函数的单调性（课件）2025-2026学年高一上学期数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

苏教版2019高一数学（必修一）第五章函数的概念与性质5.3函数的单调性0203050604

典型例题（含课本例题）

知识点讲解

情景导入

课堂小结

课堂练习（含课本练习）01学习目标目录/CONTENTS学习目标1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义．2.掌握定义法证明函数单调性的步骤（重点、难点）．3.掌握求函数单调区间的方法(重点).4.会用函数的单调性解答有关问题.情景导入

●怎样用数学语言刻画上述某一时段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征?

新知探究

设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时,都有f(x1)＜f(x2)

那么称y=f(x)在区间I上是增函数(也称在I上单调递增)(图(1)),I称为y=f(x)的增区间.如果对于区间I内的任意两个值x1，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)

那么称y=f(x)在区间I上是减函数(也称在I上单调递减)(图(2)),I称为y=f(x)的减区间.图(1)图(2)如果函数y＝f(x)在区间I

上是增函数或减函数，那么称函数y＝f(x)在区间I

上具有单调性.增区间和减区间统称为单调区间.在上图中，我们从图象上看出14时的气温为全天的最高气温，它表示在0~24时，气温于14时达到最大值.从中可以看出，图象在这一点的位置最高.在右图中，可以看出对于任意的x∈R，都有f(x)＜2＝f(0).一般地设y＝f(x)的定义域为A，如果存在

x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为

ymax＝f(x0)如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)课本例题例1画出下列函数图象，并写出单调区间：(1)y＝－x2＋2；解：函数图象如图，增区间为(－∞，0]，减区间为[0，＋∞).

解：函数图象如图，(－∞，0)和(0，＋∞)

是两个减区间.例2

例3图5-3-4为函数y＝f(x)，x∈[－4，7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间.解观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3，3)，最低的点是(－1.5，－2).因此，当x＝3时，函数y＝f(x)取得最大值，即ymax＝3；当x＝－1.5时，函数y＝f(x)取得最小值，即ymin＝－2.

函数的增区间为[－1.5，3]，[5，6]；减区间为[－4，－1.5]，[3，5]，[6，7].例4求下列函数的最小值：(1)y＝x2－2x；解：因为y＝x2－2x

＝(x－1)2－1＞－1，

且当x＝1时y＝－1.

所以函数在x＝1时取得最小值－1，

即ymin＝－1.

例4中的两个函数有无最大值?思考(1)因为x∈R,所以函数y＝x2－2x没有最大值.(1)y＝x2－2x；

例5已知函数y＝f(x)的定义域是[a，b]，a＜c＜b.在区间[a，c]上，f(x)单调递增；在区间[c，b]上，f(x)单调递减，试证明f(x)在x＝c时取得最大值.证明因为在区间[a，c]上，f(a)单调递增，

所以对于任意x∈[a，c]，都有f(x)＜

f(c).又因为在区间[c，b]上，f(x)单调递减，所以对于任意x∈[c，b]，都有f(x)≤f(c).因此，对于任意x∈[a，b]都有f(x)≤f(c)，即f(x)在x＝c时取得最大值.课本练习1.判断函数f(x)＝x2－1在(0，＋∞)上是增函数还是减函数.增函数证明在(0，

＋∞)上任取两个不相等的实数x1，x2，且设x1

＜x2；则f(x1)－f(x2)＝(x12－1)－(x22－1)＝x12－x22

＝(x1＋x2)(x1－x2)，∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞0，

∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2).∴函数f(x)＝x2－1在(0，＋∞)上是增函数.2.画出函数f(x)＝∣x＋1∣的图象，并根据图象写出f(x)

的单调区间.解函数f(x)＝∣x＋1∣＝，

函数图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，

＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].x＋1，x≥－1－x－1，x＜－13.判断函数f(x)＝－x2＋2x

在(－∞，0)上是增函数还是减函数.函数f(x)＝－x2＋2在(－∞，0)上是增函数.证明如下：设在(－∞，0)上任意取x1，x2，且x1＜x2，∴f(x1)－f(x2)＝(－x12＋2x1)－(－x22＋2x2)＝(x22－x12)＋(2x1－2x2)

