2025年高考数学真题分类汇编专题08 概率与统计（全国）（原卷版）

2025年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题08概率与统计一、单选题1．（2025·全国二卷·高考真题）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（

）A．8 B．9 C．12 D．182．（2025·上海·高考真题）己知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（

）A． B． C． D．03．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（

）A．若，则B．若，，则C．越接近1，相关性越强D．越接近0，相关性越弱二、填空题4．（2025·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望．5．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为．6．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为．7．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有种．8．（2025·北京·高考真题）已知，则；．9．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望10．（2025·全国一卷·高考真题）一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望.三、解答题11．（2025·全国一卷·高考真题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：超声波检查结果组别正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值；(2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.附，0.0050.0100.0013.8416.63510.82812．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．206.78207.46207.95209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93(1)求这组数据的极差与中位数；(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．13．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望；(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）.14．（2025·全国二卷·高考真题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立，对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率．(1)求（用p表示）．(2)若，求p．(3)证明：对任意正整数m，．一、单选题1．（2025·福建莆田·三模）小明所在的学校每周都要进行数学周测，他将近8周的周测成绩统计如下：112，101，93，99，106，105，114，119，则这组数据的第25百分位数是（

）A．99 B．100 C．101 D．1132．（2025·安徽蚌埠·三模）医疗研究者会创建散点图来显示少女的体重指数（BMI）和身体脂肪百分比之间的相关关系，如图，下列说法正确的是（

）A．BMI越大，脂肪百分比越大B．BMI越大，脂肪百分比越小C．BMI与脂肪百分比正相关D．BMI与脂肪百分比负相关3．（2025·湖南长沙·三模）二项式的展开式中第5项的系数为（

）A．252 B．-252 C．210 D．-2104．（2025·广东深圳·二模）下列各组数据中方差最大的一组是（

）A．6，6，6，6，6 B．5，5，6，7，7 C．4，5，6，7，8 D．4，4，6，8，85．（2025·广东茂名·二模）随机变量，若，则实数的值为（

）A．2 B． C．3 D．46．（2025·天津·二模）某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（

）A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有750人B．直方图中的值为0.020C．估计全校学生成绩的中位数为87D．估计全校学生成绩的样本数据的分位数约为907．（2025·浙江·二模）的展开式中，的系数为（

）A．60 B．120 C．240 D．3608．（2025·湖南·三模）若甲､乙､丙､丁､戊随机站成一排，则甲､乙不相邻的概率为（

）A． B． C． D．9．（2025·北京昌平·二模）若，则（

）．A． B．0 C．1 D．210．（2025·广西河池·二模）一家银行有VIP客户和普通客户，VIP客户占客户总数的，普通客户占客户总数的.已知VIP客户的信用卡欺诈概率为，而普通客户的信用卡欺诈概率为.现在随机抽取一个发生信用卡欺诈的客户，请问这个客户是VIP客户的概率是（

）A． B． C． D．11．（2025·山东·三模）某班成立了A、B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组平均成绩为130分，方差115，B组平均成绩为110分，方差为215，则在这次测试中，全班学生的平均成绩和方差为（

）A．115分，105 B．115分，265C．120分，105 D．120分，26512．（2025·湖南长沙·三模）已知某个群体中对某活动持满意态度的人数比例为，从该群体中随机抽取10人，设这10人中持满意态度的人数为，随机变量，则（）A．1.8 B．3.6 C．4.2 D．4.813．（2025·湖北武汉·三模）现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．14．（2025·安徽蚌埠·三模）空间中三个点、、满足，在空间中任取2个不同的点，使得它们与、、恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法种数为（

）A． B． C． D．15．（2025·广东广州·三模）一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件A：，事件B：，事件C：，则（

）A．A，B互斥 B．C． D．A，B，C两两独立16．（2025·重庆九龙坡·三模）“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成.若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于5700的偶数个数是（

）A．66 B．75 C．78 D．9017．（2025·山东枣庄·二模）子贡曰：“夫子温､良､恭､俭､让以得之”，“温､良､恭､俭､让”指五种品德：温和､善良､恭敬､节俭､谦让.现有分别印有这5个字的卡片（颜色均不同）各2张，同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（

