（人教A版）选择性必修一高二数学上册期末培优练习拓展三：与圆有关的轨迹问题（解析版）

拓展三：与圆有关的轨迹问题知识点15种定义形式的圆1、“定义圆”：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合.数学语言描述为：在平面内，，其中M为动点，A为定点，为定值.2、“斜率圆”：在平面内，与两定点斜率之积为-1的点的集合（除去定点所在垂直于轴的直线与曲线的交点）.数学语言描述为∶在平面内，，其中M为动点，A，B为定点.且点M的横坐标不等于A，B的横坐标.“平方圆”：在平面内，到两定点距离的平方和为定值的点的集合.数学语言描述为：在平面内，，其中M为动点，A，B为定点，λ为定值.注：若，则点M的轨迹方程为，此时.“向量圆”：在平面内，与两定点形成向量的数量积为定值的点的集合.数学语言描述为∶在平面内，，其中M为动点，A，B为定点，λ为定值注：若，则点M的轨迹方程为，此时.特别地,若A，B为定点，且，则点M的轨迹是以AB为直径的圆拓展：“角度圆”：在平面内，与两定点所成角为定值的点的集合.（角度可用向量的夹角公式表示）“比值圆”（阿波罗尼斯圆）：在平面内，到两定点距离之比为定值的点的集合.数学语言描述为：，其中M为动点，A，B为定点，为定值，>0且≠1.注：当时，M的轨迹是线段AB的垂直平分线.6、这些圆彼此之间的联系：（1）斜率圆可以看成向量圆的特例，即两向量互相垂直时可以转化为两直线斜率之积等于-1,需要注意斜率不存在的情形.也就是说数量积为零比斜率之积为-1更一般.（2）比值圆与平方圆是一样的，都是用两点间距离公式求解.知识点2注意“轨迹”与“轨迹方程”的区别1、“轨迹”是图形，“轨迹方程”是方程.2、求轨迹方程后要检验求轨迹方程后一定要注意检验轨迹的纯粹性和完备性，在所得的方程中删去或补上相应的特殊点，以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应关系.考点一直接法求轨迹解题方略：直接法是指将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式，然后化简而求出动点轨迹方程的一种方法．此法的一般步骤∶建系、设点、列式、化简、限制说明.注：（1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等）（2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。（3）注意“多点”和“少点”，一般情况下，斜率和三角形顶点等约束条件（1）“斜率圆”1．已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【解析】由题设，在以为直径的圆上，令，则(不与重合)，所以的取值范围，即为到圆上点的距离范围，又圆心到的距离，圆的半径为2，所以的取值范围为，即.故选：C2．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【解析】因为两点，点满足，故点的轨迹是以为直径的圆（不包含），故其轨迹方程为，又圆上存在点，故两圆有交点，又，则，解得，则的最大值为.故选：C.3．已知直线过定点A，直线过定点B，与的交点为C，则的最大值为___________.【解析】由，则过定点，由，则过定点，显然，即、相互垂直，而与的交点为C，所以的轨迹是以为直径的圆，且圆心为、半径为，令，则，且，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大为.故答案为：4．已知点，动点满足以为直径的圆与轴相切，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为___________.【解析】由动点满足以为直径的圆与轴相切可知：动点到定点的距离等于动点到直线的距离，故动点的轨迹为，由可得，解得D，即直线过定点D，又过作直线的垂线，垂足为，所以点在以为直径的圆上，直径式方程为，化为标准方程为：，圆心,半径过做垂直准线，垂足为，过做垂直准线，垂足为则故答案为：5．已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【解析】由题意得圆的圆心为，半径，易知直线恒过点，直线恒过，且，点的轨迹为，圆心为，半径为，若点为弦的中点,位置关系如图：.连接，由易知.，.故选：D.（2）“向量圆”6．已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（

