（高考数学）2025年河北省张家口市（三模）试题【附答案】

/2025年河北省张家口市高考数学三模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，，则A．，1， B．，1，2， C． D．2．已知复数，则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．某同学记录了自己升入高三以来8次的数学考试成绩，分别为125，117，129，132，115，119，126，130，则该同学这8次的数学考试成绩的第40百分位数为A．119 B．122 C．125 D．1324．在△中，，，则A．2 B． C． D．5．若的展开式中的系数为240，则A．4 B．5 C．6 D．86．已知直线为圆在处的切线，若直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为A． B． C． D．7．已知，则A． B． C． D．8．已知函数，，且，都有，则实数的取值范围是A． B．， C．， D．，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知，，且，若，，则A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的取值范围为，（多选）10．（6分）在三棱锥中，，，△为等边三角形，侧面底面，为棱的中点，，，三棱锥的体积为，则A．若，则 B．若，则三棱锥的外接球的表面积为 C．若平面，则四棱锥的体积为 D．若，与平面所成角相等，则（多选）11．（6分）已知函数，，则A．当时，函数有三个零点 B．当时，， C．若，则 D．若函数在处取得极值，且，使，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知曲线在处的切线与轴垂直，则实数的值为．13．已知等比数列的前项和为，若，，则．14．已知为抛物线的焦点，过上一点作的准线的垂线，垂足为，若，则．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下：类别科室志愿者医生护士科室23科室33（1）求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率；（2）设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望．16．已知双曲线的一条渐近线方程为，为的右焦点．（1）求双曲线的标准方程；（2）若倾斜角为的直线经过与的右支交于不同的两点，，△的面积为为坐标原点），，求的值．17．在△中，内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若△的外接圆面积为，且，，求的长．18．如图，在正三棱柱中，，，且，满足，，过，，三点的平面与棱交于点，若．（1）求的值；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求平面与平面夹角的正切值．19．已知函数，．（1）求证：．（2）若（2），，（a）为的最大值，求（a）的极小值；设，，求证：．

2025年河北省张家口市高考数学三模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案ADCCCADB二．多选题（共3小题）题号91011答案BCDACAC一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，，则A．，1， B．，1，2， C． D．解：由题可得：，0，1，2，，，所以，1，．故选：．2．已知复数，则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：．3．某同学记录了自己升入高三以来8次的数学考试成绩，分别为125，117，129，132，115，119，126，130，则该同学这8次的数学考试成绩的第40百分位数为A．119 B．122 C．125 D．132解：8次的数学考试成绩，分别为125，117，129，132，115，119，126，130，将数据从小到大排序：115，117，119，125，126，129，130，132，，所以第40百分位数为第四个数，即125．故选：．4．在△中，，，则A．2 B． C． D．解：因为在△中，，，所以．故选：．5．若的展开式中的系数为240，则A．4 B．5 C．6 D．8解：的展开式中的系数为，对于，时，，不满足方程；对于，时，，不满足方程；对于，时，，满足方程；对于，时，，不满足方程．故选：．6．已知直线为圆在处的切线，若直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为A． B． C． D．解：直线为圆在处的切线，设切线斜率为，由圆的性质可知：，解得：，可得切线方程：，直线经过椭圆的两个顶点，由可得：，令，可得，由题意可知：，，．故选：．7．已知，则A． B． C． D．解：由题意，所以．故选：．8．已知函数，，且，都有，则实数的取值范围是A． B．， C．， D．，解：，，且，都有，即，记，则由单调性的定义知，函数在上单调递增，则需满足：在，上单调递增①，在上单调递增②，且（1）③，对于①，要使在，上单调递增，则在，上恒成立，即在，上恒成立，因为，所以，解得；对于②，因为在上单调递增，所以在上单调递增时，；对于③，，所以；综上，可得，即的取值范围是，．故选：．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知，，且，若，，则A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的取值范围为，解：．因为，，，则，故错误；．由题意可知，，，则，当时等号成立，则的最小值为，故正确；．，当，即时等号成立，故正确；，当，，在区间，上单调递增，当时取得最大值5，且时，，所以的取值范围为，，故正确．故选：．（多选）10．（6分）在三棱锥中，，，△为等边三角形，侧面底面，为棱的中点，，，三棱锥的体积为，则A．若，则 B．