（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步讲义+巩固练习3.2.1双曲线及其标准方程（原卷版）

3.2.1双曲线及其标准方程课程标准核心素养1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.数学抽象直观想象知识点1双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注：1、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:.常数要小于两个定点的距离．2、对双曲线定义中限制条件的理解(1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M的轨迹不存在．(2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．(3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于与的大小.①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.【即学即练1】已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为()A．双曲线或一条直线B．双曲线或两条直线C．双曲线一支或一条直线D．双曲线一支或一条射线【即学即练2】已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是()A．双曲线 B．双曲线左支C．一条射线 D．双曲线右支【即学即练3】方程eq\f(x2,2＋m)－eq\f(y2,2－m)＝1表示双曲线，则m的取值范围是()A．－2＜m＜2 B．m＞0C．m≥0 D．|m|≥2知识点2双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2a与b没有大小关系注：1、双曲线的标准方程推导过程①观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，焦距为2c，c>0.设P(x，y)是双曲线上一点，则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，因为|PF1|＝eq\r(x＋c2＋y2)，|PF2|＝eq\r(x－c2＋y2)，所以eq\r(x＋c2＋y2)－eq\r(x－c2＋y2)＝±2a，①类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，两边同除以a2(c2－a2)，得eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,c2－a2)＝1.由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．②设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？【答案】eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．2、巧记双曲线焦点位置与方程的关系两种双曲线，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．3、共焦点双曲线的设法与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为eq\f(x2,a2＋λ)－eq\f(y2,b2－λ)＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为eq\f(y2,a2＋λ)－eq\f(x2,b2－λ)＝1(－a2<λ<b2)．【即学即练4】以椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,5)＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，eq\r(10))的双曲线的标准方程为________．【即学即练5】求过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程．【即学即练6】求以椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．【即学即练7】椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,a2)＝1与双曲线eq\f(x2,a)－eq\f(y2,2)＝1有相同的焦点，则a的值是()A.eq\f(1,2) B．1或－2C．1或eq\f(1,2) D．1知识点3双曲线的焦点三角形双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．以双曲线上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)双曲线的定义：(2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)面积公式：S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ，重要结论：S△PF1F2=推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ得由三角形的面积公式可得S△PF1F2==【即学即练8】设F1，F2分别是双曲线x2－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝()A．5 B．3C．7 D．3或7【即学即练9】已知双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点分别是F1，F2.若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．【即学即练10】设F1，F2分别是双曲线x2－eq\f(y2,24)＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()A．4eq\r(2)B．8eq\r(3)C．24D．48考点一双曲线标准方程的认识解题方略：双曲线方程的辨识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,n<0，))则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,n>0，))则方程表示焦点在y轴上的双曲线．【例1-1】“k<2”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式1：已知方程eq\f(x2,1＋m)＋eq\f(y2,m－2)＝1表示双曲线，则m的取值范围是()A．(－1，＋∞) B．(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－1,2)变式2：已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1,3) B．(－1，eq\r(3))C．(0,3) D．(0，eq\r(3))变式3：在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程所表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的椭圆【例1-2】已知双曲线eq\f(x2,a－3)＋eq\f(y2,2－a)＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于()A.eq\f(3,2) B．5C．7 D.eq\f(1,2)考点二求双曲线的标准方程解题方略：1．求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．2．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．注：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0.【例2-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a＝3，c＝4；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)．变式1：根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1有公共焦点，且过点(3eq\r(2)，2)；(2)双曲线过两点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5)).变式2：已知双曲线的中心在坐标原点，且一个焦点为F1(－eq\r(5)，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的标准方程为()A.eq\f(x2,4)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1变式3：设F1，F2是双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))的值为()A．2 B．3C．4 D．6考点三双曲线的焦点三角形解题方略：在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．【例3-1】如图，若F1，F2是双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．