（人教A版）必修一高一数学上册同步讲义+分层练习2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（解析版）

2.3二次函数与一元二次方程、不等式思维导图新课标要求1.从函数观点看一元二次方程会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。2.从函数观点看一元二次不等式（1）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能够借助一元二次函数求解一元二次不等式；并能用集合表示一元二次不等式的解集。（2）借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。知识梳理一、一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数二、一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．三、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅知识点1解不含参的一元二次不等式（重点）解一元二次不等式的一般步骤(1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．(2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根．(3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．(4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．【例1-1】解下列不等式：(1)－2x2＋x－6<0；(2)－x2＋6x－9≥0；(3)x2－2x－3>0.解(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0.因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示)．观察图象可得，原不等式的解集为R.(2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图所示，根据图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}．(3)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3.函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示．观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}．【例1-2】解下列一元二次不等式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解】(1)二次方程有二重根，则不等式的解集为(2)二次方程有二根，则不等式的解集为(3)不等式可化为由可知，二次方程无根，则不等式的解集为故不等式的解集为(4)不等式可化为二次方程有二根，则不等式的解集为故不等式的解集为(5)不等式可化为二次方程有二根，则不等式的解集为故不等式的解集为(6)不等式可化为二次方程有二根，则不等式的解集为或故不等式的解集为或【变式训练1-1】不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：解得：.故选：C.【变式训练1-2】不等式的解集为（

）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】解：依题意可得，故，解得或，所以不等式的解集为或故选：B．【变式训练1-3】解以下一元二次不等式(1)(2)(3)(4)【解】(1)由，得，解得，所以不等式的解集为(2)由，得，则，解得或，所以不等式的解集为或(3)由，得，解得，所以不等式的解集为(4)由，得，得，所以不等式的解集为知识点2解含参数的一元二次不等式（难点）解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．【例2-1】求关于x的不等式的解集，其中a是常数；【解】解：因为，所对应的方程有两个根、；若，即，解得或，当时原不等式即为，解得；当时原不等式即为，解得；若，即，解得，此时不等式，解得，即不等式的解集为；若，即，解得或，此时不等式，解得，即不等式的解集为；综上可得：当或时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为；【例2-2】已知关于x的不等式．(1)当时，求该不等式的解集；(2)从下面两个条件中任选一个，并求出此时该不等式的解集．①；②．【解】(1)当时不等式为，可化为，解得，所以不等式的解集为.(2)若选①，，不等式为，即（，（1）当时，不等式解集为或，当时，不等式解集为R，当时，不等式解集为或，综上所述：当时，不等式解集为或，当时，不等式解集为R，当时，不等式解集为或.若选②．不等式为，若，，不等式解集为，若，不等式可化为，当时，不等式解集为或，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，综上所述：当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为或．【变式训练2-1】解关于x的不等式：.【解】解：即，则对应方程的根为，①当或时，原不等式的解集为，②当或时，原不等式的解集为，③当时，原不等式的解集为.【变式训练2-2】若，解关于的不等式．【解】当时，，当时，，当时，，解得，当时，，若，则，若，则或，若，则或，所以当时，原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是或；当时，原不等式的解集是或．【变式训练2-3】解关于的不等式．【解】解：原不等式可化为：，令可得：当或时，，；当或时，，不等式无解；当或时，，综上所述，当或时，不等式解集为；当或时，不等式的解集为；当或时，不等式解集为．知识点3二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用（重点）已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循(1)根据解集来判断二次项系数的符号．(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式．(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．【例3-1】已知不等式的解集为或，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．的解集为或【答案】D【解析】不等式的解集为或，则函数开口向下，故，A正确；不等式的解集为或，则对于函数，有，，B，C正确；不等式的解集为或，即方程的解为，则，且，即为，，解得，故D错误.故选：D.【例3-2】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．解由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知eq\f(b,a)＝－5，eq\f(c,a)＝6.由a<0知c<0，eq\f(b,c)＝－eq\f(5,6)，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)>0，即x2－eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)>0，解得x<eq\f(1,3)或x>eq\f(1,2)，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,3)或x>\f(1,2))))).延伸探究1．若本例中条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．解由根与系数的关系知eq\f(b,a)＝－5，eq\f(c,a)＝6且a<0.∴c<0，eq\f(b,c)＝－eq\f(5,6)，故不等式cx2－bx＋a>0，即x2－eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)<0，即x2＋eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)<0.解得－eq\f(1,2)<x<－eq\f(1,3)，故原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<－\f(1,3))))).2．若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}”变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))”．求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．解方法一由ax2＋bx＋c≥0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))知a<0.又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×2＝eq\f(c,a)<0，则c>0.又－eq\f(1,3)，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴－eq\f(b,a)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(b,a)＝－eq\f(5,3).又eq\f(c,a)＝－eq\f(2,3)，∴b＝－eq\f(5,3)a，c＝－eq\f(2,3)a，∴不等式cx2＋bx＋a<0变为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a))x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)a))x＋a<0，即2ax2＋5ax－3a>0.又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0，故所求不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<x<\f(1,2))))).方法二由已知得a<0且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋2＝－eq\f(b,a)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×2＝eq\f(c,a)知c>0，设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－eq\f(b,c)，x1·x2＝eq\f(a,c)，其中eq\f(a,c)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×2)＝－eq\f(3,2)，－eq\f(b,c)＝eq\f(－\f(b,a),\f(c,a))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×2)＝－eq\f(5,2)，∴x1＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝－3，x2＝eq\f(1,2).∴不等式cx2＋bx＋a<0(c>0)的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<x<\f(1,2))))).【变式训练3-1】若不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．或C． D．或【答案】A【解析】不等式的解集为，故，且，故，，带入不等式得到：，即，解得.故选：A.【变式训练3-2】若关于x不等式的解集为，则不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】解：化为，因为其解为，所以a＜0，且－1和是方程的两根，根据韦达定理得，①，②，∴①÷②得，∵a＜0，，∴b＞0，c＞0，∴化为，即，解得x＞4或x＜－1．故选：D【变式训练3-3】（多选）已知不等式的解集是，则（

