线性代数-课件 2-2.7 矩阵分块

教学内容：1、矩阵的分块2、分块矩阵的运算3、准对角矩阵4、分块矩阵的应用教学要求：理解矩阵分块的概念.掌握矩阵分块的运算。对于行数和列数较高的矩阵A，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.1、矩阵的分块即例如从分块的含义上讲，一个矩阵可任意分块，但在实际问题中往往要根据实际的需要进行分块，且大致体现如下的基本目的：①分块应便于理论研究；②分块应反映矩阵的某些特点；③分块应使得下文介绍的分块矩阵间的和、差、积等运算有意义。2、分块矩阵的运算(1)设矩阵A与B是同型矩阵，采用相同的分块方法，得分块矩阵：那么，分块矩阵A与B的和定义为：分块矩阵的和就是它们对应的子块求和！！（2）数乘：设分块矩阵矩阵A的数乘为数乘分块矩阵就是用该数乘分块矩阵的每个子块和！！c是常数，数c与分块（3）分块矩阵乘法：设分块矩阵A=(Aik)s×t与B=(Bkj)t×r,定义注：分块矩阵相乘，需满足分块矩阵行乘列规则，同时子块间相乘，也要满足行乘列规则！！其中Ai1,Ai2,…,Ait

(i=1,2,…,s)的列数分别等于B1j,B2j,…,Btj

(j=1,2,…,r)的行数，乘积矩阵的子块Cij

满足（4）分块矩阵转置设注：分块矩阵的转置即本身和子块一起转置,可简记为“自转+公转”

设A为n阶方阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，即其中Ai(i=1,2,…,s)是ki(k1+k2+…+ks=n)(i=1,2,…,s)

阶方阵,则称A为准对角矩阵.

3、准对角矩阵准对角矩阵的和、数乘、乘积、转置等仍是准对角矩阵.即设其中A1,A2,…,As,B1,B2,…,Bs为子块。那么①和运算：②数乘：③乘积：c为常数。④转置：⑤方幂：，k为正整数。⑥逆矩阵：若A1,A2,…,As可逆,则则|A|=|A1|

|A2|…|

As|.⑦行列式：若则|A|=|A1|

|A2|例如：A=其中等等！(1)矩阵按行（列）分块则矩阵A按行分块为4、分块矩阵的应用设矩阵A=(aij)

m×n，它有m行，第i行记作对矩阵的两种分块法应予特别重视，这就是按行分块和按列分块。(i=1,2,...,m

),即矩阵A=(aij)

m×n，它有n列，第j列记作αj

(j=1,2,...,n

),即则矩阵A按列分块为

①乘积矩阵的分块表示：设矩阵A=(aij)

m×s，B=(bij)

s×n，将A按行分块，将B按列分块，那么A与B的乘积可表示成那么A与B的乘积可表示成

②提取矩阵的列：设矩阵A=(aij)

m×n，E为n阶单位矩阵，将A按列分块为(α1,α2,…,αi,…,αn)，将E按列分块为(ε1,ε2,…,εi,…,εn)，那么A=(α1,α2,…,αi,…,αn)，

AE=

A(ε1,ε2,…,εi,…,εn)=(Aε1,Aε2,…,Aεi,…,Aεn)，因为A=AE，所以(α1,α2,…,αi,…,αn)=(Aε1,Aε2,…,Aεi,…,Aεn)，这样，αi=Aεi，这等价于用A右乘εi得到A的第i列(i=1,2,...,n

).设线性方程组(2)线性方程的向量表示.利用矩阵的乘法，方程组的矩阵表示可记作如果把系数矩阵A按列分成(α1,α2,…,αn)，则Ax=b表示成这称为线性方程组的向量表示。即得例如，线性方程组线性方程组的矩阵表示线性方程组的向量表示即3.设其中A,B分别为m阶,n阶对称阵,C为m×n矩阵,1.利用分块矩阵求2.设m

n矩阵A=(aij)按列分块为A=(

1,

2,...,

n),计算ATA与AAT。

计算PTDP