15.3 第2课时 角平分线的性质及判定 课件 2025-2026学年 沪科版八年级数学上册

第15章轴对称图形与等腰三角形15.3角的平分线第2课时角平分线的性质及判定1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点）2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;（难点）3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．学习目标

如图，要在

S

区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处

500

米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为

1︰20000）DCS解：作夹角的角平分线

OC，截取

OD=2.5cm，D即为所求.O角平分线的性质思考

如图,

OE

是

∠AOB

的平分线，P

是

OE

上的任一点，过点

P

分别作

PC⊥OA，PD⊥OB，点

C，D

是垂足.PC、PD

的长有什么关系吗？证明你的猜想.AOBPCDE1证明∵

OP平分∠AOB，（已知)∴∠COP=∠DOP.（角平分线的定义)又∵PC⊥OA，PD⊥OB

，(已知)∴∠PCO

=∠PDO

=

90°.（垂直的定义)

如图,

OE

平分∠AOB，P

是

OE

上的任一点，PC

⊥

OA

于点

C，PD⊥OB于点D

.求证：PC

=

PD.AOBPCDE∵在

△

PCO

和

△

PDO中，∠COP

=∠DOP

，(已证

)∠PCO

=∠PDO，(已证)

OP

=

OP，(公共边)∴△PCO≌△PDO.(AAS)∴

PC=

PD定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.应用所具备的条件：(1)点在角的平分线上；(2)到角两边的距离(垂直).定理的作用：

证明线段相等.BADOPEC应用格式：∵OP

是∠AOB的平分线，∴

PD=PE.PD⊥OA，PE⊥OB，推理的条件有三个，必须写完全，不能少.要点归纳判一判：(1)

如下左图，因为

AD平分∠BAC(已知)，

所以

BD＝

CD.(

)

在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等×BADC(2)如上右图，因为

DC⊥AC，DB⊥AB(已知)，所以

BD＝CD.()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等×BADC例1

已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且

BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为

E，F.求证：EB=FC.ABCDEF证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴

DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.典例精析变式：如图，在直角△ABC

中，∠C

＝

90°，AP

平分∠BAC

交

BC

于点

P，若

PC

＝

4，

AB＝

14.(1)则点

P

到

AB

的距离为_____；(2)求

△APB的面积.ABCPD4温馨提示：存在一条垂线段

——

构造应用故

AB

·PD

=28.解：由角平分线的性质知

PD=PC=4，1.应用角平分线的性质：存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分线的性质：面积周长条件角平分线的性质方法归纳思考：写出上面角平分线性质定理的逆命题.

这个逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并给出证明.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上角平分线上的点到角两边的距离相等逆命题思考：这个结论正确吗？角平分线的判定2已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是

D、E，PD=PE.求证：点

P在∠AOB的角平分线上.证明：作射线

OP，∴点

P在∠AOB

角的平分线上.在

Rt△PDO和

Rt△PEO

中，(全等三角形的对应角相等).

OP=OP(公共边)，PD

=PE(已知)，BADOPE∵

PD⊥OA，PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°.∴Rt△PDO≌Rt△PEO(

HL).∴∠DOP=∠EOP角平分线判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.应用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.∴点

P在

∠AOB的平分线上.方法归纳例2如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库

P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)ONMABONMABP方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在这两点连线的垂直平分线上.解：如图所示：图形已知条件结论PCPCOP

平分∠AOBPD⊥OA

于DPE⊥OB

于

EPD=PEOP平分

∠AOBPD=PEPD⊥OA于

DPE⊥OB

于

E角的平分线的判定角的平分线的性质活动1分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？发现：三角形的三条角平分线相交于一点三角形的内角平分线3活动2

分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一

量，每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的

垂线段相等你能证明这个结论吗？已知：如图，△ABC的角平分线

BM，CN相交于点

P，求证：

(1)点

P到三边

AB，BC，CA

的距离相等.证明：过点

P作

PD，PE，PF分别垂直于

AB，BC，CA，垂足分别为

D，E，F.∵BM是

△ABC

的角平分线，

点

P

在

BM

上，∴PD=PE.同理

PE=PF.∴PD=PE=PF.即点

P到三边

AB，BC，CA的距离相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

证明结论：(2)连接

AP，求证：AP平分∠BAC.由(1)得，

PD=PF(已证).又∵PD⊥AB，PF⊥AB，∴AP平分∠BAC(角平分线上的点到角两边的距离相等).

结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

变式1：如图，在直角

△ABC

中，AC

＝

BC，∠C

＝90°，AP

平分∠BAC，BD

平分∠ABC；AP，BD

交于点

O，过点

O

作

OM⊥AC，若

OM

＝

4，(1)求点

O

到

△ABC

三边的距离和.MENABCPOD温馨提示：不存在垂线段

—

—

构造应用12解：连接

OC，(2)若

△ABC

的周长为

32，求

△ABC

的面积.MENABCPODS△ABC=S△AOB＋S△BOC＋S△AOC，2.联系角平分线性质：距离面积周长1.应用角平分线的判定与性质：判定角平分线距离问题条件要点归纳2.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且

BC=8，BD=5，则点

D到

AB的距离是

.ABCD3E1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是

E，F，DE=

DF，∠FDB=60°，则∠EBF=

°，BE=

.60BFEBDFACG3.

在

Rt△ABC

中，BD

平分∠ABC，DE⊥AB

于

E，则：(1)

哪条线段与

DE

相等？为什么？(2)

若

AB＝10，BC＝8，AC＝6，求

BE，AE

的长和

△AED

的周长.解：(1)

DC＝DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.(2)在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DE，DB=DB，∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，∴BE＝BC＝8.∴AE＝AB-BE＝2.∴△AED

的周长为AE+DE+DA＝

AE+DC+DA=AE+AC=2+6＝8.EDCBA68104.已知：如图，OD

平分∠POQ，在

OP，OQ

边上取OA＝OB，点

C

在

OD

上，CM⊥AD

于

M，CN⊥BD

于

N.

求证：CM

＝

CN.证明：∵

OD

平分∠POQ，∴∠AOD

=

∠BOD.在△AOD

与△BOD

中，

OA

=

OB，

∠AOD

=∠BOD，

OD

=

OD，∴△AOD≌△BOD

(SAS).又∵

CM⊥AD

，CN⊥BD

，∴

CM

=

CN.∴∠ADO

=∠BDO.5.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点

F，求证：点

F在∠DAE

的平分线上．证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.∵点

F