2024-2025学年江苏省南通市通州区、如东县2地高二上学期期中质量监测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市通州区、如东县2地2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知经过两点的直线的斜率为，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，.故选：B2.抛物线y2＝－12x的准线方程是A.x＝－3 B.x＝3 C.y＝3 D.y＝－3【答案】B【解析】根据题意，抛物线的标准方程为y2=﹣12x，其焦点在x轴负半轴上，且p=6，则其准线方程为x=3；故选B．3.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（）A. B.且 C. D.【答案】D【解析】，即，因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，所以，解得.故选：.4.方程的化简结果为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据，可得点到点的距离差的绝对值等于，结合双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线，，则，，所以，，故方程为：，故选：A.5.圆关于直线对称的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圆的圆心为，半径为.所以圆的半径为，设圆心为，则，解得，所以圆的方程为.故选：A6.若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可得，解得，所以两直线分别为，，所以这两条直线间的距离为.故选：B.7.若直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】圆的圆心为，半径为，要使弦长为定值，则需圆心到直线的距离为定值，即为定值，所以.故选：C8.设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线对应，，设，则，两式相减并化简得，由于，所以，而B选项中，点，对应，所以B选项错误.C选项中，点，对应，所以C选项错误.A选项，点，对应，所以，则直线的方程为，由消去并化简得，，所以方程组无解，所以A选项错误.D选项，点，对应，所以，则直线的方程为，由消去并化简得，，所以D选项正确.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.直线的倾斜角为B.直线在轴上的截距为-2C.直线过定点D.三条直线交于同一点【答案】BCD【解析】A选项，直线的斜率为，倾斜角为，A选项错误.B选项，由直线，令，解得，所以B选项正确.C选项，由得，由，解得，所以定点为，C选项正确.D选项，由解得，，所以三条直线过同一点-2,3，D选项正确.故选：BCD10.已知圆与圆，则（）A.过点作圆的切线只有条，则B.若圆与圆有且只有条公切线，则C.当时，两圆的一条公切线方程为D.当时，两圆的公共弦长为【答案】AC【解析】圆的标准方程为，圆心，半径为，圆的圆心为，半径为，对于A选项，若点作圆切线只有条，则圆心的圆心在圆上，则有，因为，解得，A对；对于B选项，若圆与圆有且只有条公切线，则两圆相交，且，由题意可得，即，因为，解得，B错；对于C选项，当时，圆的方程为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，故当时，两圆的一条公切线方程为，C对；对于D选项，当时，由B选项可知，两圆相交，将两圆方程作差可得，此时，两圆的相交弦所在直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以，两圆的公共弦长为，D错.故选：AC.11.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确是（）A.曲线关于原点对称 B.直线与曲线有3个公共点C.点的纵坐标的取值范围是 D.的最大值为【答案】ABD【解析】依题意，曲线，点都满足方程，所以曲线关于原点对称，A选项正确.由消去并化简得，解得或，所以直线与曲线有3个公共点，B选项正确.由整理得，令，则有非负根，而其对称轴，所以，，解得，所以C选项错误.令，则，代入，化简得，由于的开口向上，对称轴为，所以在上单调递增，由解得（负根舍去），所以的最大值为，所以的最大值为，D选项正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若椭圆与双曲线有相同的焦点，则k的值为___________.【答案】2【解析】依题意，椭圆与双曲线的焦点都在轴上则且解之得，（舍）故答案为：13.已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则周长的最小值为______.【答案】【解析】抛物线的焦点为，，根据抛物线的定义可知，的最小值是到抛物线准线的距离，即的最小值是，所以周长的最小值为.14.在平面直角坐标系中，已知点，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为______，若椭圆上有且仅有8个点满足，则椭圆的离心率的取值范围是______【答案】【解析】设Px,y，则，若，则；若，则；若，则；若，则，由此画出点的轨迹如下图所示（正方形），由图可知点的轨迹所围成图形的面积为.椭圆，对应，，要使椭圆上有且仅有8个点满足，根据对称性，由方程组有两个解，且，所以，整理得，，解得，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点.（1）求的标准方程；（2）若为上一点，且，求的面积.解：（1）依题意，设椭圆方程为，所以，解得.所以椭圆的标准方程为.（2）由于，，根据抛物线的定义有：，整理得，所以的面积为.16.已知圆经过点，且与圆相切于点.（1）求圆方程；（2）过点的直线交圆于M，N两点，且，求直线的方程.解：（1）圆的圆心为，半径，直线的方程是，所以圆的圆心可设为，则，则，半径，所以圆的方程为.（2）由，令，解得，，所以直线符合题意.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由于，所以到直线的距离为，所以，解得，直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.17.已知双曲线的左、右焦点分别为.（1）若直线与双曲线交于P，Q两点，求线段的长；（2）若双曲线上存在两点，，满足，求直线的斜率.解：（1）由消去并化简得，设，则，所以.（2）依题意，双曲线上存在两点，，满足，设直线与双曲线另一个交点为，根据对称性可知，双曲线对应，则，依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去并化简得，则，即.设，则①，②，由得，所以③，由①③解得，代入②得：，由于，所以，整理得，解得.18.若动点到点的距离比它到直线的距离小1.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过轨迹上一点作直线交轴正半轴于点，且.若直线，直线与轨迹有且仅有一个公共点，证明直线AE过定点，并求出定点坐标.解：（1）依题意可知，动点到点的距离等于它到直线的距离，所以的轨迹是抛物线，且，所以轨迹的方程为.