（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步讲义+巩固练习1.2空间向量基本定理原卷版

1.2空间向量基本定理课程标准课标解读理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空间向量基本定理的内容及含义..理解基底与基向量的含义，会用恰当的基向量表示空间任意向量.会用相关的定理解决简单的空间几何问题.1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量.2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题.知识点1空间向量基本定理1．定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式.注：（1）对于基底{a，b，c}应明确以下三点：①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．②基底中的三个向量a，b，c都不是0.这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的，是一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．（2）空间向量基本定理的推论设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间内任意一点P都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得eq\o(OP,\s\up7(―→))＝xeq\o(OA,\s\up7(―→))＋yeq\o(OB,\s\up7(―→))＋zeq\o(OC,\s\up7(―→)).推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置．2．空间向量的正交分解(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用{i，j，k}表示．(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解．易错辨析：（1）构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？不可以．（2）在四棱锥O­ABCD中，eq\o(OA,\s\up7(―→))可表示为eq\o(OA,\s\up7(―→))＝xeq\o(OB,\s\up7(―→))＋yeq\o(OC,\s\up7(―→))＋zeq\o(OD,\s\up7(―→))且唯一，这种说法对吗？对．【即学即练1】下列说法正确的是（

）A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B．空间的基底有且仅有一个C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D．直线的方向向量有且仅有一个【即学即练2】设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【即学即练3】已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是()A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2aC．a,2b，b－c D．c，a＋c，a－c【即学即练4】【多选】设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有()A．{a，b，x} B．{x，y，z}C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c}【即学即练5】在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．用向量a，b，c表示eq\o(D1B,\s\up6(—→))，eq\o(EF,\s\up6(→))；知识点2证明平行、共面问题1.对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.2.如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.3．直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．【即学即练6】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.求证：A，E，C1，F四点共面．知识点3夹角、垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.注：区分向量的夹角与异面直线所成的角的范围．【即学即练7】在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,3)CD.(1)证明：EF⊥B1C；(2)求EF与C1G所成角的余弦值．知识点4距离(长度)问题eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．【即学即练8】已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，．(1)求；(2)求．考点一空间向量基本定理的理解解题方略：判断基底的方法(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．【例1-1】已知能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（

