22.1.3.2二次函数y=a(x-h)²的图象和性质（教学课件）人教版九年级数学上册

幻灯片1：标题页标题：22.1.3.2二次函数\(y=a(x-h)²\)的图象和性质——探究\((x-h)\)中\(h\)的作用副标题：从\(y=ax²\)到\(y=a(x-h)²\)的图象变换与性质拓展配套元素：背景图：展示\(y=x²\)、\(y=(x-2)²\)、\(y=(x+1)²\)的图象对比，凸显图象的左右平移关系。署名：学科、年级、教师姓名幻灯片2：学习目标知识与技能目标：掌握用描点法画出二次函数\(y=a(x-h)²\)（\(aâ‰

0\)，\(h\)为常数）的图象，明确其与\(y=ax²\)图象的关系。理解\(h\)对二次函数\(y=a(x-h)²\)图象位置的影响，能准确描述图象的平移规律。熟练说出二次函数\(y=a(x-h)²\)的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值及增减性等性质。过程与方法目标：通过对比\(y=ax²\)与\(y=a(x-h)²\)的图象，经历观察、分析、归纳的过程，进一步巩固数形结合思想和抽象概括能力。在小组合作探究图象平移规律和性质的过程中，提升合作交流能力和逻辑推理能力。情感态度与价值观目标：感受数学知识的内在联系和规律性，激发对函数图象变换探究的持续兴趣，体验探究发现的乐趣。培养严谨的思维习惯和勇于探索的精神，增强运用数学知识解决问题的信心。幻灯片3：复习回顾——衔接旧知\(y=ax²\)与\(y=ax²+k\)图象与性质回顾：\(y=ax²\)：图象是抛物线，开口方向由\(a\)决定，对称轴是直线\(x=0\)，顶点坐标\((0,0)\)，最值为\(0\)。\(y=ax²+k\)：图象与\(y=ax²\)形状相同，\(k>0\)时向上平移\(k\)个单位，\(k<0\)时向下平移\(\vertk\vert\)个单位，对称轴仍是直线\(x=0\)，顶点坐标\((0,k)\)，最值为\(k\)。展示\(y=2x²\)、\(y=2x²+3\)的图象，帮助学生回忆上下平移规律。提问引入：前面我们学习了在\(y=ax²\)基础上加上常数\(k\)得到\(y=ax²+k\)，图象发生上下平移。如果将\(y=ax²\)中的\(x\)换成\((x-h)\)，得到\(y=a(x-h)²\)，它的图象会发生怎样的变化？性质又会有哪些不同呢？这就是本节课要探究的内容。幻灯片4：探究一——绘制\(y=x²\)、\(y=(x-2)²\)和\(y=(x+1)²\)的图象绘制步骤讲解：列表：对于\(y=x²\)，选取\(x=-3,-2,-1,0,1,2,3\)，计算\(y\)值为\(9,4,1,0,1,4,9\)。对于\(y=(x-2)²\)，相同\(x\)值对应的\(y\)值为：当\(x=-3\)时，\(y=(-3-2)²=25\)；\(x=-2\)时，\(y=(-2-2)²=16\)；\(x=-1\)时，\(y=(-1-2)²=9\)；\(x=0\)时，\(y=(0-2)²=4\)；\(x=1\)时，\(y=(1-2)²=1\)；\(x=2\)时，\(y=(2-2)²=0\)；\(x=3\)时，\(y=(3-2)²=1\)。对于\(y=(x+1)²\)（可变形为\(y=(x-(-1))²\)），相同\(x\)值对应的\(y\)值为：\(x=-3\)时，\(y=(-3+1)²=4\)；\(x=-2\)时，\(y=(-2+1)²=1\)；\(x=-1\)时，\(y=(-1+1)²=0\)；\(x=0\)时，\(y=(0+1)²=1\)；\(x=1\)时，\(y=(1+1)²=4\)；\(x=2\)时，\(y=(2+1)²=9\)；\(x=3\)时，\(y=(3+1)²=16\)。