＝(x2－x1)(x1＋x2)＋(2x1－2x2)＝(x2－x1)(x1＋x2－2)，∵x1＜x2＜0，∴x2－x1＞0，x1＋x2＜0，∴x1＋x2－2＜0，∴(x2－x1)(x1＋x2－2)＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴函数f(x)＝－x2＋2x在(－∞，0)上是增函数.4.求函数f(x)＝－x2＋2x

在[0，10]上的最大值和最小值.解

f(x)＝－x2＋2x－1＋1＝－(x－1)2＋1，对称轴x＝1，

∴函数f(x)在[0，1)递增，在(1，10]递减，∴f(x)max＝1，f(x)min＝f(10)＝－80.

6.证明：函数f(x)＝－2x＋1是减函数.解由题，f(x)＝－2x＋1，x∈R，因为f′(x)＝－2＜0，

所以函数f(x)＝－2x＋1为减函数.7.下图分别为函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象，试写出函数y＝f(x)和y＝g(x)的增区间.

8.判断下列说法是否正确：(1)若定义在R上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则数f(x)

是R

上的增函数；解若函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x1，x2∈R

且x1

＜x2，则f(x1)＜f(x2)一定成立，

若f(2)＞f(1)成立，f(2)＞f(0)不一定成立，函数f(x)在R上不一定是增函数，(1)错误；(2)若定义在R

上的函数f(x)满f(2)＞f(1)，则函数f(x)在R上不是减函数；解若函数f(x)在R上为减函数，则对于任意的x1，x2∈R且x1

＜x2，则f(x1)＞f(x2)一定成立，所以，f(2)＜f(1)一定成立，

所以，若f(2)＞f(1)，函数f(x)在R上一定不是减函数，(2)正确；(3)若定义在R

上的函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递增，在区间[0，＋∞)上也单调递增，则函数f(x)在R

上是增函数；

解若定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上是增函数，在区间[0，＋∞)上也是增函数，则满足对于任意的x1，x2∈R且x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)成立，所以，函数f(x)在R上是增函数，(3)正确；(4)若定义在R

上的函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递增，在区间(0，＋∞)上也单调递增，则函数f(x)在R

上是增函数.解设函数f(x)＝

，是定义在R上的函数，且f(x)在区间(－∞，0]上是增函数，在区间(0，＋∞)上也是增函数，而－1＜1，但f(－1)＝f(1)，不符合增函数的定义，所以，函数f(x)在R上是不是增函数，(4)错误.－x＋1，x≤0x－1，x＞0题型分类讲解题型一判断或证明函数的单调性解由x2－1≠0，得x≠±1，(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义加以证明.证明：∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，则x2－x1>0，由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1，证明任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2，由x1，x2∈(2，＋∞)，得x1>2，x2>2.所以x1x2>4，x1x2－4>0，又由x1<x2，得x1－x2<0.题型二求函数的单调区间角度1由图象求单调区间3.画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间.解y＝－x2＋2|x|＋3作出函数图象如图所示.由图象知函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数，故函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间是(－∞，－1]，[0，1]，单调递减区间是[－1，0]，[1，＋∞).解易知函数的定义域是(－∞，－b)∪(－b，＋∞).设x1，x2是区间(－b，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，∵a>b>0，x2>x1>－b，∴a－b>0，x2－x1>0，x2＋b>0，x1＋b>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－b，＋∞)上为减函数.同理可得，f(x)在(－∞，－b)上为减函数.题型三函数单调性的应用角度1由单调性比较大小5.已知f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，a，b∈R，且a＋b≤0，则有(

) A.f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b) B.f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b) C.f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) D.f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)解析由题意知a＋b≤0，得到a≤－b，b≤－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b).故选D.D解析要使f(x)在R上是减函数，需满足：A角度3利用单调性解不等式7.已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求实数a的取值范围.题型四利用函数图象求最值由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；解作出f(x)的图象如图：解

y＝f(x)的图象如图所示，y＝f(x)的单调增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.题型五利用单调性求最值证明任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，∵1≤x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>1，∴x1x2－1>0，∴f(x)在[1