变式1：已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝()A．2 B．4C．6 D．8变式2：设点P在双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于________．cos∠F1PF2＝________.变式3：已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为()A．4a B．4a－mC．4a＋2m D．4a－2m变式4：如图所示，已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，c＝2a，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，＝12eq\r(3)，求双曲线的标准方程．变式5：已知点为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C相交于P，Q两点．若，则______．考点四双曲线定义的应用解题方略：求解与双曲线有关的长度和最值问题，都可以通过相应的双曲线的定义去解决【例4-1】已知A(－4,0)，B是圆(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,7)＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为()A．9 B．2eq\r(5)＋6C．10 D．12变式1：已知定点A(3,1)，F是双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为()A.eq\r(2)B．5eq\r(2)＋4C．5eq\r(2)－4D.eq\r(2)＋4变式2：如图，双曲线C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,10)＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是()A．3B．4C．6D．8变式3：已知点P在曲线C1：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的右支上，点Q在曲线C2：(x＋5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x－5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是()A．6B．8C．10D．12考点五双曲线的轨迹方程【例5-1】设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是()A.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≤－3) D.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≥3)变式1：已知点P(x，y)的坐标满足eq\r(x－12＋y2)－eq\r(x＋12＋y2)＝±eq\r(2)，则动点P的轨迹是()A．椭圆 B．双曲线C．两条射线 D．双曲线的一支【例5-2】已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则另一个焦点F的轨迹是________________________．【例5-3】动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是()A．双曲线的一支 B．圆C．椭圆 D．双曲线变式1：已知动圆过定点，且与圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程.【例5-4】在中，，，直线，的斜率之积为求顶点的轨迹方程．考点六双曲线的实际应用解题方略：1、双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题．2、利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：(1)建立适当的坐标系．(2)求出双曲线的标准方程．(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．【例6-1】A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6千米，C在B北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远．因此4s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角．变式1：某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，|AP|＝100m，|BP|＝150m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．题组A基础过关练1、已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是()A．双曲线 B．双曲线的一支C．直线 D．一条射线2、求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a＝2eq\r(5)，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；(2)与椭圆eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.3、焦点在x轴上的双曲线经过点P(4eq\r(2)，－3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为________．4、下列选项中的曲线与eq\f(x2,12)－eq\f(y2,24)＝1共焦点的双曲线是()A.eq\f(x2,24)－eq\f(y2,12)＝2 B.eq\f(y2,24)－eq\f(x2,12)＝1C.eq\f(y2,26)－eq\f(x2,10)＝1 D.eq\f(x2,10)－eq\f(y2,26)＝15、设m是常数，若点F(0,5)是双曲线eq\f(y2,m)－eq\f(x2,9)＝1的一个焦点，则m＝________.6、动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是()A．双曲线的一支 B．圆C．椭圆 D．双曲线7、【多选】已知方程eq\f(x2,4－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断正确的是()A．当1<t<4时，曲线C表示椭圆B．当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<t<eq\f(5,2)D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>48、如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为____________．9、已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.若双曲线上存在点A使得∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝2|AF2|＝4，则双曲线的方程为()A．x2－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－y2＝1C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1题组B能力提升练10、已知方程eq\f(x2,k－5)－eq\f(y2,|k|－2)＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是()A．k>5 B．k>5或－2<k<2C．k>2或k<－2 D．－2<k<211、【多选】已知点P在双曲线C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有()A．点P到x轴的距离为eq\f(20,3)B．|PF1|＋|PF2|＝eq\f(50,3)C．△PF1F2为钝角三角形D．∠F1PF2＝eq\f(π,3)12、设F1，F2分别是双曲线x2－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点．若P在双曲线上，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，则|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|的值为________．13、已知P为双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若，则△MF1F2的面积为()A．2eq\r(7)B．10C．8D．614、在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝eq\f(3,4)，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程．15、如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2km，则曲线PQ的轨迹方程是________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是______km.16、已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(