2026届高三一轮复习讲义(提高版)数学第十章10.2二项式定理

§10.2二项式定理课标要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1.二项式定理二项式定理(a+b)n=(n∈N*)

二项展开式的通项Tk+1=，它表示展开式的第项

二项式系数(k=0，1，…，n)

2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数.(2)增减性与最大值：①当k<n+12时，Cnk随k的增加而；由对称性知，当k>n+12时，②当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值.(3)各二项式系数的和：(a+b)n的展开式的各二项式系数的和为Cn0+Cn1+Cn2+1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)Cnkan-kbk是(a+b)n的展开式中的第k项.((2)(a+b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关.()(3)二项展开式中系数的最大项就是二项式系数的最大项.()(4)二项展开式项的系数是先增后减的.()2.2x-13A.112 B.56 C.-56 D.-1123.若x+3x2n展开式中只有第7项的二项式系数最大，则A.9 B.10 C.11 D.124.在二项式x2-2xn1.二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k+1项.2.牢记一个注意点：(a+b)n与(b+a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒.3.理清二项式系数与项的系数的区别.题型一通项公式的应用命题点1形如(a+b)n(n∈N*)的展开式的特定项例1(1)(多选)关于x2-2xA.展开式中含1x3B.第5项和第6项的二项式系数相等C.展开式中的常数项是第7项D.展开式中的有理项共三项(2)已知二项式ax+13x9(a>0)的展开式中x2项的系数为84A.1 B.14 C.2 D.命题点2形如(a+b)m(c+d)n(m，n∈N*)的展开式问题例2(1)(2024·西安模拟)(2x3-2)1x-28的展开式的常数项为A.-288 B.-312 C.480 D.736(2)已知(ax-1)(2x+1)6的展开式中x5的系数为48，则实数a等于()A.2 B.1 C.-1 D.-2思维升华(1)求二项展开式中的问题，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项即可.(2)对于几个多项式积的展开式中的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.跟踪训练1(1)(多选)已知x2-1xn的展开式中第3项与第5项的系数之比为3∶A.n=10B.展开式中的常数项为45C.含x5的项的系数为210D.展开式中的有理项有5项(2)若x+mxx-1x5A.-2 B.-3 C.2 D.3题型二二项式系数与项的系数的问题命题点1二项式系数和与系数和例3(1)(多选)已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，展开式中的所有项的二项式系数和为64，下列说法正确的是()A.n=8B.a0=1C.a3=-160D.|a1|+|a2|+…+|an|=36-1(2)(多选)已知(1-2x)2025=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024+a2025x2025，则()A.展开式中二项式系数和为1B.展开式中所有项的系数和为-1C.a12+a222+a32D.a1+2a2+3a3+…+2024a2024+2025a2025=-4050命题点2系数与二项式系数的最值例4(多选)关于2x-1xA.二项式系数和为64B.所有项的系数之和为2C.第三项的二项式系数最大D.系数的最大值为240思维升华(1)赋值法的应用令g(x)=(a+bx)n，则(a+bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a+bx)n的展开式中奇数项的系数和为12[g(1)+g(-1)]，(a+bx)n的展开式中偶数项的系数和为12[g(1)-g(-1(2)二项展开式系数最大项的求法设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An+1，且第k项系数最大，应用Ak≥跟踪训练2(1)(多选)(2025·临沂模拟)在1x-2x4A.常数项是24B.所有项的系数的和为1C.第3项的二项式系数最大D.第4项的系数最大(2)(多选)已知(2x-5)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a9(x-2)9，则下列结论成立的是()A.a0+a1+…+a9=1B.28a0+27a1+26a2+25a3+…+a8=256C.a0-a1+a2-a3+…-a9=39D.a1+2a2+3a3+…+9a9=18题型三二项式定理的综合应用例5(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512025+a能被13整除，则a等于()A.0 B.1C.11 D.12(2)用二项式定理估算1.0110=.(精确到0.001)