）A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种18．（2025·四川巴中·二模）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左､向右落下的机会均等，且小球需要经过5次碰撞后落入球槽，求小球最终落入从左往右数第5号球槽的概率为（

）A． B． C． D．19．（2025·浙江·三模）若数轴上有一个质点位于处，每次运动它都等可能地向左或向右移动一个单位，已知它在第10次运动后首次到达处，则它在运动过程中没有重返过原点的概率为（

）A． B． C． D．20．（2025·黑龙江大庆·三模）某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（

）A． B． C． D．无法确定与的大小关系21．（2025·浙江嘉兴·三模）甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（

）A． B． C． D．二、多选题22．（2025·重庆·三模）从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数(甲同学)和(乙同学)的概率分布图分别是如图的甲、乙:通过计算则下列说法正确的是（

）A．甲同学的平均成绩高于乙同学B．乙同学击中8环的概率高于甲同学C．甲同学击中10环的概率高于乙同学D．乙同学的射击成绩更稳定23．（2025·广东广州·三模）已知一组样本数据的方差，则（）A．这组样本数据的总和等于100B．这组样本数据的中位数一定为2C．数据，，…，的标准差为3sD．现构造新的样本数据，则该组样本数据的方差大于原样本数据的方差24．（2025·山东·二模）若随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，则（

）A． B．C． D．25．（2025·重庆·三模）若随机变量，且，随机变量，且，则（

）A．B．C．D．26．（2025·湖北武汉·三模）为保护学生视力、促进学生身心健康发展，某中学研究型学习小组从该校学生中按男、女生比例，采用分层随机抽样的方法选取了100名学生（其中男生60人，女生40人），调查他们每日使用手机的时间.若每日使用手机时间超过40分钟，则认为该生手机成瘾.根据统计数据得到如图所示的等高堆积条形图，用样本估计总体，用频率估计概率，下列说法正确的有（

）

A．该校男生和女生人数之比为B．如果从男生和女生各随机选取一名学生，那么男生手机成瘾的概率小于女生手机成瘾的概率C．从该校学生中随机抽取一名学生，则该生手机成瘾的概率为D．从该校学生中抽到一名手机成瘾的学生，则该生是男生的概率为27．（2025·甘肃白银·三模）定义：对一个三位数来说，如果其十位数字比个位数字和百位数字都小，则称它为“三位凹数”，如果其十位数字比个位数字和百位数字都大，则称其为“三位凸数”，现从1至9共9个数中，选取3个不同的数排成三位数，则（

）A．排成的“三位凹数”共有168个B．排成的“三位凸数”和“三位凹数”的可能性相等C．从所有的中随机抽取一个三位数，该三位数是“三位凸数”的概率为D．从所有的中随机抽取两个三位数，至少有一个是“三位凹数”的概率为28．（2025·安徽蚌埠·三模）己知随机变量服从正态分布，设函数，则下列说法正确的是（

）A． B．是偶函数C．的图象关于点中心对称 D．是增函数29．（2025·湖北黄冈·三模）在本场考试中，多选题可能有2个或3个正确的选项.全部选对得6分，若有3个正确的选项则每选对一个得2分；若有2个正确的选项则每选对一个得3分；有选错或未选的得0分.若因完全不会做某道题目而必须随机选择项选项.设该题恰有3个正确选项的概率为，得分设为随机变量，则下列说法正确的是（

）A．若随机选择一项，则为定值B．若，则随机选择两项比选择一项更优C．存在使随机选择三项的得分期望大于随机选择一项的得分期望D．存在使随机选择三项的得分期望大于随机选择两项的得分期望30．（2025·广东·二模）已知离散型随机变量的分布列为.定义随机变量为自然对数的底数，的分布列如下：随机变量的数学期望称为随机变量的生成函数，记为.是函数在处的导数，则（

