湖南省汨罗市第二中学2026届高三上学期8月入学考试数学试卷含解析

/2025年8月高三数学入学考试试题一、单选题（每题5分，共40分）1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【详解】∵，，,故，∴，故选：C．2.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【详解】，，，所以，故选：A3.已知双曲线的离心率为，则（）A. B. C. D.【答案】A【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，故该双曲线的离心率为，解得.故选：A.4.已知，则的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【详解】由，当且仅当时取等号，可得.可得的最小值为4，故选：A.5.已知等比数列的各项均为正数，且，则的最大值为（）A.9 B.8 C.3 D.27【答案】D【详解】设等比数列的公比为，则由得，解得，，所以，当且仅当或时的最大值为.故选：D.6.设，.若是与的等比中项，则的最小值（）A.2 B.4 C. D.8【答案】B【详解】解：是与的等比中项，，．，．，当且仅当时取等号．的最小值为．故选：B．7.已知等比数列的各项都为正数，且当时有，则数列的前20项和为（）A.190 B.210 C.220 D.420【答案】B【详解】解：依题意等比数列各项都为正数，且当时有所以，所以所以所以数列的前20项和为故选：B8.若不等式对恒成立，其中，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【详解】令，求导得，当时，易知函数单调递增，函数值域为R，则不合题意；当时，令，解得，可列下表：极小值则，可得，令，求导得，令，可得，可得下表极大值则，则，故选：A二、多选题（共15分）9.已知曲线.（）A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m=n>0，则C是圆，其半径为C.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D.若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD【详解】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.10.已知函数，则（）A.的图象关于点对称B.的图象关于直线对称C.是奇函数D.有4个零点【答案】BD【详解】对于A，，故错误；对于B，，故正确；对于C，，令，则，故错误；对于D，由，则，解得，则有两个解，因为，，，令，则，，由，则在内有两个根，故正确.故选：BD.11.已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点的直线与C交于，两点，点为点在上的射影，线段与轴的交点为，线段的延长线交于点，则（）A.B.C.直线与相切D.（为坐标原点）有最大值【答案】BC【详解】抛物线的焦点为，准线为，则，所以，故A错误；设，则，所以，则直线的方程为，令，得，即，所以，则，故，故B正确；因为，所以直线的方程为，由，消去整理得，显然，所以直线（）与相切，故C正确；设，，：，由，可得，显然，所以，，所以，，所以，所以当时有最大值，故D错误.故选：BC三、填空题（共15分）12.已知圆，则过原点且与相切的直线方程为______.【答案】或【详解】圆的圆心坐标，半径，当切线的斜率不存在时，，显然到圆心的距离等于半径，故而是圆的一条切线；当切线的斜率存在时，设斜率为，，由圆心到切线的距离等于半径得，解得，所以直线方程为.故答案为：或.13.网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷､商品种类齐全､性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据（其中“”表示2015年，“”表示2016年，且x为整数，依次类推；y表示人数）：12345（万人）2050100150180根据表中的数据，可以求出，若预测该公司的网购人数能超过300万人，则的最小值为__________.【答案】8详解】由题设，，所以，即，则，令，可得，又x为整数，所以的最小值为8.故答案为：814.一个箱子里有4个相同的球，分别以标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数，则数学期望_______________．【答案】【详解】由题意得：，总的选取可能数为，当时，三次抽取同一球，选择球的编号有4种方式，故，当时，恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次），选取出现两次的球有4种方式，选取出现一次的球有3种方式，其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种，故，当时，三种不同球被取出，由排列数可知事件的可能情况有种，故，所以，故答案为：.四、解答题（共80分）15.已知等差数列的前项的和为.（1）求的通项公式;（2）求数列的前项和.并证明.【答案】（1）.（2），证明见解析.【小问1详解】设的公差为d，由题意得：，解得，所以.【小问2详解】令，由（1）有：，所以，，，，.16.在三棱台中，为中点，，，.（1）求证：平面；（2）若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【小问1详解】在三棱台中，为中点，则，又，，，四边形为平行四边形，，又，，，，，，平面，平面.【小问2详解】，，，又，，平面，平面，连接，，，为中点，；以为正交基底，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，设，则，，，，设平面的一个法向量为，则，令，解得：，，；又平面的一个法向量，，解得：，即，平面，平面平面，平面，.17.设数列满足（1）证明：为等差数列并求；（2）设，求．（3）求【答案】（1）证明见解析（2）（3）【小问1详解】由题意证明如下，，在数列中，，，所以，即，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.【小问2详解】由题意及（1）得，，在数列中，首项为3，公差为1，所以，即，在中，，所以，所以，当且时，两式相减得，所以；当时，；当时，；综上，；【小问3详解】当时，.18.已知函数（）图象在点处的切线与直线垂直．（1）求实数a的值；（2）若存在，使得恒成立，求实数k的最大值．【答案】（1）1（2）-1【小问1详解】∵，∴，∵切线与直线垂直，∴切线的斜率为3，∴，即，故.【小问2详解】由（1）知，，，令，，则，，由对恒成立，故在上单调递增，又∵，而，∴存，使，∵在上单调递增，∴当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；∴在处取得最小值，∵恒成立，所以；由得，，所以，∴，又，∴，∵，∴k的最大值为．19.在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．（1）求E的方程；（2）已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，，且，求证：直线BD经过定点．【答案】（1）（2）证明见解析【小问1详解】设圆心，半径为，因为圆心为C