将三个函数的\(x\)与\(y\)值整理成对比表格展示。描点与连线：在同一平面直角坐标系中，分别描出三个函数对应的点，并用平滑曲线连接，得到三个函数的图象。展示绘制好的图象，让学生直观观察。观察与思考：对比这三个函数的图象，它们的形状是否相同？位置上有什么关系？\(y=(x-2)²\)和\(y=(x+1)²\)的图象与\(y=x²\)的图象相比，是如何平移得到的？幻灯片5：探究二——绘制\(y=-x²\)、\(y=-(x-3)²\)和\(y=-(x+2)²\)的图象绘制步骤讲解：列表：对于\(y=-x²\)，选取\(x=-3,-2,-1,0,1,2,3\)，计算\(y\)值为\(-9,-4,-1,0,-1,-4,-9\)。对于\(y=-(x-3)²\)，相同\(x\)值对应的\(y\)值为：\(x=-3\)时，\(y=-(-3-3)²=-36\)；\(x=-2\)时，\(y=-(-2-3)²=-25\)；\(x=-1\)时，\(y=-(-1-3)²=-16\)；\(x=0\)时，\(y=-(0-3)²=-9\)；\(x=1\)时，\(y=-(1-3)²=-4\)；\(x=2\)时，\(y=-(2-3)²=-1\)；\(x=3\)时，\(y=-(3-3)²=0\)。对于\(y=-(x+2)²\)（变形为\(y=-(x-(-2))²\)），相同\(x\)值对应的\(y\)值为：\(x=-3\)时，\(y=-(-3+2)²=-1\)；\(x=-2\)时，\(y=-(-2+2)²=0\)；\(x=-1\)时，\(y=-(-1+2)²=-1\)；\(x=0\)时，\(y=-(0+2)²=-4\)；\(x=1\)时，\(y=-(1+2)²=-9\)；\(x=2\)时，\(y=-(2+2)²=-16\)；\(x=3\)时，\(y=-(3+2)²=-25\)。整理成对比表格展示。描点与连线：在同一平面直角坐标系中描点连线，得到三个函数的图象。展示图象，与上一组\(a>0\)的函数图象对比。观察与思考：这三个函数的图象形状是否相同？\(y=-(x-3)²\)和\(y=-(x+2)²\)的图象与\(y=-x²\)的图象相比，平移规律是怎样的？与上一组\(a>0\)时的平移规律是否一致？幻灯片6：归纳总结——\(y=a(x-h)²\)与\(y=ax²\)的图象关系平移规律：当\(h>0\)时，二次函数\(y=a(x-h)²\)的图象可以由\(y=ax²\)的图象向右平移\(h\)个单位长度得到。例如，\(y=(x-2)²\)的图象是\(y=x²\)的图象向右平移\(2\)个单位，\(y=-(x-3)²\)的图象是\(y=-x²\)的图象向右平移\(3\)个单位。当\(h<0\)时，二次函数\(y=a(x-h)²\)的图象可以由\(y=ax²\)的图象向左平移\(\verth\vert\)个单位长度得到。例如，\(y=(x+1)²=(x-(-1))²\)的图象是\(y=x²\)的图象向左平移\(1\)个单位，\(y=-(x+2)²=-(x-(-2))²\)的图象是\(y=-x²\)的图象向左平移\(2\)个单位。结合图象展示平移过程，用箭头标注平移方向和距离，帮助学生理解。形状关系：\(y=a(x-h)²\)与\(y=ax²\)的图象形状完全相同，因为它们的二次项系数\(a\)相同，只是位置不同，这说明\(h\)值不影响抛物线的形状和开口宽窄，只影响图象的左右位置。幻灯片7：探究三——二次函数\(y=a(x-h)²\)的对称轴和顶点坐标对称轴：观察所有\(y=a(x-h)²\)的图象，发现它们的对称轴是直线\(x=h\)。