）A．B．若服从两点分布，，则C．若，则D．若实数为常数，则三、填空题31．（2025·天津·二模）已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的、、.已知三人生产产品的次品率分别为、、，现从这批零件中任取一个零件，则它是次品的概率为.32．（2025·山东德州·三模）已知变量与线性相关，由样本点求得的回归直线方程为，若点在回归直线上，且，则．33．（2025·山东·三模）甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2样，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有种．（用数字作答）34．（2025·湖南岳阳·三模）的展开式中的系数为．35．（2025·江西·二模）甲､乙两名乒乓球选手进行比赛，根据赛前两位选手胜负的统计数据，得在一局比赛中甲获胜的概率是，乙获胜的概率为，且各局比赛之间互不影响，若采用“五局三胜制”，则甲最终获胜的概率为.36．（2025·湖南邵阳·三模）若随机变量，则当取得最大值时，正整数的值是．37．（2025·上海·三模）北斗七星是夜空中的七颗亮星，它们组成的图形象我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一.如图，用点，，，，，，表示某季节的北斗七星，其中，，，看作共线，其他任何三点均不共线.若过这七个点中任意三点作三角形，则所作的不同三角形的个数为.38．（2025·上海黄浦·三模）若随机变量，且，，则的最小值为39．（2025·上海闵行·二模）已知数据的平均数为2，方差为5，则的平均数为．40．（2025·河北保定·三模）甲、乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1，2，3，4，5，6的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于10或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，则甲抽了3张卡片时，游戏恰好结束的概率为.41．（2025·广东广州·三模）某班为了响应“学雷锋”活动，将指定的6名学生随机分配到3个不同的办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，则恰好甲、乙两人（仅有两人）打扫同一个办公室的情况有种（用数字作答）．42．（2025·湖南长沙·三模）设是给定的正整数，现有个外表相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取出后不放回）．则第三次取出白球的概率为．43．（2025·江西·三模）投掷一枚质地均匀的硬币，若出现连续三次正面朝上的情况，则停止投掷，那么投掷总次数的数学期望为44．（2025·河南许昌·三模）某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏．游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个类小正方体，6个面都印着奇数；1个类小正方体，6个面都印着偶数．游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券．最终挑战的环节是进行第三次投掷，第三次投掷不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投郑，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券．则第一次投掷后向上的面为奇数的概率为；在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，他最终获得的礼券金额的数学期望为．四、解答题45．（2025·湖南郴州·三模）某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时.(1)根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？单位：人每周的锻炼时间短跑成绩合计短跑成绩合格短跑成绩不合格每周的锻炼时间超过5小时每周的锻炼时间不超过5小时合计(2)正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率.参考公式与数据：，其中.0.010.0050.0016.6357.87910.82846．（2025·山东烟台·三模）近年来，新能源汽车因其动力充沛、提速快、用车成本低等特点得到民众的追捧．某机构为研究汽油价格x（单位：元/升）与新能源汽车的月销售量y（单位：万辆）之间的关系，收集整理得到如下数据：x66.577.58y1.5234.56.8(1)若用模型模拟x与y之间关系，求出回归方程；(2)根据建立的回归方程，预测当汽油价格上涨至9元/升时，新能源汽车的销量；(3)假设当汽油价格为9元/升时，实际销量超过预测值的概率为0.6．现进行5次独立观测，记这5次观测中销量超过预测值的次数为，求的数学期望．参考数据和公式：．，．令，，，．对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．47．（2025·江苏苏州·三模）现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布，乙生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布．(1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列；(2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大．参考数据：若，则．0.720.260.0248．（2025·湖北武汉·三模）小华、小明、小红三人为某比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某人时，该人可挑战另外两人.经商定，小华首先获得挑战权，他挑战小明、小红的概率均为.若他挑战小明，下一次的挑战权即属于小明，且小明再挑战小华、小红的概率分别为；若他挑战小红，下一次的挑战权即属于小红，且小红再挑战小华、小明的概率分别为.(1)经过3次挑战后，小华已使用的挑战权次数记为，求的分布列及数学期望；(2)若经过次挑战后，挑战权属于小华、小明、小红分别记为事件.