湖南省永州玉潭高级中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题(含解析)

2025年下期永州玉潭高级中学高三开学考试数学选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x∈N|-x2+x+2≥0},则满足A∪B=A的集合B的个数为()A.4B.8C.16D.322,设θ是第一象限角,则“θ−π12<πA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．5弧度的角的终边所在的象限为（）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．log5(log3(log2x))＝0，则x−A．36 B．C．24 D．5,在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为()A.12 B.3C.33 D.6,已知数列{an}和数列{bn}的通项公式分别为an=3n+1和bn=5n+1，若它们的公共项从小到大依次排列构成新数列{cn}，则满足不等式cn≤2024的最大的整数n等于()A.134 B.135 C.136 D.1377,已知a=ln1.01，b=1.0130e，c=A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.c<a<b8．已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（）A. B. C. D.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知集合M=2,4，集合M⊆N1,2,3,4,5，则集合NA．2,4 B．2,3,4C．1,2,3,4 D．1,2,3,4,510,为了得到函数y=2cos2x的图象，只要把函数y=2sin2xA.向左平移π3B.向右平移π3C.向左平移2π3D.向右平移2π311,已知正数x,y,z满足5x=9y=15z,则()Axz+2yz-2xy=0B.5x<9y<15zC.xy<2z2D.9x+2y<16z填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．不等式6−x−13.已知函数的一条对称轴为，当时，的最小值为，则的最大值为__________.14.已知为拋物线的焦点，过点的直线与拋物线交于不同的两点，，拋物线在点处的切线分别为和，若和交于点，则的最小值为__________.四，解答题：本题共5个小题，共77分。15,如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝π2，∠ACD＝π3，AD＝3，S为△ABC的面积，且2S＝－(1)求角B；(2)若cosD＝12，求四边形ABCD16．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60°，AB＝BC＝2，AC＝AB1＝2.(1)证明：平面ACB1⊥平面BB1C1C；(2)求二面角A-A1C1-B1的余弦值．17,已知M，N分别为椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，F为其右焦点，|FM(1)求椭圆E的标准方程；(2)若过F的直线l与椭圆E交于A，B两点，且l与以MN为直径的圆交于C，D两点，证明：12AB18,某中学进行90周年校庆知识竞赛，参赛的同学需要从10道题中随机地抽取4道来回答，竞赛规则规定：每题回答正确得10分，回答不正确得－10分．(1)已知甲同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响，记甲的总得分为X，求X的期望和方差；(2)已知乙同学能正确回答10道题中的6道，记乙的总得分为Y，求Y的分布列．19,已知函数f(x)＝x－(a＋1)lnx－ax(a∈R)，g(x)＝12x2＋ex－xe(1)当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值；(2)当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f(x1)＜g(x2)恒成立，求a的取值范围．答案一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x∈N|-x2+x+2≥0},则满足A∪B=A的集合B的个数为()A.4B.8C.16D.32答案B2,设θ是第一象限角,则“θ−π12<πA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A3．5弧度的角的终边所在的象限为（）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因为3π故选：D．4．log5(log3(log2x))＝0，则x−A．36 B．C．24 D．【答案】C【解析】∵log5(log3(log2x))＝0，∴log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，∴x＝23＝8，∴x故选：C.5,在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为()A.12 B.3C.33 D.答案C解析连接DE，因为点F，G分别为棱CD，AC的中点，所以FG∥AD，所以∠EAD(或其补角)为异面直线AE，FG所成的角，设正四面体的棱长为a，则AE=DE=32a，AD=a由余弦定理得cos∠EAD=AE2+A所以异面直线AE，FG所成角的余弦值为336,已知数列{an}和数列{bn}的通项公式分别为an=3n+1和bn=5n+1，若它们的公共项从小到大依次排列构成新数列{cn}，则满足不等式cn≤2024的最大的整数n等于()A.134 B.135 C.136 D.137答案A解析依题意，令ak=bm，k，m∈N*，则3k+1=5m+1，即有m=35k，显然k是5令k=5n，n∈N*，因此cn=a5n=15n+1，由15n+1≤2024，解得n≤1341315所以最大的整数n=134.7,已知a=ln1.01，b=1.0130e，c=A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.c<a<b答案D解析由x−1x≤lnx≤xln1.01>1.01−11.01=1101=∴a>c，ln1.01<1.01-1=0.01=1又b=1.0130e>1.0130×3=1.0190>∴b>a，故b>a>c.8．