）A．1 B． C． D．2【解析】设，则，，整理得，则点在以为圆心，为半径的圆上，则表示和圆上点之间的距离，又在圆上，故的最大值是.故选：B.7．已知圆，直线l满足___________（从①l过点，②l斜率为2，两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），且与圆C交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程.【解析】选择条件①，设点，令定点为P，因直线l过点P，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C(0,0)时，则，有，当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，此时，等式成立，因此有，而，于是得，即，由解得，，而直线与圆相切的切点在圆C内，由点M在圆C内，得且，所以AB中点M的轨迹方程是：(且).选择条件②，设点，因l斜率为2，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C时，则，则M的轨迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分（除点C外），当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，即点C在点M的轨迹上，因此，M的轨迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分，而过圆心且垂直于l的直线为，由解得或，而点M在圆C内，则有，所以AB中点M的轨迹方程是：.（3）“平方圆”8．设，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（

）A． B．C． D．【解析】设，，，即．点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．若直线上存在点Q使得，则PQ为圆的切线时最大，如图，，即．圆心到直线的距离，或．故选：B．9．直线与圆相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．【解析】设，易知直线恒过定点，再由，得，∴，整理得．∵点M应在圆内且不在x轴上，∴所求的轨迹为圆内的部分且不在x轴上．解方程组得两曲线交点的横坐标为，故所求轨迹方程为．（4）“比值圆”（阿波罗尼斯圆）10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中，，，点满足．则点的轨迹所包围的图形的面积等于（

）A． B． C． D．【解析】设点，则，化简整理得，即，所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，所以所求图形的面积为，故选：D11．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则面积的最大值是（

）A． B．2 C． D．4【解析】设经过点A，B的直线为x轴，的方向为x轴正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，线段AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系.则，．设，∵，∴，两边平方并整理得，即．要使的面积最大，只需点P到AB（x轴）的距离最大时，此时面积为．故选：C.12．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德､欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点C到的距离之比为，则点C到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【解析】设，则，即，化简得，所以点的轨迹为以为圆心，的圆，则圆心到直线的距离，所以点C到直线的距离的最小值为；故选：A13．已知圆，过圆外一点作圆的切线，切点为，若（O为坐标原点），则的最小值为（

）A． B． C． D．【解析】圆，化简可得，所以，半径为，由题意，过圆外一点作圆的切线，切点为，所以为直角三角形，，又由，可求得动点的轨迹方程，设，则，可得，点在圆上，圆心为，则的最小值为：.故选：D.14．已知边长为2的等边三角形，是平面内一点，且满足，则三角形面积的最小值是（

）A． B． C． D．【解析】以的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，则，，，设，因为，所以，得，所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，当点距离直线距离最大时，面积最大，已知直线的方程为：，，点距离直线的最小距离为：，所以面积的最小值为.故选：A15．已知是矩形，且满足.其所在平面内点满足：，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，则设，由，所以，化简得：，记为圆，设，由，所以，化简得：，记为圆,即为，两圆圆心距为：，半径和为：，所以，则两圆相离，如图所示，对圆，令y=0，得：，令圆，令y=0，得：，所以，，又，结合平面向量数量积的定义可知，的最小值为，的最大值为.故选：B.考点二相关点代入法解题方略：一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或者两个多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来寻求代换关系。求谁设谁，设所求点坐标为所依赖的点称之为“参数点”，设为或，等“参数点”满足某个（些）方程，可供代入寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值。代入方程，消去参数值注：已知圆上有一动点，求与该动点有关的动点轨迹方程也是常见的题型，这类问题的解法相对比较固定，都是寻找所求动点坐标与圆上动点坐标之间的关系求解的。16．已知点在圆上运动，，点为线段的中点．(1)求点的轨迹方程(2)求点到直线的距离的最大值和最小值．【解析】(1)设点，，因为点是的中点，所以，则，，即，因为点在圆上运动，则有，所以点的轨迹方程为；(2)由（1）知点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，点到直线的距离，故点到直线的距离的最大值为，最小值为．17．已知点在圆上运动，点，线段的中点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点是否存在直线与曲线有且只有一个交点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设，则在圆上，整理得：曲线的方程为.(2)当斜率不存在时，符合条件；当斜率存在时，设直线方程为，则，解得.满足条件的直线存在，直线的方程为：或.18．设定点，动点N在圆上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．【解析】设，，根据中点公式得到：，由，得,当共线时，不构成平行四边形此时得到两点和故答案为圆，除去两点和19．已知点和圆，动点在圆上，点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线与圆的位置关系为（

