线性代数-课件 2-2.1 矩阵的概念

1、矩阵引例2、矩阵的定义3、矩阵相等4、特殊的矩阵教学要求：(1)理解矩阵的概念.(2)了解零矩阵、方阵、单位矩阵、对角矩阵、数量矩阵等矩阵是线性代数的一个最基本概念，也是数学中一个最基本的工具。矩阵理论在二十世纪得到了飞速发展，成为在物理学、生物学、地理学、经济学、数据科学等中有大量应用的数学分支。

本章介绍矩阵的概念，矩阵的基本运算，逆矩阵的概念，矩阵的分块与矩阵的初等变换，最后介绍矩阵的秩等内容。1、矩阵引例的解，由克拉姆法则知，该方程组的解取决于系数aij(i,j=1,2,...,n),常数项bi(i=1,2,...,n).【例2.1】考察n个未知量与n个线性方程的方程组这就是矩阵那么，对线性方程组的研究可转化为对这张表(矩阵)的研究.将线性方程组的系数aij与常数bi按原位置排成数表：与数表（矩阵）例如：线性方程组对应。【例2.2】某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接

A与B，等等.从i市到j市有1条单向航线；从i市到j市没有单向航线城市间的航班示意图四城市间的航班图情况可用表格来表示:发站到站其中表示有航班.为了便于计算,把表中的

改成1,空白地方填上0,就得到一个数表:这个数表反映了四城市间交通联接情况.定义2.1

由m×n个数aij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)排成m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n

矩阵，记作A。这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij

称为矩阵A的(i,j)元,以数aij为(i,j)元的矩阵A可记作(aij)或(aij)m×n

。用粗体大写字母A,B,C,…

等表示矩阵.2、矩阵定义说明:（1）

矩阵与行列式比较：从形式上看矩阵与行列式很相似，但它们有本质上的区别。①行列式是一个算式，其结果是数；而矩阵是数表，仅此而已。②行列式的行数与列数必须相等，而矩阵的行数与列数可以相等，也可以不相等。行列式矩阵

(2)实矩阵：元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩称为复矩阵。本课程中除特别说明外，都指实矩阵。(3)零矩阵：元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O.注意:不同型的零矩阵是不同的！(4)行矩阵：若矩阵A=(aij)m×n的行数m=1,即

称为行矩阵，又称行向量。若矩阵A=(aij)m×n的列数n=1,即称为列矩阵，又称列向量。有时,行矩阵的元与元之间用逗号隔开，也简记作(5)方阵：行数与列数相同，且都等于n的矩阵称为n阶矩阵

或n阶方阵。n阶矩阵也记作An.A2为2阶方阵；B3为3阶方阵

.当矩阵An=(aij)n阶数n=1时,一阶方阵A1=(a11)是一个数a11,因此,今后一阶方阵和一个数等同看待,即一阶矩阵可省略圆括号，记为(a11)=a11.(6)对角矩阵：

n阶方阵从左上角到右下角的直线叫做主对角线,主对角线不在主对角线上的元素aij(i≠

j)都为0的方阵称为对角矩阵，即形如矩阵为对角矩阵，简记作注：对角矩阵在书写时可省略“0”,用空白替代,且aii简记为ai,即例如，以下列举了2，3，4阶单位矩阵:(7)单位矩阵：主对角线上元素全为1的对角矩阵叫做单位矩阵，n阶单位矩阵记为In或En,简记作I或E.2阶单位矩阵3阶单位矩阵4阶单位矩阵(8)数量矩阵:主对角线上的元素都等于数“a”的对角矩阵称为a的数量矩阵,数a的n阶数量矩阵记为aEn或aIn,即例如，数“5”的3阶数量矩阵为5E3,即显然,当a=1时，数“1”的数量矩阵就是单位矩阵.即1En=En。两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们为同型矩阵。如果A=(aij)与B=(bij)是同型矩阵，并且它们的对应元相等，即那么就称矩阵A与矩阵B相等。记作A=B.3、矩阵相等例如：

设解:已知A=B,求x,y,z.因为A=B,所以两矩阵对应元相等，故【例2.1】设矩阵A=(aij)3

4,其中【解】依题意，矩阵A的行数为3，列数为4，故行标i可取1，2，3，列标j可取1，2，3，4，所以A的第一行元素分别为类似可求出A的第二、三、四行的元素，故得试写出矩阵A。A=其中aij为工厂向第

i(i=1,2,3)店发送第j(j=1,2,3,4)种产品的数量。这四种产品的单价及单件重量也可构成矩阵：【例2.3

】某公司向3个商店发送4种产品的数量可列成矩阵这四种产品的单价及单件重量也可构成矩阵：其中bi1为第i种产品的单价，bi2为第i种产品的单件重量(i=1,2,3,4)。注：注意到矩阵B的第一列数值与第二列的数值量纲不同！可见量纲不同的数值也可以构成矩阵。

定义2.2

设n个变量x1,x2,…,xn与m个变量y1,y2,…,ym之间的关系式称为变量x1,x2,…,xn到变量y1,y2,…,ym的线性变换,其中aij(i=1,2,...,n;j=1,2,...,m)为常数,称为变换系数。矩阵A=(aij)m×n称为线性变换矩阵。4、线性变换矩阵的变换矩阵线性变换给定了线性变换，它的系数所构成的矩阵也就确定。反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的变换矩阵，则线性变换也就确定。在这个意义上说，线性变换和变换矩阵之间存在着一一对应关系。则变换矩阵为例如，给定线性变换，反之给定线性变换矩阵则对应的线性变换为:1.写出下列矩阵（1）设矩阵A=(aij)4×5,其中ai