）A． B． C． D．变式1：已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，试判断{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}能否作为空间的一个基底．变式2：设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的向量组有________个．变式3：已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，向量b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，则与a，b不能构成空间基底的是()A.eq\o(OA,\s\up6(→))B.eq\o(OB,\s\up6(→))C.eq\o(OC,\s\up6(→)) D.eq\o(OA,\s\up6(→))或eq\o(OB,\s\up6(→))变式4：已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．变式5：若向量eq\o(MA,\s\up7(―→))，eq\o(MB,\s\up7(―→))，eq\o(MC,\s\up7(―→))的起点M与终点A，B，C互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量eq\o(MA,\s\up7(―→))，eq\o(MB,\s\up7(―→))，eq\o(MC,\s\up7(―→))成为空间一组基底的关系的是()A．eq\o(OM,\s\up7(―→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(―→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(―→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(―→))B．eq\o(MA,\s\up7(―→))≠eq\o(MB,\s\up7(―→))＋eq\o(MC,\s\up7(―→))C．eq\o(OM,\s\up7(―→))＝eq\o(OA,\s\up7(―→))＋eq\o(OB,\s\up7(―→))＋eq\o(OC,\s\up7(―→))D．eq\o(MA,\s\up7(―→))＝2eq\o(MB,\s\up7(―→))－eq\o(MC,\s\up7(―→))考点二空间向量基本定理的应用解题方略：用基底表示向量的策略(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行．(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．（一）用基底表示空间向量【例2-1】如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点．用向量eq\o(OA,\s\up7(―→))，eq\o(OB,\s\up7(―→))，eq\o(OC,\s\up7(―→))表示eq\o(OP,\s\up7(―→))和eq\o(OQ,\s\up7(―→)).变式1：四面体OABC中，eq\o(OA,\s\up7(―→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(―→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(―→))＝c，点M在OA上，且eq\o(OM,\s\up7(―→))＝2eq\o(MA,\s\up7(―→))，N为BC中点，则eq\o(MN,\s\up7(―→))为()A.eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c B.－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)c D.eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c变式2：如图所示，正方体OABC­O′A′B′C′，且eq\o(OA,\s\up7(―→))＝a，eq\o(OC,\s\up7(―→))＝b，eq\o(OO′,\s\up7(―→))＝c.(1)用a，b，c表示向量eq\o(OB′,\s\up7(―→))，eq\o(AC′,\s\up7(―→))；(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示eq\o(GH,\s\up7(―→)).变式3：如图，在四面体ABCD中，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{eq\o(AB,\s\up7(―→))，eq\o(AC,\s\up7(―→))，eq\o(AD,\s\up7(―→))}为基底，则eq\o(GE,\s\up7(―→))＝________.（二）用基底法求空间向量的数量积【例2-2】如图，已知四面体ABCD的每条棱长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，设eq\o(AB,\s\up7(―→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(―→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(―→))＝c，a，b，c为空间向量的一组基底．计算eq\o(EF,\s\up7(―→))·eq\o(BA,\s\up7(―→)).变式1：在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))－(x＋y－1)eq\o(AD,\s\up6(→))，点N满足eq\o(BN,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(BC,\s\up6(→))，当AM，BN最短时，eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(4,3)B.eq\f(4,3)C．－eq\f(1,3)D.eq\f(1,3)（三）利用空间向量基本定理求参数【例2-3】已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m与n共线，则x＝________；y＝________.变式1：若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．变式2：正方体ABCD­A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{eq\o(AO1,\s\up7(―→))，eq\o(AO2,\s\up7(―→))，eq\o(AO3,\s\up7(―→))}为基底，eq\o(AC,\s\up7(―→))′＝xeq\o(AO1,\s\up7(―→))＋yeq\o(AO2,\s\up7(―→))＋zeq\o(AO3,\s\up7(―→))，则x，y，z的值是()A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝eq\f(1,2)C．x＝y＝z＝eq\f(\r(2),2) D．x＝y＝z＝2变式3：点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(ND,\s\up6(→))，则满足eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))的实数x，y，z的值分别为________．变式4：已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，则(x，y，z)为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))考点三用向量法证明平行、共面问题解题方略：证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可．(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．【例3-1】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若eq\o(EF,\s\up7(―→))＋λeq\o(A1D,\s\up7(―→))＝0(λ∈R)，则λ＝________.【例3-2】如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明：(1)EG∥AC；(2)平面EFG∥平面AB′C.考点四用向量法解决立体几何的垂直、夹角问题解题方略：求夹角、证明线线垂直的方法1、要证两直线垂直，由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．2、利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况．【例4-1】如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G，G1分别是棱CC1，BC，CD，A1B1的中点．求证：(1)AD1⊥G1G；(2)AD1∥EF;(3)A1G⊥DF;(4)求DE与AD1所成角的余弦值.【例4-2】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD和A1C1的中点．证明：①AB1∥GE，AB1⊥EH；②A1G⊥平面EFD.【例4-3】已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为__________.变式1：已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝2，CC1＝2，AA1与AB，AC都成60°角，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(\r(15),5)C.eq\f(\r(10),5)D.eq\f(1,6)题组A基础过关练1、①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若eq\o(BA,\s\up7(―→))，eq\o(BM,\s\up7(―→))，eq\o(BN,\s\up7(―→))不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．42、已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（

）A．，，共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线C．与共线 D．O，A，B，C四点共面3、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则向量eq\o(OD,\s\up6(→))可用a，b，c表示为()A．a－b＋2cB．a－b－2cC．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cD.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c4、在空间四点O，A，B，C中，若{eq\o(OA,\s\up7(―→))，eq\o(OB,\s\up7(―→))，eq\o(OC,\s\up7(―→))}是空间的一个基底，则下列命题不正确的是()A．O，A，B，C四点不共线B．O，A，B，C四点共面，但不共线C．O，A，B，C四点不共面D．O，A，B，C四点中任意三点不共线5、正四面体棱长为2，，，分别是，，的中点，则的值为（

）A． B．1 C．2 D．46、正方体的棱长为a，，N为的中点，则（

）A． B． C． D．7、已知空间向量，，不共面，且，则x，y，z的值分别是（

）A．2，1，2 B．2，1，C．1，，3 D．l，，38、在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设eq\o(AB,\s\up7(―→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(―→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(―→))＝c，A1C1与B1D1的交点为E，则eq\o(BE,\s\up7(―→))＝________.9、已知三棱柱，点在线段上，且，则（

）A． B．C． D．10、如图，在三棱柱中，E，F分别是BC，的中点，，则（

）A．B．C．D．题组B能力提升练11、在棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD()A．相交 B．平行C．垂直 D．无法判断位置关系12、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是()A．0 B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(15),5)13、在平行六面体中，若，则的值等于（

）A． B． C． D．14、已知A､B､C､D､E是空间中的五个点，其中点A､B､C不共线，则“平面ABC”是“存在实数x､y，使得的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件15、若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，当d＝αa＋βb＋γc时，α＋β＋γ＝________.16、如图所示，在正方体OABC－O1A1B1C1中，点G为△ACO1的重心，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，eq\o(OO1,\s\up6(→))＝c，eq\o(OG,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，则x＋y＋z＝____