（2）设，则，由于在轴的正半轴，所以，则，，设，的方程为，由，消去得，，由，，解得，则，所以直线的方程为，整理得，所以直线过定点0,1.19.在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为．（1）求的方程；（2）如图，过点的直线（异于轴）与交于点P，Q，过左焦点作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为.①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，证明：为定值；②记的面积分别为，求的取值范围.解：（1）依题意，，解得，所以的方程为.（2）①设直线的方程为，，由，消去并化简得，则，，则，所以.②由题得，，又，所以，由椭圆的对称性可知，所以，因为直线的方程为，所以，因为，所以直线的方程为，将其代入，解得，所以，所以，令，则，所以，函数在上单调递增，所以，当且仅当，即时取得等号，所以，即，综上所述，的取值范围是.江苏省南通市通州区、如东县2地2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知经过两点的直线的斜率为，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，.故选：B2.抛物线y2＝－12x的准线方程是A.x＝－3 B.x＝3 C.y＝3 D.y＝－3【答案】B【解析】根据题意，抛物线的标准方程为y2=﹣12x，其焦点在x轴负半轴上，且p=6，则其准线方程为x=3；故选B．3.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（）A. B.且 C. D.【答案】D【解析】，即，因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，所以，解得.故选：.4.方程的化简结果为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据，可得点到点的距离差的绝对值等于，结合双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线，，则，，所以，，故方程为：，故选：A.5.圆关于直线对称的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圆的圆心为，半径为.所以圆的半径为，设圆心为，则，解得，所以圆的方程为.故选：A6.若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可得，解得，所以两直线分别为，，所以这两条直线间的距离为.故选：B.7.若直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】圆的圆心为，半径为，要使弦长为定值，则需圆心到直线的距离为定值，即为定值，所以.故选：C8.设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线对应，，设，则，两式相减并化简得，由于，所以，而B选项中，点，对应，所以B选项错误.C选项中，点，对应，所以C选项错误.A选项，点，对应，所以，则直线的方程为，由消去并化简得，，所以方程组无解，所以A选项错误.D选项，点，对应，所以，则直线的方程为，由消去并化简得，，所以D选项正确.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.直线的倾斜角为B.直线在轴上的截距为-2C.直线过定点D.三条直线交于同一点【答案】BCD【解析】A选项，直线的斜率为，倾斜角为，A选项错误.B选项，由直线，令，解得，所以B选项正确.C选项，由得，由，解得，所以定点为，C选项正确.D选项，由解得，，所以三条直线过同一点-2,3，D选项正确.故选：BCD10.已知圆与圆，则（）A.过点作圆的切线只有条，则B.若圆与圆有且只有条公切线，则C.当时，两圆的一条公切线方程为D.当时，两圆的公共弦长为【答案】AC【解析】圆的标准方程为，圆心，半径为，圆的圆心为，半径为，对于A选项，若点作圆切线只有条，则圆心的圆心在圆上，则有，因为，解得，A对；对于B选项，若圆与圆有且只有条公切线，则两圆相交，且，由题意可得，即，因为，解得，B错；对于C选项，当时，圆的方程为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，故当时，两圆的一条公切线方程为，C对；对于D选项，当时，由B选项可知，两圆相交，将两圆方程作差可得，此时，两圆的相交弦所在直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以，两圆的公共弦长为，D错.故选：AC.11.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确是（）A.曲线关于原点对称 B.直线与曲线有3个公共点C.点的纵坐标的取值范围是 D.的最大值为【答案】ABD【解析】依题意，曲线，点都满足方程，所以曲线关于原点对称，A选项正确.由消去并化简得，解得或，所以直线与曲线有3个公共点，B选项正确.由整理得，令，则有非负根，而其对称轴，所以，，解得，所以C选项错误.令，则，代入，化简得，由于的开口向上，对称轴为，所以在上单调递增，由解得（负根舍去），所以的最大值为，所以的最大值为，D选项正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若椭圆与双曲线有相同的焦点，则k的值为___________.【答案】2【解析】依题意，椭圆与双曲线的焦点都在轴上则且解之得，（舍）故答案为：13.已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则周长的最小值为______.【答案】【解析】抛物线的焦点为，，根据抛物线的定义可知，的最小值是到抛物线准线的距离，即的最小值是，所以周长的最小值为.14.在平面直角坐标系中，已知点，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为______，若椭圆上有且仅有8个点满足，则椭圆的离心率的取值范围是______【答案】【解析】设Px,y，则，若，则；若，则；若，则；若，则，由此画出点的轨迹如下图所示（正方形），由图可知点的轨迹所围成图形的面积为.椭圆，对应，，要使椭圆上有且仅有8个点满足，根据对称性，由方程组有两个解，且，所以，整理得，，解得，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点.（1）求的标准方程；（2）若为上一点，且，求的面积.解：（1）依题意，设椭圆方程为，所以，解得.所以椭圆的标准方程为.（2）由于，，根据抛物线的定义有：，整理得，所以的面积为.16.已知圆经过点，且与圆相切于点.（1）求圆方程；（2）过点的直线交圆于M，N两点，且，求直线的方程.解：（1）圆的圆心为，半径，直线的方程是，所以圆的圆心可设为，则，则，半径，所以圆的方程为.（2）由，令，解得，，所以直线符合题意.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由于，所以到直线的距离为，所以，解得，直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.17.已知双曲线的左、右焦点分别为.（1）若直线与双曲线交于P，Q两点，求线段的长；（2）若双曲线上存在两点，，满足，求