（ⅰ）证明：；（ⅱ）求事件发生的概率.49．（2025·重庆·三模）甲、乙两位同学一起玩数轴游戏，规则如下:游戏开始时，两人各自的棋子均在数轴零点处，两人轮流抛一枚骰子(两人都抛完一次骰子，则称这轮结束)，若得到的点数为1或2，则该同学的棋子沿正方向移动两个单位长度;若得到的点数为3或4，棋子就沿正方向移动一个单位长度;若得到的点数为5或6，棋子保持不动.(1)若3轮结束后，求甲同学的棋子恰好落在数字3处的概率；(2)若甲同学的棋子向正方向每次移动一个单位长度得5分，每次移动两个单位长度得10分，不动则不得分，当他完成3轮游戏后，记得分为求的数学期望;(3)经过协商，甲先抛掷骰子，记第轮结束后，甲、乙两人的棋子所在数字分别为和.两人约定:在轮游戏后，对任意的均有则认为甲获胜.已知3轮游戏后，甲同学的棋子恰好落在数字4处，求此时甲获胜的概率.50．（2025·湖南长沙·三模）随着2025年春节档电影《哪吒》与《封神榜》的播出，中学生中掀起了一股对“中国神话故事”的讨论热潮.某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“中国神话故事”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“喜欢中国神话故事”，“学生为女生”，据统计.(1)现采用分层抽样从50名女生样本中选出5人，再从这5人中随机选出3人，设其中喜欢中国神话故事的学生人数为，求的概率分布列和期望;(2)将样本的频率视为概率.（i）求该校任意一名学生喜欢中国神话故事的概率；（ii）现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢中国神话故事的学生人数为，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的人数.51．（2025·上海·三模）某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响．(1)当时，（i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；（ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望；(2)乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值．52．（2025·江西·二模）某公司计划举办周年庆活动，其中设计了“做游戏赢奖金”环节，从所有员工中选取10名业绩突出的员工参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者投掷一枚均匀的骰子，初始分数为0，每次掷得点数为偶数得2分，点数为奇数得1分.连续投掷累计得分达到9分或10分时，游戏结束.(1)设员工在游戏过程中累计得分的概率为.①求；②求证数列为等比数列.(2)得9分的员工，获得二等奖，得10分的员工，获得一等奖，若一等奖的奖金为二等奖的奖金的两倍，且该公司计划作为游戏奖励的预算资金不超过1万元，则一等奖的奖金最多不能超过多少元？（精确到1元）53．（2025·北京海淀·三模）某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．为了调查用户对不同模式的使用频率和使用大模型研究问题的种类，该公司调查了不同用户最近提出的共10000个问题作为样本，得到如下表格．问题类别模式生活类问题学习类问题其他类问题深度思考1100600300联网搜索12001500300兼用150025001000假设每个用户的每个问题的模式选择与问题类别均相互独立，用频率估计概率．(1)在样本中随机抽取一个问题，求该问题的处理模式是“兼用”模式的概率．(2)在使用“联网搜索”模式处理的所有问题中随机选取2个，估计生活类问题个数不超过学习类问题个数的概率．(3)不同模式处理问题的时间可以大致分为三组：，，（单位：秒）．在网络正常的时候，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示．假设小明已经使用该AI大模型的同一种模式解决了两个问题，其中一个问题的处理时间，另一个问题的处理时间．若不考虑其他因素干扰，判断小明在解决这两个问题时最有可能使用的是哪种模式．（结论不要求证明）54．（2025·湖南长沙·三模）《最强大脑》“脑王争霸”是节目中最激烈的高智商对抗环节，通常由往届擂主与多名挑战者进行多轮脑力对决．现有一擂主与三名挑战者甲、乙、丙．(1)擂主与甲、乙、丙各比赛一局，各局比赛结果相互独立．已知该擂主与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为．求该擂主连胜三局的概率．(2)若新赛制让甲和乙进行比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立．（i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值；（ii）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明：．55．（2025·浙江·二模）一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.现随机地将骰子抛掷次，各次抛掷结果相互独立.(1)当时，求向上的点数最大是5的概率；(2)求向上的点数最大是2的概率；(3)记随机变量表示向上的点数最大值，若的数学期望不小于5，求抛掷次数的最小值.56．（2025·浙江·三模）空气中的尘埃，天上的云朵飘忽随机不定、这些动态随机现象的研究有着重要的意义.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，等可能向四个方向移动，即粒子每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处.(1)求粒子在第2秒末移动到点的概率；(2)记第秒末粒子回到原点的概率为.（i）已知求以及；（ii）令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知证明：该粒子是常返的.专题08概率与统计一、单选题1．（2025·全国二卷·高考真题）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（

