2024-2025学年陕西省宝鸡市金台区高二上学期期中质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省宝鸡市金台区2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，直线的斜率，故直线的倾斜角为.故选：D.2.椭圆与椭圆的（）A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等【答案】D【解析】由于的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，而椭圆的长轴长为10，短轴长为8，短轴长为6，离心率为，故两个椭圆的焦距相等，故选：D3.经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（）A B.C D.【答案】B【解析】由题知：，解得：，交点.直线的斜率为，所求直线斜率为.所求直线为：，即.故选：B.4.设椭圆：（）的左、右焦点为，.若点在上，则的周长为（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】由于点在上，所以，得，，所以椭圆：，则，.由椭圆的定义，，而，所以的周长为.故选：B.5.已知向量，，以，为邻边的平行四边形的面积为（）A. B. C.2 D.12【答案】A【解析】向量，，则，，，，所以以，为邻边的平行四边形的面积.故选：A6.已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】直线的斜率分别为，纵截距分别为由，解得，即直线的交点为，由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上，则或或，解得或或，所以实数的取值集合为.故选：C7.二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，，则该二面角的大小为（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】由可得,故，进而可得,由于，由于，故，由于夹角的大小即为二面角的大小，故二面角大小为120°，故选：C8.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据题意可得，化简得，故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的有（）A.直线在y轴上的截距是2B.直线与平行，则实数的值为1C.若点A（5，－2）和点B（m，n）关于直线x－y＋1＝0对称，则m＋n＝3D.过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为【答案】BC【解析】A.直线在y轴上的截距是所以该选项错误；B.直线与平行，则所以或当时，两直线重合，所以舍去.所以实数的值为1.所以该选项正确；C.若点A（5，－2）和点B（m，n）关于直线x－y＋1＝0对称，所以，则m＋n＝3，所以该选项正确；D.过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为或，所以该选项错误.故选：BC10.直线，圆，下列结论正确的是（）A.直线恒过定点B.直线与圆必有两个交点C.直线与圆的相交弦长的最大值为D.当时，圆上存在3个点到直线距离等于1【答案】ABD【解析】将直线的方程化为，令，解得，所以直线恒过定点，选项A正确；圆的方程化为，圆心2,0，半径2，直线恒过定点到圆心的距离为，所以定点在圆C内，故而直线与圆必有两个交点，所以选项B正确；直线与圆的相交，相交弦最长的是直径，故而相交弦长的最大值为4，所以选项C错误；当时，直线，圆心2,0到直线的距离为1，如图所示，x轴与圆的两个交点O、B到直线的距离为1；又因为圆半径为2，所以直线与圆的交点A到直线的距离为1，故而圆上存在3个点到直线距离等于1，选项D正确.故选：ABD11.以下命题正确的是（）A.若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点A，，则的充要条件是B.已知A，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，A，，四点共面C.已知，，若与垂直，则D.已知的顶点坐标分别为，，，则边上的高的长为【答案】BD【解析】对于A：若，则，可得直线或，故A错误；对于B：因为A，，三点不共线，，且，所以，A，，四点共面，故B正确；对于C：由题意，，因与垂直，所以，解得，故C错误；对于D：由题意，过B作，所以，即，所以，所以，即边上的高的长为，故D正确.故选：BD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分；共15分.12.经过点，且以为一个方向向量的直线的斜截式方程为________；【答案】【解析】依题意，直线的斜率，所以直线的斜截式方程为.故答案为：13.焦点在轴上的椭圆的离心率为，则值为________；【答案】【解析】由可得，故离心率，解得，故答案为：14.已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为______．【答案】【解析】根据题中条件画出图形，如图所示，因为，，，设直线l的斜率为，则，直线l与以为端点的线段相交，结合图形，则直线l的斜率的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，．(1)求线段的长；(2)求异面直线与所成角的余弦值；解：（1）设，则，，，，,线段的长为.（2）设异面直线与所成的角为，则,..故异面直线与所成角的余弦值为.16.已知关于的方程.（1）若方程表示圆，求m的取值范围；（2）若圆与圆外切，求的值；（3）若圆与直线相交于两点，且，求的值.解：（1）由方程，整理得，因为方程表示圆，可得，解得，所以实数的取值范围为.（2）由圆，可得，可得圆心为，半径为，又由圆的圆心为，半径为，因为圆与圆相外切，可得，即，解得.（3）由（2）知，圆圆心为，半径为，则圆心到直线的距离为，因圆C与直线相交于两点，且，根据圆的弦长公式，可得，可得，即，解得.17.如图，在正方体中，E为的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：在正方体中，且，且，且，所以四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；（2）解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、，，，设平面的法向量为，由，得，令，则，，则.平面，所以是平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，.因此，平面与平面夹角的余弦值.18.已知椭圆的离心率为，且焦距为8．（1）求C的方程；（2）设直线l的倾斜角为，且与C交于A，B两点，求（O为坐标原点）面积的最大值．