思维升华二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式(数)的因式.(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1+x)n≈1+nx.跟踪训练3(多选)下列说法正确的是()A.若(x-2)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则|a0|+|a1|+…+|a6|=729B.若3n+3n-1Cn1+3n-2Cn2+…+Cnn=218，则CnC.0.988精确到0.01的近似值为0.85D.22024除以15的余数为3答案精析落实主干知识1.Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnkan-kbk+…+CnnbnCnka2.(1)相等(2)①增大减小②Cnn2Cnn自主诊断1.(1)×(2)√(3)×(4)×2.A3.D4.-1探究核心题型例1(1)AD[二项式x2-2x9展开式的通项Tk+1=C9k(x2)9-k-2xk=(-2)kC9kx18-3k，k∈N，k≤9.由18-3k=-3，即k展开式共10项，则第5项和第6项的二项式系数相等，B正确；由18-3k=0，即k=6，得展开式中的常数项是第7项，C正确；由18-3k为整数，k∈N，k≤9可知有理项共有10项，D错误.](2)A[展开式的通项为Tk+1=C9k(ax)9-k13xk=C9ka9-kx9-k2·x-k3=C9ka9-kx92-5k6(k=0，1，2，…，∴a=1.]例2(1)A[因为1x-28的展开式的通项Tk+1=C8k1x8-k(-2)k(0≤所以(2x3-2)1x-28的展开式的项为2x3C8k1x8-k(-2)k(0≤k≤8，k∈N)或-2C8k1x8-k(当k=2时，2x3C8k1x=2x3C82x-3(-2)2当k=8时，-2C8k1x=-2C88(-2)8所以(2x3-2)1x-28的展开式的常数项为(2)B[二项式(2x+1)6的展开式的通项Tk+1=C6k(2x)6-k·1k=C6k·26-k(ax-1)(2x+1)6=ax(2x+1)6-(2x+1)6的展开式中，x5的系数为aC62·24-C61·25=15×16a-6×32=48，解得跟踪训练1(1)ABC[二项展开式的通项为Tk+1=Cnkx2n-2k(-1)=(-1)kC由于第3项与第5项的系数之比为3∶14，则Cn2故n(n得n2-5n-50=0，解得n=10(负值舍去)，故A正确；则Tk+1=(-1)kC令20-5k2=0，解得k则展开式中的常数项为(-1)8C108=45，故令20-5k2=5，解得k则含x5的项的系数为(-1)6C106=210，故令20-5k2∈Z，则此时k=0，2，4，6，8，10，故有6项为有理项，故D错误.](2)D[x=xx-1x-1x5的展开式的通项为Tk+1=C5kx5-k-1xk=令5-2k=-1，解得k=3，则xx-1x5的展开式的常数项为令5-2k=1，解得k=2，则mxx-1x5因为x+mxx-1x5的展开式中常数项是20，所以例3(1)BCD[因为展开式中的所有项的二项式系数和为64，所以2n=64，解得n=6，故A错误；已知(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，令x=0，可得a0=1，故B正确；因为(1-2x)6展开式的通项为Tk+1=C6k(-2x)k，k∈{0，1，2，3，4，5，6}，所以a3x3=C63×(-2x)3=-160x3，所以a3由展开式的通项为Tk+1=C6k(-2x)k，k∈{0，1，2，3，4，5，6}，所以a1，a3，a5<0，a0，a2，a4，a6>0，所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0-a1+a2-…+a6，令x=-1，可得a0-a1+a2-…+a6=36，所以|a1|+|a2|+…+|an|=36-1，故D正确(2)BCD[二项展开式中的二项式系数和为22025，故A错误；令x=1，可得(1-2)2025=a0+a1+a2+…+a2024+a2025=-1，即展开式中所有项的系数和为-1，故B正确；令x=0，可得a0=1，令x=12，可得1-2×122025=a0+a12+a222+…+a202422024+a202522025=0将等式(1-2x)2025=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024+a2025x2025两边同时求导可得，2025×(-2)×(1-2x)2024=a1+2a2x+3a3x2+…+2024a2024x2023+2025a2025x2024，再令x=1，可得a1+2a2+3a3+…+2024a2024+2025a2025=-4050，故D正确.]例4AD[由二项式系数和公式知2x-1x6的二项式系数和为2令x=1，则2x-1x6的展开式所有项的系数之和为易知2x-1x62x-1x6的展开式通项为Tk+1=C6k(2x)6-k·(-x-1)k=26-kC6k·(-1)k·x6-2k，k=0记f(k)=26-kC6k·(-1)k，显然k取偶数时各项系数为正数，f(0)=26=64，f(2)=16×15=240，f(4)=4×15=60，f(6)=1，可知系数的最大值为240，故D正确跟踪训练2(1)ABC[依题意，1x-2x4=1x4-8常数项是24，A正确；当x=1时，所有项系数的和为(1-2×1)4=1，B正确；1x-2x4的展开式共5项，所以第3项的二项式系数展开式第4项的系数为-32，最小，D错误.](2)AD[设x-2=t，原式为(2t-1)9=a0+a1t+a2t2+a3t3+…+a9t9，令t=1，a0+a1+…+a9=1，故A正确；令t=12，则(1-1)9=a0+a12+a222+a323+…+a929，等式两边同乘28得0=28a0+27a1+26a2+25a3+…+a8+a92，又a9=29，所以28a0+27a1+26a2令t=-1，则(-3)9=a0-a1+a2-a3+…-a9，a0-a1+a2-a3+…-a9=-39，故C错误；两边同时求导得18(2t-1)8=a1+2a2t+3a3t2+…+9a9t8，再令t=1，a1+2a2+3a3+…+9a9=18，故D正确.]例5(1)B[因为a∈Z，且0≤a≤13，所以512025+a=(52-1)2025+a=C20250·522025-C20251·522024+C20252·522023-…+C因为512025+a能被13整除，所以-C20252025+a=-1+a能被又0≤a≤13，所以a=1.](2)1.105解析1.0110=(1+0.01)10=1+C101×0.01+C102×0.012+C103×0.013+…≈1+0.1+0.0045=1.跟踪训练3AC[在(x-2)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6中，令x=-1，则|a0|+|a1|+…+|a6|=(-3)6=729，故A正确；因为3n+3n-1Cn1+3n-2Cn2+…+Cnn=(3+1)n=4n=22n=218，所以n=9，所以Cn1+Cn