）A． B． C． D．不等式的解集是【答案】AC【解析】解：因为不等式的解集是，所以是方程的两个根，所以，且，所以A正确；所以，所以，所以B错误；当时，此时，所以C正确；把代入不等式，可得，因为，所以，即，此时不等式的解集显然不是，所以D不正确.故选：AC.【变式训练3-4】已知不等式的解集是，，则不等式的解集是____________.【答案】【解析】由不等式的解集是，可知：，是一元二次方程的实数根，且；由根与系数的关系可得：，，所以不等式化为，即：；化为；又，；不等式的解集为：|}，故答案为：【变式训练3-5】已知一元二次不等式的解集为或，求不等式的解集．【解】因为一元二次不等式的解集为或，所以，所以不等式为，即，即，解得或，所以不等式的解集是或．知识点4简单的分式不等式分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．【例4-1】不等式的解集是____________.【答案】【解析】可化为，，等价于，解得，所以不等式的解集是，故答案为：.【例4-2】不等式的解集为（

）A． B．或C．或 D．【答案】B【解析】由得，即，也即，解得或，所以原不等式的解集为或，故选：B【变式训练4-1】不等式的解集为______．【答案】或【解析】，解得不等式解集为或故答案为：或.【变式训练4-2】不等式的解集是___________.【答案】【解析】等价于，解得：故答案为：知识点5一元二次不等式的恒成立或有解问题（难点）一元二次不等式恒成立问题的解法(1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号．(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．【例5-1】若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】B【解析】关于的一元二次不等式的解集为，所以，解得，故选：B.【例5-2】若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意关于的不等式在内有解，，，所以.故选：D【例5-3】设m为实数，.（1）若方程有实数根，则m的取值范围是_______________；（2）若不等式的解集为，则m的取值范围是_______________；（3）若不等式的解集为，则m的取值范围是_______________.【答案】

；

；

.【解析】解：（1）方程有实数根，即有实根，①当，即时，方程的根为，符合题意；②当，即时，由题意，，解得，所以，且；综上，m的取值范围是.（2）①当，即时，，即，所以解集为，不符合题意；②当时，由题意有，解得；综上，m的取值范围是.（3）①当，即时，，即，所以解集为，不符合题意；②当时，由题意有，解得；综上，m的取值范围是.【例5-4】关于实数x的不等式．(1)若，求该不等式解集；(2)若该不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．【解】(1)解：当时，原不等式即为：，解得，所以不等式解集；(2)解：若不等式对一切实数恒成立，当时，恒成立，故满足题意；当时，要使得不等式对一切实数恒成立，则即，解得；综上：.【变式训练5-1】已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【解析】当时，不等式可化为，显然成立；当时，要满足关于的不等式对任意恒成立，只需，解得.综上，的取值范围是.故选：A【变式训练5-2】已知函数的图象都在轴的上方，求实数的取值范围(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】的图象都在轴上方，①时，k＝－5或k＝1，k＝－5时，函数为一次函数，不满足条件；k＝1时，y＝3满足条件；故k＝1；②k≠－5且k≠1时，函数为二次函数，则，解得；综上，.故选：A.【变式训练5-3】已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得和是关于的方程的两个实数根，则，解得，则，由得，当时，，故.故选：B.【变式训练5-4】若关于x的不等式在内有解，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】，，，所以当时，，所以.故答案为：【变式训练5-5】不等式对于任意的x，y∈R恒成立，则实数k的取值范围为________．【答案】【解析】因为对于任意的x，y∈R恒成立，于是得关于x的一元二次不等式对于任意的x，y∈R恒成立，因此，对于任意的y∈R恒成立，故有，解得，所以实数k的取值范围为.故答案为：【变式训练5-6】若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解】对于任意的，不等式，即，因此，对于任意的，恒成立，当时，，，当且仅当，即时取“=”，即当时，取得最小值4，则，所以实数的取值范围是.知识点6一元二次不等式的实际应用解不等式应用题的步骤【例6-1】某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高元（为正整数），则租出的床位会相应减少张．若要使该旅店某晚的收入超过12600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？【解】设该旅店某晚的收入为y元，则由题意，则即，即，解得：，且所以每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）【变式训练6-1】某小型服装厂生产一种风衣，日销售量（件）与单价（元）之间的关系为，生产件所需成本为（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量的取值范围是（

