23.1图形的旋转（第1课时 旋转的概念与性质）数学人教版九年级上册

23.1.1旋转的概念与性质第二十三章旋转情境导入同学们都见过风车吧，它能在风的吹动下不停地转动．在我们周围，还能看到许多转动着的物体，如车轮、水车、风力发电机、飞机的螺旋桨、时钟的指针、游乐园的大转盘……我们就生活在一个处处能见到旋转现象的世界中．在数学中，旋转是图形变化的方法之一，应该怎样描述它呢？它又有什么性质呢？本章将解答这些问题．知识建构思考：观察下面的现象，它有什么特点？知识建构如图，钟表的指针在不停地转动，从3时到5时，时针转动了多少度？钟表的时针从3时到5时

转动了60°．劣弧与优弧旋转的定义把一个平面图形绕平面内某一点

O转动一个角度，叫做图形的旋转.OP′P旋转中心旋转角对应点点

O叫做旋转中心.转动的角叫做旋转角.转动的方向分为顺时针与逆时针.如果图形上的点

P经过旋转变为点

P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.知识建构（1）平移变换前后，两个图形的对应线段平行（或在同一条直线上），对应角的两边分别平行（或在同一条直线上）且方向一致．（2）若成轴对称的两个图形的对应线段或其延长线相交，则其交点在对称轴上；成轴对称的两个图形的对应点所连线段被对称轴垂直平分．（3）旋转变换前后，两个图形的任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角．思考：平移、轴对称和旋转有什么异同点？不同点知识建构（3）都是把一个已知图形变换后得到另一个与之全等的图形．相同点（1）都是在平面内进行的图形变换；（2）都是只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前、后图形的对应边相等，对应角相等，两图形全等；思考：平移、轴对称和旋转有什么异同点？知识建构下列物体的运动是旋转的有

.①电梯的升降运动；

②行驶中的汽车车轮；③方向盘的转动；

④骑自行车的人；⑤坐在摩天轮里的小朋友.

②③⑤方法技巧：判断一种运动是否属于旋转，先看图形是否在同一平面内运动，其次要看是否有旋转中心、旋转角、旋转方向，还要注意判断变化前后图形大小是否发生了变化.知识建构思考：如图，△ABD经过旋转后到△ACE的位置.(1)旋转中心是哪一点?(2)旋转了多少度?顺时针还是逆时针？(3)如果

M是

AB的中点，经过上述旋转后，点

M转到什么位置?ABCEM解：(1)旋转中心是点

A.(2)旋转了

60°，逆时针.(3)点

M

转到了

AC

的中点上.D60°.劣弧与优弧旋转三要素旋转中心旋转角旋转方向必须明确确定一次图形的旋转时：特别注意：旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称为旋转的三要素；例题讲解

例1把图中的五角星图案，绕着它的中心点O旋转，旋转角为多少度时，旋转后的五角星能与自身重合？解：旋转角为72°或144°或216°或288°时，旋转后的五角星能与自身重合.知识建构ABB′A′C45°△ABC如何运动到△A′B′C的位置？绕点

C逆时针旋转45°知识建构旋转中心是点_____；图中对应点有__________________________________________________；图中对应线段有________________________________；每对对应线段的长度关系是_____；图中旋转角等于_____°.C

点

A与点

A′，点

B与点

B′，点

M与点

M′，点

N与点

N′CA与

CA′、CB与

CB′、AB与

A′B′45相等根据右图填空：劣弧与优弧旋转的性质2.对应点与旋转中心所

连线段的夹角等于旋转角；EABFCO1.对应点到旋转中心的

距离相等；3.旋转前、后的图形全等.D知识建构思考：如图，将五边形逆时针旋转，如何确定它们的旋转中心位置？DBCA解：如图，两组对应点所连线段的垂直平分线的交点

O即为旋转中心.O劣弧与优弧利用旋转性质解题的方法技巧利用旋转的性质解决问题时应抓住

以下几点：(1)明确旋转中的“变”与“不变”；(2)找准旋转前后的“对应关系”；(3)充分挖掘旋转过程中的相等关系.例题讲解

例2如图，△ABC与△ADE都是直角三角形，∠B和∠ADE都是直角，点D在AC上，∠E＝60°，△ADE经过旋转后能与△ABC重合，请回答下列问题：（1）哪一点是旋转中心？（2）旋转的角度是多少？解：（1）点

A

是旋转中心．DABE（2）由题意，可知∠EAD＝180°－90°－60°＝30°．故旋转的角度是30°．C例题讲解

例3如图，将△ABC绕点

A逆时针旋转40°，得到△ADE，这时点

D恰好落在BC上，DE交AC于点F,求∠ADE的大小.解：∵将△ABC绕点

A逆时针旋转40°，

得到△ADE，∴∠BAD=40°，∠ADE=∠B,

AB=AD.

例题讲解

例4如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3则∠BE′C＝________度．解析：连接EE′，由旋转性质知BE＝BE′，∠EBE′＝90°，∴∠BE'E=45°，

在△EE′C中，E′C＝1，EC＝3，

由勾股定理逆定理可知∠EE′C＝90°，∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝135°.135例题讲解

例5如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F．求证：△BCF≌△BA1D；证明：∵△ABC是等腰三角形，∴AB=BC，∠A=∠C，由旋转的性质，可得

A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，在△BCF与△BA1D中，∴△BCF≌△BA1D例题讲解

例6

例题讲解

例6

例题讲解

例7如图，等边三角形ABC内有一点O，已知OA=4，

OB=3，OC=5.

求∠AOB的度数.解：将△BOA绕点B顺时针旋转60°得△BPC，连接OP，如图，由旋转的性质得BP=BO，∠OBP=60°.∴△OBP为等边三角形，∴OP=OB=3.由旋转的性质得PC=OA=4.∵在△OPC中，OP2+PC2=32+42=OC2.∴∠OPC=90°，∴∠CPB=∠OPB+∠OPC=60°+90°=150°，∵旋转后的图形与旋转前的图形全等，∴∠AOB=∠CPB=150°.本课小结旋转定义把一个平面图形绕着平面内某点O沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转三要素性质旋转中心，旋转方向和旋转角度对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前后的图形全等.课后巩固1．下列现象中：①汽车方向盘转动；②物体随传送带水平移动；③电梯升降运动；④钟摆运动．属于平移的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个B2．下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（

）ABCDB课后巩固4.如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是()A.(1，1) B.(1，2)C.(1，3) D.(1，4)BP

A.30 B.35 C.40 D.50A课后巩固5.如图，把△ABC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到△A′B′C′，则下列等式成立的有(

)①AB＝A′B′；②OB＝OB′；③∠AOA′＝∠COC′；

④∠COB＝∠A′OC′；⑤∠AOB＝∠BOC′.A．2个B．3个C．4个D．5个

B

A.60° B.70° C.40°

D.100°B课后巩固7.如图，在同一平面内有两个边长均为2的正方形ABCD和正方形A′B′C′D′，点D′与正方形ABCD的中心O重合，且正方形A′B′C′D′绕点O转动，则它们重叠部分的面积等于______．18.如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A＝27°，∠B＝40°，则∠ACB′＝_____．46°课后巩固ABCDE9.如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得Rt△ADE,点B的对应点D