）A．8 B．9 C．12 D．182．（2025·上海·高考真题）己知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（

）A． B． C． D．03．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（

）A．若，则B．若，，则C．越接近1，相关性越强D．越接近0，相关性越弱二、填空题4．（2025·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望．5．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为．6．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为．7．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有种．8．（2025·北京·高考真题）已知，则；．9．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望10．（2025·全国一卷·高考真题）一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望.三、解答题11．（2025·全国一卷·高考真题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：超声波检查结果组别正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值；(2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.附，0.0050.0100.0013.8416.63510.82812．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．206.78207.46207.95209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93(1)求这组数据的极差与中位数；(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．13．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望；(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）.14．（2025·全国二卷·高考真题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立，对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率．(1)求（用p表示）．(2)若，求p．(3)证明：对任意正整数m，．一、单选题1．（2025·福建莆田·三模）小明所在的学校每周都要进行数学周测，他将近8周的周测成绩统计如下：112，101，93，99，106，105，114，119，则这组数据的第25百分位数是（

）A．99 B．100 C．101 D．1132．（2025·安徽蚌埠·三模）医疗研究者会创建散点图来显示少女的体重指数（BMI）和身体脂肪百分比之间的相关关系，如图，下列说法正确的是（

）A．BMI越大，脂肪百分比越大B．BMI越大，脂肪百分比越小C．BMI与脂肪百分比正相关D．BMI与脂肪百分比负相关3．（2025·湖南长沙·三模）二项式的展开式中第5项的系数为（

）A．252 B．-252 C．210 D．-2104．（2025·广东深圳·二模）下列各组数据中方差最大的一组是（

）A．6，6，6，6，6 B．5，5，6，7，7 C．4，5，6，7，8 D．4，4，6，8，85．（2025·广东茂名·二模）随机变量，若，则实数的值为（

）A．2 B． C．3 D．46．（2025·天津·二模）某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（

）A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有750人B．直方图中的值为0.020C．估计全校学生成绩的中位数为87D．估计全校学生成绩的样本数据的分位数约为907．（2025·浙江·二模）的展开式中，的系数为（

）A．60 B．120 C．240 D．3608．（2025·湖南·三模）若甲､乙､丙､丁､戊随机站成一排，则甲､乙不相邻的概率为（

）A． B． C． D．9．（2025·北京昌平·二模）若，则（

）．A． B．0 C．1 D．210．（2025·广西河池·二模）一家银行有VIP客户和普通客户，VIP客户占客户总数的，普通客户占客户总数的.已知VIP客户的信用卡欺诈概率为，而普通客户的信用卡欺诈概率为.现在随机抽取一个发生信用卡欺诈的客户，请问这个客户是VIP客户的概率是（

）A． B． C． D．11．（2025·山东·三模）某班成立了A、B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组平均成绩为130分，方差115，B组平均成绩为110分，方差为215，则在这次测试中，全班学生的平均成绩和方差为（

）A．115分，105 B．115分，265C．120分，105 D．120分，26512．（2025·湖南长沙·三模）已知某个群体中对某活动持满意态度的人数比例为，从该群体中随机抽取10人，设这10人中持满意态度的人数为，随机变量，则（）A．1.8 B．3.6 C．4.2 D．4.813．（2025·湖北武汉·三模）现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．14．（2025·安徽蚌埠·三模）空间中三个点、、满足，在空间中任取2个不同的点，使得它们与、、恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法种数为（

）A． B． C． D．15．（2025·广东广州·三模）一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件A：，事件B：，事件C：，则（

）A．A，B互斥 B．C． D．A，B，C两两独立16．（2025·重庆九龙坡·三模）“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成.若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于5700的偶数个数是（

）A．66 B．75 C．78 D．9017．（2025·山东枣庄·二模）子贡曰：“夫子温､良､恭､俭､让以得之”，“温､良､恭､俭､让”指五种品德：温和､善良､恭敬､节俭､谦让.现有分别印有这5个字的卡片（颜色均不同）各2张，同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（

）A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种18．（2025·四川巴中·二模）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左､向右落下的机会均等，且小球需要经过5次碰撞后落入球槽，求小球最终落入从左往右数第5号球槽的概率为（