）.A． B．C． D．【答案】B【解析】设该厂每天获得的利润为元，则，，，根据题意，可得，解得，故当，且时，每天获得的利润不利于1300元.故选B.【变式训练6-2】（多选）在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10.又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速x之间分别有如下关系：S甲=0.1x+0.01x2，S乙=0.05x+0.005x2.则下列判断错误的是（

）A．甲车超速 B．乙车超速C．两车均不超速 D．两车均超速【答案】ACD【解析】设甲的速度为由题得0.1x1+0.01>12，解之得或；设乙的速度为，由题得0.05x2+0.005>10.解之得x2<-50或x2>40.由于x>0，从而得x1>30km/h，x2>40km/h.经比较知乙车超过限速.故选：ACD【变式训练6-3】为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则的取值范围为___________.【答案】【解析】第一次操作后，利下的纯药液为，第二次操作后，利下的纯药液为，由题意可知：，因为，所以，故答案为：【变式训练6-4】某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x的最小值_______【答案】20【解析】把一月份至十月份的销售额相加求和,列出不等式,求解.七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2.所以一月份至十月份的销售总额为:3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2,所以xmin=20.名师导练A组-[应知应会]1．不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．【答案】D【解析】解：原式化为，即，故不等式的解集为.故选:D2．不等式的解集为（）A．或 B． C．或 D．【答案】D【解析】不等式等价于，即，且，解得，故不等式的解集为，故选：D．3．已知不等式的解集为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得：方程的两个根分别为和，则，解得：，所以，故选：A4．对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】当k＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；当时，若不等式恒成立，则，于是.故选：B．5．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【解析】因关于的不等式的解集是，则1是方程的根，且，于是得，不等式化为：，即，解得，所以关于的不等式的解集是.故选：A6．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间【答案】C【解析】设销售价定为每件元,利润为则，依题意,得即,解得所以每件销售价应定为12元到16元之间，故选:C7．关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：不等式在内有解等价于在内，．当时，，所以．故选：D．8．若关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】∵不等式，即恰有2个整数解，∴，解得或.当时，不等式的解集为，易知，∴个整数解为，，∴，即，解得；当时，不等式的解集为，易知，∴个整数解为，，∴，即，解得.综上所述，实数的取值范围是-或.故选：B.9．（多选）已知关于的不等式

的解集为或，则（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集是或【答案】ABD【解析】∵关于的不等式的解集为或，∴和3是方程的两个实根，且，∴根据韦达定理得-b=-2+3，b=-1，故正确；又，∴不等式化为，故B正确；，故C不正确；不等式化为，即，即，解得或，故D正确．故选：ABD．10．（多选）不等式对任意恒成立，则下列关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】整理为：，令，则有，A正确；若，满足对任意恒成立，B错误；由得：，C正确；，故D正确.故选：ACD11．不等式的解集为________.【答案】【解析】，解得.故答案为：.12．若关于x的不等式ax2－6x＋a2>0的解集为{x|1<x<m}，则a＝________，m＝________.【答案】

－3

－3【解析】解：可知1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的两个根，且a<0，∴解得或(舍去)．故答案为：，.13．关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】由题意可知方程的两根为，1，所以，解得则不等式即为，其解集为：.故答案为：.14．若不等式的解集为空集，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】解：当时，不等式无解，满足题意；当时，，解得；综上，实数的取值范围是．故答案为：15．求下列不等式的解集.(1)；(2)；(3)；(4)．【解】(1)解：原不等式即为，解得，故原不等式的解集为；(2)解：将原不等式变形为，即，解得或，故原不等式的解集为或；(3)解：将原不等式变形为，解得，故原不等式的解集为；(4)解：对于不等式，，故原不等式的解集为.16．北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？