若，则三棱锥的外接球的表面积为 C．若平面，则四棱锥的体积为 D．若，与平面所成角相等，则解：设，由可得，取的中点，连接，由△为等边三角形可得，又侧面底面，侧面底面，面，所以由面面垂直的性质定理可得面，由，所以三棱锥体积．对于，若，即，即，故正确；对于，若，由可得，则，设三棱锥外接球的球心为，半径为，，则，解得，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为，故错误；对于，若平面，平面平面，平面，所以，又为棱的中点，所以为的中点，则，由三角形相似可得，且到平面的距离不变，所以，所以四棱锥的体积为，故正确；对于，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设，由题意得为与平面所成的角，且，，所以，由，，可得，所以，平面的法向量为，因为，与平面所成角相等，可得，，，，，所以，，化简可得，解得无解，故错误．故选：．（多选）11．（6分）已知函数，，则A．当时，函数有三个零点 B．当时，， C．若，则 D．若函数在处取得极值，且，使，则解：对于选项，当时，，，当或时，，函数在和上单调递增，当时，，函数在上单调递减；极大值，极小值，又，，函数在，，各有一个零点，函数有三个零点，故选项正确；对于选项，当时，，，当时，，函数在上单调递减；又，，，故选项错误；对于选项，若，则的图象关于成中心对称，又的定义域为，，即，即，整理可得，故选项正确；对于选项，，，由题有△，即，由，得，令，则，又，，得到，整理得到，又，代入化简得到，又，，，得到，即，即，故选项错误．故选：．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知曲线在处的切线与轴垂直，则实数的值为．解：因为，所以，根据题意可得（1），解得．故答案为：．13．已知等比数列的前项和为，若，，则．解：等比数列的前项和为，若，，由可得，若，则与矛盾，所以，则．故答案为：．14．已知为抛物线的焦点，过上一点作的准线的垂线，垂足为，若，则．解：抛物线的准线为，所以，所以，所以，设准线与纵轴交于点，根据抛物线定义可知，所以，因为，所以，在△中，，所以．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下：类别科室志愿者医生护士科室23科室33（1）求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率；（2）设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望．解：（1）由已知，恰好有2名医生的情况包含这2名医生都来自科室和都来自科室，有种情况，所以所求的概率为；（2）由题意可知，的所有可能取值为0、1、2、3、4，，，，，，所以的分布列为：01234所以．16．已知双曲线的一条渐近线方程为，为的右焦点．（1）求双曲线的标准方程；（2）若倾斜角为的直线经过与的右支交于不同的两点，，△的面积为为坐标原点），，求的值．解：（1）因为双曲线的一条渐近线方程为，右焦点，所以，解得，，则双曲线的标准方程为；（2）因为当时，，不符合题意，所以，设直线的方程为，，，，，联立，消去并整理得，此时，由韦达定理得，，即两边取平方后化简可得，可得，因为直线经过与的右支交于不同的两点，所以，解得，因为，所以，解得，又原点到直线的距离．所以．17．在△中，内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若△的外接圆面积为，且，，求的长．解：（1）因为，整理可得，由正弦定理可知，即，又由余弦定理可得，可得，又，则；（2）由△的外接圆面积为，得外接圆半径为1，由正弦定理可得，可得，因为，，由余弦定理可得，即，化简得，解得（负根舍去），所以，因为，所以，，所以，，，可得．所以的长是．18．如图，在正三棱柱中，，，且，满足，，过，，三点的平面与棱交于点，若．（1）求的值；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求平面与平面夹角的正切值．解：（1）取中点为，连接，，因为△为正三角形，所以，又因为正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，所以平面，以为坐标原点，所在方向为，，轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，由，可得，所以，因为，所以为中点，则，0，，又，设，，，则，即，解得，所以，设，0，，则，因为，，，四点共面，所以存在实数，，使得，即，即，解得，则，所以，即．（2）由（1）可知，，设异面直线与所成角为，则．（3）平面的一个法向量为，设平面的法向量为，因为，则，则，令，则，，所以，设平面与平面的夹角为，则，且，所以．19．已知函数，．（1）求证：．（2）若（2），，（a）为的最大值，求（a）的极小值；设，，求证：．【解答】（1）证明：令，定义域为，则，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，，．（2）解：，定义域为，，，当时，恒成立，单调递增，当时，恒成立，单调递减，故的最大值为，，函数在上单调递增，函数（a）在上单调递增，（1），当时，（a），（a）单调递减，当时，（a），（a）单调递增，故（a）的极小值为．证明：，．证明等价于证明．当时，，假设当时，，则当时，，当，时，，．——————————————————————————————————————————《初、高中数学教研微信系列群》简介：目前有80个教研群（2个管理群、20个高中总群，51个分省群，4个教材主题研讨群、3个初中群），共约20000多优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志初中、高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中数学教学研究展开教研活动的微信群.宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的初、高中数学教研！特别说明：