已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，当时，函数在上单调递减，且，，当时，当时，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，且，可得的大致图象如下所示：令，则化为，当时无解，则无解；当时，解得，由图可知有两解，即有两解；当时有一解且，又有一个解，即有一解；当时有两个解，即、，又有一个解，有两个解，所以共有三个解；当时有三个解，即，，，无解，有三个解，有两个解，所以共有五个解；当时有两个解，即，，有三个解，有两个解，所以共有五个解；综上可得的取值范围是.故选：C二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知集合M=2,4，集合M⊆N1,2,3,4,5，则集合NA．2,4 B．2,3,4C．1,2,3,4 D．1,2,3,4,5【答案】ABC【解析】因为集合M=2,4对于A：N=2,4满足M⊆N1,2,3,4,5对于B：N=2,3,4满足M⊆N1,2,3,4,5对于C：N=1,2,3,4满足M⊆N1,2,3,4,5对于D：N=1,2,3,4,5不是1,2,3,4,5故选：ABC.10,为了得到函数y=2cos2x的图象，只要把函数y=2sin2xA.向左平移π3B.向右平移π3C.向左平移2π3D.向右平移2π3答案AD解析把函数y=2sin2x−π可得函数y=2sin2x+2π3−π6=2sin2把函数y=2sin2x−π可得函数y=2sin2x−2π3−π6把函数y=2sin2x−π可得函数y=2sin2x+4π3−π6把函数y=2sin2x−π可得函数y=2sin2x−4π3−π6=2sin2x11,已知正数x,y,z满足5x=9y=15z,则()A.xz+2yz-2xy=0B.5x<9y<15zC.xy<2z2D.9x+2y<16z答案AB填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．不等式6−x−【答案】−∞【解析】根据题意，由6−x−x2≤0，得x+因此不等式6−x−x2故答案为：−∞,13.已知函数的一条对称轴为，当时，的最小值为，则的最大值为__________.【答案】【解析】因为函数的一条对称轴为，所以，得到，又，所以，所以，又当时，的最小值为，令，则，由的图象与性质知，，得到，故答案为：.14.已知为拋物线的焦点，过点的直线与拋物线交于不同的两点，，拋物线在点处的切线分别为和，若和交于点，则的最小值为__________.【答案】10【解析】的焦点为，设直线方程为，.联立直线与抛物线方程有，则.又求导可得，故直线方程为.又，故，同理.联立可得，解得，代入可得，代入韦达定理可得，故.故，当且仅当，即时取等号.故答案为：10四，解答题：本题共5个小题，共77分。15,如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝π2，∠ACD＝π3，AD＝3，S为△ABC的面积，且2S＝－(1)求角B；(2)若cosD＝12，求四边形ABCD[解](1)由2S＝－3BA在△ABC中，得2×12AB×BCsinB＝－3AB×BCcosB即sinB＝－3cosB，可得tanB＝－3，因为B∈(0，π)，所以B＝2π(2)因为cosD＝12，D∈(0，π)，所以D＝π所以△ACD为等边三角形，AC＝3，∠CAD＝π3所以∠BAC＝π6，∠ACB＝π由正弦定理知ACsinB＝AB＝AC·sin∠ACBsinB故四边形ABCD的周长为2＋23.16．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60°，AB＝BC＝2，AC＝AB1＝2.(1)证明：平面ACB1⊥平面BB1C1C；(2)求二面角A-A1C1-B1的余弦值．[解](1)证明：连接BC1，与B1C交于点D，则D为BC1，B1C的中点，连接AD，因为AC＝AB1，所以AD⊥B1C，因为侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60°，AB＝BC＝2，AC＝AB1＝2，所以BD＝3，AD＝1，所以AB2＝BD2＋AD2，即AD⊥BD，因为B1C∩BD＝D，B1C，BD⊂平面BB1C1C，所以AD⊥平面BB1C1C，因为AD⊂平面ACB1，所以平面ACB1⊥平面BB1C1C.(2)取A1C1的中点E，连接AC1，AE，B1E，由(1)知，AD⊥BD，又BD＝DC1，所以AC1＝AB＝2，又AA1＝CC1＝2，所以AE⊥A1C1，同理得B1E⊥A1C1，所以∠AEB1为二面角A-A1C1-B1的平面角，在△AEB1中，AE＝AA12−AB1E＝A1B12−A1E2＝所以cos∠AEB1＝AE2+B1所以二面角A-A1C1-B1的余弦值为5717,已知M，N分别为椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，F为其右焦点，|FM(1)求椭圆E的标准方程；(2)若过F的直线l与椭圆E交于A，B两点，且l与以MN为直径的圆交于C，D两点，证明：12AB[解](1)由|FM|＝3|FN|，可得a＋c＝3(a－c)，解得a＝2c，又因为a2＝b2＋c2，所以b＝3c.因为点P1，32在椭圆E上，所解得a＝2，b＝3，c＝1，所以椭圆E的标准方程为x24(2)证明：①当l与x轴重合时，|AB|＝|CD|＝4，所以12AB+②当l不与x轴重合时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋1，由x24+y23=1，x=my+1，消去则y1＋y2＝−6m3m2+4，y1y故|AB|＝1+＝1+＝12×m2圆心O到直线l的距离为1m则CD24＝4－所以12AB+CD24即12AB18,某中学进行90周年校庆知识竞赛，参赛的同学需要从10道题中随机地抽取4道来回答，竞赛规则规定：每题回答正确得10分，回答不正确得－10分．(1)已知甲同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响，记甲的总得分为X，求X的期望和方差；(2)已知乙同学能正确回答10道题中的6道，记乙的总得分为Y，求Y的分布列．[解](1)设甲答对题目的数目为ξ，则ξ～B(4，0.8)，所以X＝10ξ－10(4－ξ)＝20ξ－40，所以E(X)＝20E(ξ)－40＝20×4×0.8－40＝24；D(X)＝400D(ξ)＝400×4×0.8×0.2＝256.(2)设乙答对题目的数目为η，则η服从参数为N＝10，M＝6，n＝4的超几何分布，且Y＝10η－10(4－η)＝20η－40，所以P(Y＝－40)＝P(η＝0)＝C44CP(Y＝－20)＝P(η＝1)＝C43CP(Y＝0)＝P(η＝2)＝C42CP(Y＝20)＝P(η＝3)＝C41CP(Y＝40)＝P(η＝4)＝C40C所以Y的分布列为Y－40－2002040P1438119,已知函数f(x)＝x－(a＋1)lnx－ax(a∈R)，g(x)＝12x2＋ex－xe(1