例如，\(y=(x-2)²\)的对称轴是直线\(x=2\)，\(y=(x+1)²\)的对称轴是直线\(x=-1\)。这是因为\(h\)决定了抛物线对称轴的位置，与\(a\)的值无关。通过在图象上标注对称轴，加深学生印象。顶点坐标：\(y=ax²\)的顶点坐标是\((0,0)\)，当图象向右平移\(h\)个单位时，顶点坐标变为\((h,0)\)；当图象向左平移\(\verth\vert\)个单位时，顶点坐标同样变为\((h,0)\)（因为此时\(h\)为负数）。所以，二次函数\(y=a(x-h)²\)的顶点坐标是\((h,0)\)。展示不同\(h\)值对应的函数图象的顶点位置，如\(y=(x-2)²\)顶点为\((2,0)\)，\(y=(x+1)²\)顶点为\((-1,0)\)，验证这一结论。幻灯片8：探究四——二次函数\(y=a(x-h)²\)的开口方向、最值和增减性开口方向：与\(y=ax²\)相同，当\(a>0\)时，\(y=a(x-h)²\)的图象开口向上；当\(a<0\)时，图象开口向下。因为开口方向由\(a\)的符号决定，与\(h\)无关。举例展示\(y=2(x-1)²\)（开口向上）和\(y=-2(x-1)²\)（开口向下）的图象对比。最值情况：当\(a>0\)时，抛物线开口向上，顶点\((h,0)\)是图象的最低点，所以当\(x=h\)时，函数有最小值，最小值为\(0\)。例如，\(y=(x-2)²\)的最小值是\(0\)。当\(a<0\)时，抛物线开口向下，顶点\((h,0)\)是图象的最高点，所以当\(x=h\)时，函数有最大值，最大值为\(0\)。例如，\(y=-(x-3)²\)的最大值是\(0\)。结合图象说明最值与\(a\)、\(h\)的关系。增减性：增减性由\(a\)的符号和对称轴\(x=h\)共同决定，与\(h\)的具体数值无关。当\(a>0\)时，在对称轴左侧（即\(x<h\)时），\(y\)随\(x\)的增大而减小；在对称轴右侧（即\(x>h\)时），\(y\)随\(x\)的增大而增大。例如，\(y=(x-2)²\)，当\(x<2\)时\(y\)随\(x\)增大而减小，当\(x>2\)时\(y\)随\(x\)增大而增大。当\(a<0\)时，在对称轴左侧（即\(x<h\)时），\(y\)随\(x\)的增大而增大；在对称轴右侧（即\(x>h\)时），\(y\)随\(x\)的增大而减小。例如，\(y=-(x-3)²\)，当\(x<3\)时\(y\)随\(x\)增大而增大，当\(x>3\)时\(y\)随\(x\)增大而减小。结合具体函数图象举例说明增减性的变化规律。幻灯片9：例题解析——运用性质解决问题例题1：已知二次函数\(y=-3(x-4)²\)，回答下列问题：它的图象开口方向是怎样的？图象的对称轴是什么？顶点坐标是多少？当\(x=4\)时，函数有最大值还是最小值？值是多少？该函数的图象是由哪个函数的图象经过怎样的平移得到的？解题步骤：因为\(a=-3<0\)，所以图象开口向下。对称轴是直线\(x=4\)，顶点坐标是\((4,0)\)。由于\(a<0\)，当\(x=4\)时，函数有最大值，最大值是\(0\)。它的图象是由\(y=-3x²\)的图象向右平移\(4\)个单位长度得到的。例题2：已知二次函数\(y=2(x+3)²\)，若点\(A(-4,y_1)\)，\(B(-1,y_2)\)在该函数图象上，比较\(y_1\)和\(y_2\)的大小。解题步骤：分别计算\(y_1\)和(y_2025-2026学年人教版数学九年级上册授课教师：

