、函数图象平移距离的最小值15．将函数图象上的点向左平移（）个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（）A．，的最小值为 B．，的最小值为C．，的最小值为 D．，的最小值为【答案】A【详解】由题意得，，可得，因为位于函数的图象上所以，可得，s的最小值为，故选A.16．将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨，，∴，又∵，∴，故选D.17．若将函数y＝2cosx（sinx+cosx）﹣1的图象向左平移个单位，得到函数是偶函数，则的最小正值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用辅助角公式化简函数解析式为，利用函数平移法则可得，由奇偶性可得，从而可得结果.【详解】化简函数，向左平移个单位可得，因为是偶函数，，，由可得的最小正值是，故选A.18．函数的图象可由函数的图象至少向右平移_____个单位长度得到．【答案】【详解】试题分析：,故应至少向右平移个单位.19．若将函数的函数图象平移个单位，得到一个偶函数的图象，则的最小值为________.【答案】【解析】分两种情况讨论，先求出的值，再比较即得解的最小值.【详解】若将函数的函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，根据所得图象为一个偶函数的图象，故，，此时，；若将函数的函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，根据所得图象为一个偶函数的图象，故，，此时，；综上可得，的最小值为，故答案为：．五、ω的最值20．设>0,函数y=sin(x+)+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（

）A． B． C． D．3【答案】C【详解】函数的图象向右平移个单位后所以有故选C21．若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】函数的图像向右平移个单位得，所以，所以得最小值为．22．已知函数，若函数在区间上为单调递减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，由正弦函数的单调性可得，即，也即，所以，应选答案B．23．若函数在区间上单调递增，则正数的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由在区间上单调递增，利用正弦函数的单调性能求出正数的最大值．【详解】因为.由函数在区间上单调递增知，所以，即，结合，可得.所以正数的最大值为，故选B.24．已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（

）A．11B．9C．7D．5【答案】B【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【详解】∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则，即T，解得：ω≤12，当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选B．25．已知函数，其中，，恒成立，且在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题干得到函数在处取得最大值，当时，，有两个零点,故这两个零点应该是，得到进而求解.【详解】函数，其中，，恒成立,说明函数在处取得最大值，又因为在区间上恰有两个零点，当时，在这