）A．相交 B．相离 C．内切 D．外切【解析】由知：为线段的中点，设，则有，而点在圆上，于是有，整理得，因此，曲线是以点为圆心，2为半径的圆，而，即曲线与圆内切于点，所以曲线与圆内切.故选：C考点三定义法解题方略：1、若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，就用定义直接求．2、运用定义法求轨迹方程的一般步骤为∶（1）定型，即研究动点轨迹的类型符合哪种常用曲线的定义；（2）定位，即研究动点轨迹的中心位置、焦点所在的轴等等；（3）定方程，即用待定系数法求轨迹方程；（4）检查，即检查轨迹方程的完备性与纯粹性.20．设A为圆上的动点，是圆的切线且，则P点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【解析】圆可化为，由题意可得圆心到P点的距离为，所以点P在以为圆心，为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是．故选：B．21．已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是___________【解析】设，由题意知，，因是以为底边的等腰三角形，于是有，即点C的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，又点构成三角形，即三点不可共线，则轨迹中需去掉点B及点B关于点A对称的点，所以点的轨迹方程为(去掉两点).故答案为：(去掉两点)22．若A，B是：上两个动点，且，A，B到直线l：的距离分别为，，则的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【解析】圆的圆心为，半径为.，，由于，所以.设是的中点，则，设，则，即的轨迹为单位圆.原点到直线的距离为，所以圆上的点到直线的距离.所以，所以的最大值是.故选：D23．正三角形OAB的边长为1，动点C满足，且，则点C的轨迹是（

）A．线段 B．直线 C．射线 D．圆【解析】方法一：由题可知：，又所以，即所以点C的轨迹是圆.方法二：由题可知：，如图，以O为原点OB为x轴，过O点与OB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，所以设，又所以整理得：所以点C的轨迹是圆.故选：D.考点四几何法解题方略：1、利用圆的几何性质求解，通过条件想办法确定圆心和半径2、三角形中的几何性质其中最常用到的几何性质有：直角三角形斜边中线定理、三角形的中位线定理、等腰三角形的三线合一等.3、四边形中的几何性质对于平面四边形，若两个对角互补（或一个外角等于它的内对角），则四点共圆，这一性质是平面四边形中的常用性质.24．已知圆，点，内接于圆，且，当，在圆上运动时，中点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【解析】设中点为，圆心角等于圆周角的一半，，，在直角三角形中，由，故中点的轨迹方程是：，如图，由的极限位置可得，.故选：D25．在平面直角坐标系中，已知圆：，点，过动点引圆的切线，切点为.若，则长的最大值为（

）A． B． C． D．【解析】设，因为与圆相切，为切点，，故，所以，所以，整理得，所以的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，在圆内，所以长的最大值为．故选：．26．过圆外一点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.若△PAB为等边三角形，则过D(2，1)的直线l被P点轨迹所截得的最短弦长为________.【解析】由题意知，连接PC，因为△PAB为等边三角形，所以∠APC＝30°，所以，所以P点轨迹的方程为.因为，所以点D(2，1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部.连接CD，结合图形可知，当l与CD垂直时，l被圆所截得的弦长最短，最短弦长为故答案为：27．已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】由题可知圆O的半径为，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则，在中，，所以点在圆上，由于点P也在圆M上，故两圆有公共点.又圆M的半径等于1，圆心坐标，，∴，∴.故选：D.28．已知圆C：x2+y2﹣8x﹣6y+F＝0与圆O：x2+y2＝4相外切，切点为A，过点P（4，1）的直线与圆C交于点M，N，线段MN的中点为Q．（1）求点Q的轨迹方程；（2）若|AQ|＝|AP|，点P与点Q不重合，求直线MN的方程及△AMN的面积．【解析】（1）圆的标准方程为，圆心，半径为，由圆与圆相外切可知，解得，圆，又，则点在圆内，弦过点，是的中点，则，点的轨迹是以为直径的圆，其