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22.1.3.2二次函数y=a(x-h)²的图象和性质第22章

二次函数aiTujmiaNg1.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2的图象.2.能说出抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2的相互关系.3.能说出抛物线y=a(x-h)2的开口方向、对称轴、顶点.1.说说二次函数y=ax2+k的图象的特征.y=ax2+ka>0，k>0a>0，k<0a<0，k<0a<0，k>0图象开口方向对称轴顶点坐标增减性最值向上y轴（直线x=0）（0,k）当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.x=0时，y最小值=k向下y轴（直线x=0）（0,k）当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.x=0时，y最大值=k2.二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象有何关系？y=ax2顶点(0,0)y=ax2+k顶点(0,k)当k>0时，向上平移k个单位长度得到当k<0时，向下平移∣k∣个单位长度得到思考：二次函数y=a(x-h)2的图象，能否也可以由函数y=ax2平移得到？同学们继续观察喷泉图片.你又有哪些发现呢？在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2与y=

(x-2)2的图象.解：先列表：x…-3-2-1012345…y=x2…4.520.500.524.5812.5…y=(x-2)2…12.584.520.500.524.5…描点、连线，画出这两个函数的图象.y=x2y=

(x-2)2y=

(x-2)2抛物线y=x2，y=

(x-2)2的开口方向、对称轴和顶点各是什么？y=x2y=(x-2)2开口方向对称轴顶点坐标y=x2向上y轴（0,0）向上直线x=2（2,0）思考：通过上述例子，函数y=a(x-h)2

(a>0)的性质是什么?探究：在同一直角坐标系中，画出二次函数y=-x2，y=-

(x+1)2与y=-

(x-1)2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.解：先分别列表：x…-3-2-10123…y=-x2…-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5…x…-4-3-2-1012…y=-(x+1)2…-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5…x…-2-101234…y=-(x-1)2…-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5…为什么不将三个函数放在同一表中，而是单独列出对应值表呢？y=-x2y=-

(x+1)2y=-

(x-1)2描点、连线，画出这两个函数的图象.y=-x2y=-

(x+1)2y=-

(x-1)2y=-x2y=-(x+1)2y=-(x-1)2开口方向对称轴顶点坐标向下y轴（0,0）向下直线x=-1（-1,0）向下直线x=1（1,0）思考：通过上述例子，函数y=a(x-h)2

(a<0)的性质是什么?二次函数y=a(x-h)2的图象和性质y=a(x-h)2a>0，h>0a>0，h<0a<0，h>0a<0，h<0图象开口方向对称轴顶点坐标增减性最值当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时，y随x增大而增大.向上直线x=h（h,0）x=h时，y最小值=0当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小.向下直线x=h（h,0）x=h时，y最大值=0y=-x2y=-

(x+1)2y=-

(x-1)2思考：抛物线y=-(x+1)2，y=-(x-1)2与抛物线y=-x2有什么关系？①开口方向和大小相同；②顶点纵坐标相同；③对称轴不同.思考：抛物线y=-(x+1)2，y=-(x-1)2与抛物线y=-x2有什么关系？y=-x2y=-

(x+1)2y=-

(x-1)2y=-x2y=-(x+1)2向左平移1个单位长度y=-x2y=-(x-1)2向右平移1个单位长度思考：抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2有什么关系？y=ax2对称轴：y轴顶点(0,0)y=a(x-h)2对称轴：x=h顶点(h,0)当h>0时，向右平移h个单位长度得到当h<0时，向左平移∣h∣个单位长度得到左右平移规律：括号内左加右减.练习在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图像：y=x2，y=(x+2)2，y=(x-2)2

.观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点.解：图象如图.yOxy=x2

2

-2y=(x-2)2y=(x+2)2

【教材P35练习】yOxy=x