江苏连云港市赣榆区2025-2026学年第二学期期中学业水平质量监测高二数学（含答案）

2025-2026学年度第二学期期中学业水平质量监测高二年级数学试题(本卷满分150分,共4页,考试时间120分钟)注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上)1.CA.20B.30C.40D.502.已知a=0,1A.π6B.π2C.π3.某校足球队有高一学生4人，高二学生3人，高三学生7人，选其中一人为负责人，则不同的选法种数为A.84B.40C.49D.144.如果随机变量X∼N2,σ2,且A.0.1B.0.2C.0.3.D.0.65.已知向量m=−2,1,−1是直线l的一个方向向量，向量n=2,k+A.0B.-2C.4D.36.抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为“两个点数之和为奇数”，B为“至少出现一个6点”,则PA.12B.16C.17.在空间四边形OABC中,OA=OB=OC=4,∠AOC=∠BOC=π2,∠AOB=π3A.223B.463C.58.一个质点在随机外力的作用下,从数轴的原点出发,每隔1s等可能的沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动9次，则质点最可能移动到的位置是A.7或-5B.1或-1C.3或-3D.5或-3二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全得部分分,有选错的得0分)9.已知向量a=−1,1,A.若a=3，则m=1B.若aC.不存在实数λ，使得a=λbD.若a+b10.下列命题中正确的有A.已知随机变量X∼B4,B.已知随机变量X∼H2,C.若离散型随机变量X的数学期望EX=2D.已知X为离散型随机变量，则D11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1CA.DOB.直线A1M与直线BNC.在线段A1B1上存在点F，使得直线AC与平面BDFD.平面ACM截该正方体的内切球所得截面面积为2三、填空题(本大题共3个小题,每小题5分,共15分)12.若C282=C2813.用4种不同颜色给四棱锥P−ABCD14.已知编号为1,2的两只小球和编号为1,2,3的三个盒子,将两个小球逐个随机的放入三个盒子中，每只球的放置相互独立，记录至少有一只球的盒子，随机变量X表示这些盒子编号的最大值，则X的数学期望为_____.四、解答题(本大题共5个小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.(13分)已知二项式x−3x(1)求n的值；(2)求展开式中x316.(15分)五一劳动节即将到来，学校计划让3名男同学、2名女同学负责五一庆祝活动，具体分工如下:(1)若要求安排1人担任总策划、2人负责物资筹备、2人负责活动宣传，有多少种不同的分配方法?(2)活动圆满结束后，这5名同学和2位指导老师共7人在校园广场合影留念，要求2名女同学必须相邻，2位老师不能相邻，有多少种不同的排列方法?17.(15分)在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90∘，D，E，F分别是棱AB，BC，(1)求点P到直线EF的距离；(2)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值.18.(17分)赣榆区某所高中田径队有甲、乙、丙等12名运动员，现将这12人平均分成A,B,C(1)求甲、乙、丙三人同在A组的概率；(2)求甲在三天内至少担任一次组长的概率；(3)记X为连续两天至少担任一次组长的人数，求X的概率分布列和数学期望.19.(17分)把一副三角板按如图所示的方式拼接,其中AC=2,∠ABC=∠ADC=90∘,AB=BC，∠DAC=30∘.(1)若E，F为PA，PC的中点，求证:EF//平面ABC(2)若平面APC⊥平面ABC，求点A到平面PBC(3)二面角A−PC−B2025-2026学年度第二学期期中学业水平质量监测高二数学试题参考答案一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1.B2.B3.D4.A二、多项选择题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)9.BCD10.BCD11.ACD三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)12.4或913.7214.22四、解答题(本大题共5个小题，共77分)15.解:(1)由题意知,2n=64,则(2)由二项式定理可知，在x−3第r+1项为T所以3−3展开式中x3的系数为C所以展开式中x3的系数为1.1316.解:(1)把5人分三组；1担任总策划、2负责物资、2负责宣传先选1人担任总策划，有C51再从剩下4人选2人负责物资，有C42最后2人负责宣传，有C22种方法，由分步计数原理,共有C51⋅C所以共有30种方法;(2)7人排列:2女生相邻、2老师不相邻先2女生捆绑看成1个整体，内部排列有A22种方法；3男生和女生整体共4个元素，排列有A44种方法;4个元素排好有5个空,选2个空排老师有A52种方法,由分步计数原理,共有A22所以共有960种方法.15分17.(1)三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB,AC⊂平面ABC又∠BAC=90∘，∴AB⊥AC，∴AB,AC,PA两两垂直，以A∵∵D,E,F∴EF=−点P到直线EF的距离为d所以点P到直线EF的距离为28613.7(2)AP=0设平面DEF的法向量为n=则n⋅DF=0n⋅解得x=32z,y=0令z=2设直线PA与平面DEF所成角为θ,则sinθ所以直线PA与平面DEF所成角的正弦值为2131318.解:(1)设“甲、乙、丙三位同学同在A组中”为事件M，1分PM=故甲、乙、丙三位同学同在A组中的概率为155.4(2)设“甲在三天内至少担任一次组长”为事件N，5分PN=故甲在三天内至少担任一次组长的概率为3764.9(3)连续两天中，每组选到同一个同学的概率为44×4=14X的所有可能的取值为3,4,5,6.PPPPX=故X的概率分布表为:X3456P46496427642764EX=19.(1)因为E,F分别为PA所以EF//AC又因为EF⊄平面ABC,AC⊂所以EF//平面ABC4(2)过点P作PO⊥AC又因为平面ACP⊥平面ABC，平面ACP∩平面ABC=AC所以PO⊥平面ABC5以O为坐标原点，以OM,OC又AC=所以OP=所以A0,−设平面PBC的法向量n1PC⋅n又AC=0,2,