解：（1）依题意可知：，解得：，故C的方程为：；（2）依题意可设直线l的方程为：，联立：，整理得：，则，解得：，设，，则，，原点到直线l的距离，则的面积，当且仅当“”，即“”时，的面积有最大值，且最大值为．19.如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点E是棱的中点．（1）求证：平面ABC；（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：由题意，因为，，，利用余弦定理，解得，又，，侧面，．又，AB，平面ABC，∴直线平面ABC．（2）解：以B为原点，分别以，和的方向为x，y和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，设平面的一个法向量为，，，，，令，则，，假设存在点M，设，，，，，利用平面的一个法向量为，，得．即，或，或．陕西省宝鸡市金台区2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，直线的斜率，故直线的倾斜角为.故选：D.2.椭圆与椭圆的（）A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等【答案】D【解析】由于的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，而椭圆的长轴长为10，短轴长为8，短轴长为6，离心率为，故两个椭圆的焦距相等，故选：D3.经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（）A B.C D.【答案】B【解析】由题知：，解得：，交点.直线的斜率为，所求直线斜率为.所求直线为：，即.故选：B.4.设椭圆：（）的左、右焦点为，.若点在上，则的周长为（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】由于点在上，所以，得，，所以椭圆：，则，.由椭圆的定义，，而，所以的周长为.故选：B.5.已知向量，，以，为邻边的平行四边形的面积为（）A. B. C.2 D.12【答案】A【解析】向量，，则，，，，所以以，为邻边的平行四边形的面积.故选：A6.已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】直线的斜率分别为，纵截距分别为由，解得，即直线的交点为，由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上，则或或，解得或或，所以实数的取值集合为.故选：C7.二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，，则该二面角的大小为（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】由可得,故，进而可得,由于，由于，故，由于夹角的大小即为二面角的大小，故二面角大小为120°，故选：C8.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据题意可得，化简得，故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的有（）A.直线在y轴上的截距是2B.直线与平行，则实数的值为1C.若点A（5，－2）和点B（m，n）关于直线x－y＋1＝0对称，则m＋n＝3D.过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为【答案】BC【解析】A.直线在y轴上的截距是所以该选项错误；B.直线与平行，则所以或当时，两直线重合，所以舍去.所以实数的值为1.所以该选项正确；C.若点A（5，－2）和点B（m，n）关于直线x－y＋1＝0对称，所以，则m＋n＝3，所以该选项正确；D.过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为或，所以该选项错误.故选：BC10.直线，圆，下列结论正确的是（）A.直线恒过定点B.直线与圆必有两个交点C.直线与圆的相交弦长的最大值为D.当时，圆上存在3个点到直线距离等于1【答案】ABD【解析】将直线的方程化为，令，解得，所以直线恒过定点，选项A正确；圆的方程化为，圆心2,0，半径2，直线恒过定点到圆心的距离为，所以定点在圆C内，故而直线与圆必有两个交点，所以选项B正确；直线与圆的相交，相交弦最长的是直径，故而相交弦长的最大值为4，所以选项C错误；当时，直线，圆心2,0到直线的距离为1，如图所示，x轴与圆的两个交点O、B到直线的距离为1；又因为圆半径为2，所以直线与圆的交点A到直线的距离为1，故而圆上存在3个点到直线距离等于1，选项D正确.故选：ABD11.以下命题正确的是（）A.若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点A，，则的充要条件是B.已知A，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，A，，四点共面C.已知，，若与垂直，则D.已知的顶点坐标分别为，，，则边上的高的长为【答案】BD【解析】对于A：若，则，可得直线或，故A错误；对于B：因为A，，三点不共线，，且，所以，A，，四点共面，故B正确；对于C：由题意，，因与垂直，所以，解得，故C错误；对于D：由题意，过B作，所以，即，所以，所以，即边上的高的长为，故D正确.故选：BD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分；共15分.12.经过点，且以为一个方向向量的直线的斜截式方程为________；【答案】【解析】依题意，直线的斜率，所以直线的斜截式方程为.故答案为：13.焦点在轴上的椭圆的离心率为，则值为________；【答案】【解析】由可得，故离心率，解得，故答案为：14.已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为______．【答案】【解析】根据题中条件画出图形，如图所示，因为，，，设直线l的斜率为，则，直线l与以为端点的线段相交，结合图形，则直线l的斜率的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，．(1)求线段的长；(2)求异面直线与所成角的余弦值；解：（1）设，则，，，，,线段的长为.（2）设异面直线与所成的角为，则,..故异面直线与所成角的余弦值为.16.已知关于的方程.（1）若方程表示圆，求m的取值范围；（2）若圆与圆外切，求的值；（3）若圆与直线相交于两点，且，求的值.解：（1）由方程，整理得，因为方程表示圆，可得，解得，所以实数的取值范围为.（2）由圆，可得，可得圆心为，半径为，又由圆的圆心为，半径为，因为圆与圆相外切，可得，即，解得.（3）由（2）知，圆圆心为，半径为，则圆心到直线的距离为，因圆C与直线相交于两点，且，根据圆的弦长