2026届高三一轮复习讲义(提高版)数学第四章4.1任意角和弧度制、三角函数的概念

§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念课标要求1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.角的概念定义角可以看成一条射线绕着它的旋转所成的图形分类(1)按旋转方向分为、和；

(2)按终边位置分为和轴线角

相反角把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{β|β=α+k·360°，k∈Z}或

2.弧度制的定义及公式定义长度等于的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad弧度数公式|α|=(弧长用l表示，半径用r表示)角度与弧度的换算1°=π180rad；1rad=≈57.弧长公式弧长l=

扇形面积公式S==

3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y=sinα，x=cosα，yx=tanα(x≠0)(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图.(3)定义的推广设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sinα=，cosα=，tanα=(x≠0).

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)第四象限的角一定是负角.()(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.()(4)角α的三角函数值与其终边上点P的位置有关.()2.角-863°的终边所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.一钟表的秒针长12cm，经过25s，秒针的端点所走的路线长为()A.20cm B.14cm C.10πcm D.8πcm4.已知角α的终边上有一点P(1，-2)，则sinα-cosα的值为.

1.熟记以下常用结论(1)轴线角(2)若角α∈0，π2，则sinα<α(3)α所在象限与α2α所在象限一二三四α2一、三一、三二、四二、四2.谨防三个易误点(1)角度与弧度换算的关键是πrad=180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用；(2)利用表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(3)已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况.题型一角及其表示例1(1)(2025·宁波模拟)若α是第二象限角，则()A.-α是第一象限角B.α2C.3π2+αD.2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上(2)如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为.

思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.(2)确定kα，αk(k∈N*)的终边位置的方法是先写出kα或αk的范围，然后根据k的可能取值确定kα或α跟踪训练1(1)(多选)下列四个命题中正确的是()A.-3π4B.4π3C.-400°是第四象限角D.-315°是第一象限角(2)已知α为第三象限角，则α2是第象限角，2α是的角题型二弧度制及其应用例2(1)《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为π4米，整个肩宽约为π8米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(A.1.612米 B.1.768米C.1.868米 D.2.045米(2)已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.①若α=π3，R=10cm，求扇形的弧长l②若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？③若α=π3，R=2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积思维升华应用弧度制解决问题的思路(1)求扇形面积最大值的问题时，常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题.(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.跟踪训练2(1)(2024·杭州模拟)半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是()A.1rad B.2rad C.4rad D.6rad(2)玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.某扇形玉雕壁画尺寸(单位：cm)如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积为()A.1600cm2 B.3200cm2C.3350cm2 D.4800cm2题型三三角函数的概念例3(1)若角α满足sinα·cosα<0，cosα-sinα<0，则α是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)(2025·深圳模拟)若角α的终边过点(4，3)，则sinα+π2等于A.45 B.-45 C.35 D思维升华(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出其终边与单位圆交点P的坐标.(2)已知一角的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置.跟踪训练3(1)已知点P-12，32在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则角A.π3 B.2π3 C.5π3(2)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sinα，tanα)在第四象限，则角α的终边在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案精析落实主干知识1.端点正角负角零角象限角{β|β=α+2kπ，k∈Z}2.半径长lr180π°|α12lr12|α|3.(3)yrxr自主诊断1.(1)×(2)×(3)√(4)×2.C3.C4.-3探究核心题型例1(1)D[因为α是第二象限角，可得π2+2kπ<α<π+2kπ，k∈Z，对于A，可得-π-2kπ<-α<-π2-2kπ，k∈Z，此时-α的终边在第三象限，所以-α是第三象限角，A错误；对于B，可得π4+kπ<α2<π2+kπ，k∈Z，当k为偶数时，α2的终边在第一象限；当k为奇数时，α2的终边在第三象限，所以α2是第一或第三象限角，B错误；对于C，可得2π+2kπ<3π2+α<5π2+2kπ，k∈Z，即2(k+1)π<3π2+α<π2+2(k+1)π，k∈Z，所以3π2+α的终边在第一象限，所以3π2+α是第一象限角，C错误；对于D，可得π+4kπ<2α<2π+4kπ(2)α解析方法一由于终边在y=-x(x≤0)上的角的集合为ββ=3π4+2kπ，k∈Z，由于终边在x轴非正半轴上的角的集合为{γ|γ=π+2k方法二在[0，2π)内，终边落在阴影部分内的角α的集合为3π4，πα3π跟踪训练1(1)BCD[-3π4是第三象限角，故A错误；4π3=π+π3，所以4π3是第三象限角，故B正确；-400°=-360°-40°，所以-400°是第四象限角，故C正确；-315°=-360°+45°，所以-315°是第一象限角，故(2)二或四终边落在第一或第二象限或y轴非负半轴上解析∵α是第三象限角，即2kπ+π<α<2kπ+3π2，k∈Z，∴kπ+π2<α2<kπ+3π4，k∈Z，4kπ+2π<2α<4kπ+3π，k∈Z.当k为偶数时，α2为第二象限角；当k为奇数时，α2为第四象限角，而例2(1)B[由题意得，“弓”所在的弧长l=π4+π4+π8=5π8(米)，所在圆的半径R=1.25=54(米)，所以其所对的圆心角α=lR=5π854=π2，所以双手之间的距离d=R2+R(2)解①因为α=π3，R=10cm所以l=|α|R=π3×10=10π3(cm②由已知，得l+2R=20，所以S=12lR=12(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2所以当R=5cm时，S取得最大值，此时l=10cm，α=lR=2rad③设弓形面积为S弓形，方法一由题意知l=2π3cm所以S弓形=12×2π3×2-12×22×sinπ3=2π3-3方法二S弓形=12×π3×22-12×22×sinπ3=2π3-3跟踪训练2(1)B[半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是42=2rad.(2)D[由题意知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形所得，设大、小扇形所在圆的半径分别为r1，r2，相同的圆心角为θ，则θ=160r1=80r2，得r1又因为r1-r2=40，所以r1=80，r2=40，该扇形玉雕壁画的扇面面积S=12×160×r1-12×80×=12×160×80-12×80=4800(cm2).]例3(1)B[因为sinα·cosα<0，所以α是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cosα<0，sinα>0，满足cosα-sinα<0；当α是第四象限角时，cosα>0，si