（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步题型讲与练专题3.4 双曲线的标准方程和性质【九大题型】（原卷版）

专题3.4双曲线的标准方程和性质【九大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1曲线方程与双曲线】 1【题型2利用双曲线的定义解题】 3【题型3双曲线的标准方程的求解】 5【题型4求双曲线的轨迹方程】 7【题型5利用双曲线的几何性质求标准方程】 10【题型6双曲线的渐近线方程】 12【题型7求双曲线的离心率的值或取值范围】 14【题型8双曲线中的最值问题】 16【题型9双曲线的实际应用问题】 18【知识点1双曲线的标准方程】1．双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：双曲线在坐标系中的位置标准方程焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系【题型1曲线方程与双曲线】【例1】当ab<0时，方程ax2−ay2=b所表示的曲线是（

）A．焦点在x轴的椭圆 B．焦点在x轴的双曲线C．焦点在y轴的椭圆 D．焦点在y轴的双曲线【变式1-1】“mn<0”是“mx2+nA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-2】已知曲线C的方程为x2m+A．曲线C可以表示圆B．曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆C．曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆D．曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线【变式1-3】已知x21−k−(1)方程表示双曲线；(2)表示焦点在x轴上的双曲线；(3)表示焦点在y轴上的双曲线．【题型2利用双曲线的定义解题】【例2】双曲线C:x225−y239=1上的点A．22 B．2 C．2或22 D．24【变式2-1】双曲线C：x2a2−y212=1的左右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为3x+y=0A．7 B．9 C．1或9 D．3或7【变式2-2】已知双曲线C:x2−y2m2=1(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2且与CA．6 B．8 C．10 D．12【变式2-3】设F1，F2是双曲线x24−y212=1的两个焦点，PA．24 B．152 C．125 D．30【题型3双曲线的标准方程的求解】【例3】设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6，双曲线的方程为（

）A．x29−C．x2100−【变式3-1】与椭圆C:y216+xA．x2−yC．y22−【变式3-2】已知双曲线的上、下焦点分别为F10,5，F20,−5，P是双曲线上一点且满足A．x216−y29=1 B．【变式3-3】已知F1,F2是双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，点P在A．x212−C．x23−【题型4求双曲线的轨迹方程】【例4】已知y轴上两点F10,−5，F2A．x29−C．x29+【变式4-1】已知平面内两定点F1−3,0，F23,0，下列条件中满足动点A．PF1−C．PF1−【变式4-2】动圆M与圆C1：x+52+y2=25和圆C2A．x24−C．x29−【变式4-3】已知定点F1(−2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点，点F1关于点N的对称点为A．x2+y23=1 B．x【知识点2双曲线的简单几何性质】1．双曲线的简单几何性质双曲线的一些几何性质：图形标准方程范围x≥a或x≤-a,y∈Ry≥a或y≤-a,x∈R对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)半轴长实半轴长为a,虚半轴长为b离心率渐近线方程2．双曲线的离心率(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.

(2)双曲线离心率的范围：e>1.

(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.

(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.3．双曲线中的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【题型5利用双曲线的几何性质求标准方程】【例5】若双曲线C：x2a2−y2b2=1A．x22−y28=1 B．【变式5-1】已知双曲线C经过点4,2，且与双曲线x22−y2A．x28−y24=1 B．【变式5-2】一双曲线的虚轴长为4，离心率与椭圆y24+A．3x216C．3y24【变式5-3】已知双曲线Γ:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为62，以坐标原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，A．x29−C．x227−【题型6双曲线的渐近线方程】【例6】已知双曲线x2a2−yA．y=±3x C．y=±23x【变式6-1】已知双曲线x2−my2=1m>0的左、右焦点分别为A．y=±22x B．y=±33x【变式6-2】已知点P为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一条渐近线l作垂线，垂足为AA．−3 B．−22 C．−5 【变式6-3】已知双曲线C : x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为FA．y=±2x B．y=±C．y=±2x 【题型7求双曲线的离心率的值或取值范围】【例7】已知双曲线C:3mx2−my2=3的一个焦点坐标为A．32 B．233 【变式7-1】已知双曲线C:x2a2−y2A．2 B．2 C．3 D．5【变式7-2】已知F为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C的右支交于AA．1,3 B．3,+∞ C．1,2 D．【变式7-3】双曲线x2a2−y2b2=1（a>2，b>0）的焦距为2cc>0，已知点Aa,0，B0,b，点2,0到直线AB的距离为A．22,2 B．52,5【题型8双曲线中的最值问题】【例8】已知双曲线C:x24−y24=1的左焦点为F，点P是双曲线C右支上的一点，点A．5 B．5+22 C．7 【变式8-1】若点P在曲线C1:x216−y29=1上，点Q在曲线A．9 B．10 C．11 D．12【变式8-2】已知双曲线C:y24−x22=1的焦点分别是F1A．PF1⋅PFC．PF1⋅PF2的最小值为【变式8-3】已知F1,F2分别为双曲线x29−y2A．19 B．23 C．25 D．85【题型9双曲线的实际应用问题】【例9】如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线y216−x2m=1的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为4A．4米 B．82−4米 C．26−4米【变式9-1】某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（

）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)A．西偏北45°方向，距离3403m B．东偏南45°方向，距离3403mC．西偏北45°方向，距离1703m D．东偏南45°方向，距离1703m【变式9-2】双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为x2a2−y2b2=1，F1,F2分别为其左、右焦点，若从右焦点FA．2+1 B．2+3 C．5+22【变式9-