）A． B． C． D．19．（2025·浙江·三模）若数轴上有一个质点位于处，每次运动它都等可能地向左或向右移动一个单位，已知它在第10次运动后首次到达处，则它在运动过程中没有重返过原点的概率为（

）A． B． C． D．20．（2025·黑龙江大庆·三模）某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（

）A． B． C． D．无法确定与的大小关系21．（2025·浙江嘉兴·三模）甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（

）A． B． C． D．二、多选题22．（2025·重庆·三模）从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数(甲同学)和(乙同学)的概率分布图分别是如图的甲、乙:通过计算则下列说法正确的是（

）A．甲同学的平均成绩高于乙同学B．乙同学击中8环的概率高于甲同学C．甲同学击中10环的概率高于乙同学D．乙同学的射击成绩更稳定23．（2025·广东广州·三模）已知一组样本数据的方差，则（）A．这组样本数据的总和等于100B．这组样本数据的中位数一定为2C．数据，，…，的标准差为3sD．现构造新的样本数据，则该组样本数据的方差大于原样本数据的方差24．（2025·山东·二模）若随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，则（

）A． B．C． D．25．（2025·重庆·三模）若随机变量，且，随机变量，且，则（

）A．B．C．D．26．（2025·湖北武汉·三模）为保护学生视力、促进学生身心健康发展，某中学研究型学习小组从该校学生中按男、女生比例，采用分层随机抽样的方法选取了100名学生（其中男生60人，女生40人），调查他们每日使用手机的时间.若每日使用手机时间超过40分钟，则认为该生手机成瘾.根据统计数据得到如图所示的等高堆积条形图，用样本估计总体，用频率估计概率，下列说法正确的有（

）

A．该校男生和女生人数之比为B．如果从男生和女生各随机选取一名学生，那么男生手机成瘾的概率小于女生手机成瘾的概率C．从该校学生中随机抽取一名学生，则该生手机成瘾的概率为D．从该校学生中抽到一名手机成瘾的学生，则该生是男生的概率为27．（2025·甘肃白银·三模）定义：对一个三位数来说，如果其十位数字比个位数字和百位数字都小，则称它为“三位凹数”，如果其十位数字比个位数字和百位数字都大，则称其为“三位凸数”，现从1至9共9个数中，选取3个不同的数排成三位数，则（

）A．排成的“三位凹数”共有168个B．排成的“三位凸数”和“三位凹数”的可能性相等C．从所有的中随机抽取一个三位数，该三位数是“三位凸数”的概率为D．从所有的中随机抽取两个三位数，至少有一个是“三位凹数”的概率为28．（2025·安徽蚌埠·三模）己知随机变量服从正态分布，设函数，则下列说法正确的是（

）A． B．是偶函数C．的图象关于点中心对称 D．是增函数29．（2025·湖北黄冈·三模）在本场考试中，多选题可能有2个或3个正确的选项.全部选对得6分，若有3个正确的选项则每选对一个得2分；若有2个正确的选项则每选对一个得3分；有选错或未选的得0分.若因完全不会做某道题目而必须随机选择项选项.设该题恰有3个正确选项的概率为，得分设为随机变量，则下列说法正确的是（

）A．若随机选择一项，则为定值B．若，则随机选择两项比选择一项更优C．存在使随机选择三项的得分期望大于随机选择一项的得分期望D．存在使随机选择三项的得分期望大于随机选择两项的得分期望30．（2025·广东·二模）已知离散型随机变量的分布列为.定义随机变量为自然对数的底数，的分布列如下：随机变量的数学期望称为随机变量的生成函数，记为.是函数在处的导数，则（

）A．B．若服从两点分布，，则C．若，则D．若实数为常数，则三、填空题31．（2025·天津·二模）已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的、、.已知三人生产产品的次品率分别为、、，现从这批零件中任取一个零件，则它是次品的概率为.32．（2025·山东德州·三模）已知变量与线性相关，由样本点求得的回归直线方程为，若点在回归直线上，且，则．33．（2025·山东·三模）甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2样，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有种．（用数字作答）34．（2025·湖南岳阳·三模）的展开式中的系数为．35．（2025·江西·二模）甲､乙两名乒乓球选手进行比赛，根据赛前两位选手胜负的统计数据，得在一局比赛中甲获胜的概率是，乙获胜的概率为，且各局比赛之间互不影响，若采用“五局三胜制”，则甲最终获胜的概率为.36．（2025·湖南邵阳·三模）若随机变量，则当取得最大值时，正整数的值是．37．（2025·上海·三模）北斗七星是夜空中的七颗亮星，它们组成的图形象我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一.如图，用点，，，，，，表示某季节的北斗七星，其中，，，看作共线，其他任何三点均不共线.若过这七个点中任意三点作三角形，则所作的不同三角形的个数为.38．（2025·上海黄浦·三模）若随机变量，且，，则的最小值为39．（2025·上海闵行·二模）已知数据的平均数为2，方差为5，则的平均数为．40．（2025·河北保定·三模）甲、乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1，2，3，4，5，6的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于10或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，则甲抽了3张卡片时，游戏恰好结束的概率为.41．（2025·广东广州·三模）某班为了响应“学雷锋”活动，将指定的6名学生随机分配到3个不同的办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，则恰好甲、乙两人（仅有两人）打扫同一个办公室的情况有种（用数字作答）．42．（2025·湖南长沙·三模）设是给定的正整数，现有个外表相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取出后不放回）．则第三次取出白球的概率为．43．（2025·江西·三模）投掷一枚质地均匀的硬币，若出现连续三次正面朝上的情况，则停止投掷，那么投掷总次数的数学期望为44．（2025·河南许昌·三模）某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏．游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个类小正方体，6个面都印着奇数；1个类小正方体，6个面都印着偶数．游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券．最终挑战的环节是进行第三次投掷，第三次投掷不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投郑，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券．则第一次投掷后向上的面为奇数的概率为；在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，他最终获得的礼券金额的数学期望为．四、解答题45．（2025·湖南郴州·三模）某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时.(1)根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？单位：人每周的锻炼时间短跑成绩合计短跑成绩合格短跑成绩不合格每周的锻炼时间超过5小时每周的锻炼时间不超过5小时合计(2)正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率.参考公式与数据：，其中.0.010.0050.0016.6357.87910.82846．（2025·山东烟台·三模）近年来，新能源汽车因其动力充沛、提速快、用车成本低等特点得到民众的追捧．某机构为研究汽油价格x（单位：元/升）与新能源汽车的月销售量y（单位：万辆）之间的关系，收集整理得到如下数据：x66.577.58y1.5234.56.8(1)若用模型模拟x与y之间关系，求出回归方程；(2)根据建立的回归方程，预测当汽油价格上涨至9元/升时，新能源汽车的销量；(3)假设当汽油价格为9元/升时，实际销量超过预测值的概率为0.6．现进行5次独立观测，记这5次观测中销量超过预测值的次数为，求的数学期望．参考数据和公式：．，．令，，，．对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．47．（2025·江苏苏州·三模）现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布，乙生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布．(1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列；(2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大．参考数据：若，则．0.720.260.0248．（2025·湖北武汉·三模）小华、小明、小红三人为某比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某人时，该人可挑战另外两人.经商定，小华首先获得挑战权，他挑战小明、小红的概率均为.若他挑战小明，下一次的挑战权即属于小明，且小明再挑战小华、小红的概率分别为；若他挑战小红，下一次的挑战权即属于小红，且小红再挑战小华、小明的概率分别为.(1)经过3次挑战后，小华已使用的挑战权次数记为，求的分布列及数学期望；(2)若经过次挑战后，挑战权属于小华、小明、小红分别记为事件.（ⅰ）证明：；（ⅱ）求事件发生的概率.49．（2025·重庆·三模）甲、乙两位同学一起玩数轴游戏，规则如下:游戏开始时，两人各自的棋子均在数轴零点处，两人轮流抛一枚骰子(两人都抛完一次骰子，则称这轮结束)，若得到的点数为1或2，则该同学的棋子沿正方向移动两个单位长度;若得到的点数为3或4，棋子就沿正方向移动一个单位长度;若得到的点数为5或6，棋子保持不动.(1)若3轮结束后，求甲同学的棋子恰好落在数字3处的概率；(2)若甲同学的棋子向正方向每次移动一个单位长度得5分，每次移动两个单位长度得10分，不动则不得分，当他完成3轮游戏后，记得分为求