高等代数大一真题及答案

高等代数大一真题及答案

一、单项选择题1.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(AB=0\)，则下列一定成立的是（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(A+B=0\)C.\(|A|=0\)或\(|B|=0\)D.\(|A|+|B|=0\)答案：C2.设向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关，则下列向量组线性相关的是（）A.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\)B.\(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)C.\(\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)D.\(\alpha_1+\alpha_2,2\alpha_2+\alpha_3,3\alpha_3+\alpha_1\)答案：C3.设\(A\)是\(n\)阶可逆矩阵，\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值，则\(A^{-1}\)的一个特征值是（）A.\(\lambda\)B.\(\frac{1}{\lambda}\)C.\(\lambda^2\)D.\(\lambda^{-2}\)答案：B4.设\(A\)为\(m\timesn\)矩阵，齐次线性方程组\(Ax=0\)仅有零解的充分必要条件是（）A.\(A\)的行向量组线性无关B.\(A\)的行向量组线性相关C.\(A\)的列向量组线性无关D.\(A\)的列向量组线性相关答案：C5.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)与\(B\)相似，则下列结论错误的是（）A.\(A\)与\(B\)有相同的特征值B.\(A\)与\(B\)有相同的特征多项式C.\(A\)与\(B\)有相同的秩D.\(A\)与\(B\)相等答案：D6.若矩阵\(A\)的秩为\(r\)，则下列说法正确的是（）A.\(A\)中所有\(r+1\)阶子式全为零B.\(A\)中至少有一个\(r+1\)阶子式不为零C.\(A\)中所有\(r\)阶子式全不为零D.\(A\)中至少有一个\(r-1\)阶子式不为零答案：A7.设\(A\)是\(n\)阶实对称矩阵，\(P\)是\(n\)阶可逆矩阵，\(B=P^TAP\)，则（）A.\(A\)与\(B\)合同但不相似B.\(A\)与\(B\)相似但不合同C.\(A\)与\(B\)既合同又相似D.\(A\)与\(B\)既不合同也不相似答案：A8.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(E\)为\(n\)阶单位矩阵，若\(A^2-A-2E=0\)，则\(A^{-1}\)等于（）A.\(\frac{1}{2}(A-E)\)B.\(\frac{1}{2}(A+E)\)C.\(A-E\)D.\(A+E\)答案：B9.已知向量组\(\alpha_1=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_2=(2,3,4)^T\)，\(\alpha_3=(3,4,5)^T\)，则该向量组的秩为（）A.1B.2C.3D.0答案：B10.设\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(|A|=0\)，则（）A.\(A\)中必有两行（列）元素对应成比例B.\(A\)中至少有一行（列）向量是其余行（列）向量的线性组合C.\(A\)中必有一行（列）元素全为零D.\(A\)的行（列）向量组线性无关答案：B二、多项选择题1.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，下列命题正确的是（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\(|AB|=|A||B|\)C.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)D.若\(AB=0\)，则\(A=0\)或\(B=0\)答案：AB2.设向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关，则（）A.该向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示B.该向量组中任何一个向量都可由其余向量线性表示C.存在不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)D.该向量组的秩小于\(s\)答案：ACD3.设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是对应的特征向量，则（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\((A-\lambdaE)\xi=0\)C.对于任意非零常数\(k\)，\(k\xi\)也是\(A\)的属于特征值\(\lambda\)的特征向量D.\(\lambda\)一定是实数答案：ABC4.设\(A\)为\(m\timesn\)矩阵，线性方程组\(Ax=b\)有解的充分必要条件是（）A.\(r(A)=r(A|b)\)B.\(A\)的行向量组可由\((A|b)\)的行向量组线性表示C.\(b\)可由\(A\)的列向量组线性表示D.\(r(A)=n\)答案：AC5.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)与\(B\)合同，则（）A.\(A\)与\(B\)有相同的秩B.\(A\)与\(B\)有相同的正惯性指数C.\(A\)与\(B\)有相同的负惯性指数D.\(A\)与\(B\)相似答案：ABC6.下列关于矩阵的初等变换的说法正确的是（）A.矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩B.矩阵的初等列变换不改变矩阵的秩C.任何矩阵都可通过初等行变换化为行最简形矩阵D.任何可逆矩阵都可通过初等行变换化为单位矩阵答案：ABCD7.设\(A\)是\(n\)阶方阵，若\(A\)满足\(A^2=A\)，则（）A.\(A\)的特征值只能是0或1B.\(A\)一定可对角化C.\(r(A)+r(A-E)=n\)D.\(A\)是对称矩阵答案：AC8.已知向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关，向量组\(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2\)，\(\beta_2=\alpha_2+\alpha_3\)，\(\beta_3=\alpha_3+\alpha_1\)，则（）A.向量组\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)线性无关B.向量组\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)线性相关C.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)与向量组\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)等价D.向量组\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)的秩为3答案：ACD9.设\(A\)为\(n\)阶方阵，下列说法正确的是（）A.若\(A\)可逆，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)也可逆B.若\(|A|=0\)，则\(|A^|=0\)C.\(AA^=|A|E\)D.\((A^)^T=(A^T)^\)答案：ABCD10.设\(A\)是\(n\)阶实对称矩阵，下列结论正确的是（）A.\(A\)的特征值都是实数B.\(A\)一定有\(n\)个线性无关的特征向量C.存在正交矩阵\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)为对角矩阵D.\(A\)的不同特征值对应的特征向量相互正交答案：ABCD三、判断题1.若矩阵\(A\)与\(B\)等价，则\(A\)与\(B\)一定相似。（×）2.向量组中向量的个数越多，向量组的秩越大。（×）3.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，若\(AB=BA\)，则\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)。（√）4.齐次线性方程组\(Ax=0\)有非零解的充要条件是\(|A|=0\)。（×）5.若矩阵\(A\)的秩为\(r\)，则\(A\)中存在\(r\)个线性无关的行向量和\(r\)个线性无关的列向量。（√）6.设\(A\)为\(n\)阶方阵，若\(A\)可对角化，则\(A\)有\(n\)个不同的特征值。（×）7.两个\(n\)阶实对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩和相同的正惯性指数。（√）8.若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关，向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)线性无关，则向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)也线性无关。（×）9.设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是对应的特征向量，则对于任意常数\(k\)，\(k\xi\)也是\(A\)的属于特征值\(\lambda\)的特征向量。（×）10.若\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(A^2=E\)，则\(A\)的特征值只能是1和-1。（√）四、简答题1.简述矩阵可逆的定义及判断\(n\)阶方阵\(A\)可逆的方法。答：对于\(n\)阶方阵\(A\)，若存在\(n\)阶方阵\(B\)，使得\(AB=BA=E\)，则称\(A\)可逆，\(B\)为\(A\)的逆矩阵。判断\(n\)阶方阵\(A\)可逆的方法有：\(|A|\neq0\)；\(r(A)=n\)；\(A\)可通过初等行变换化为单位矩阵；\(A\)的列（行）向量组线性无关等。2.说明向量组线性相关和线性无关的定义，并举例说明。答：向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关是指存在不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)。线性无关是指只有当\(k_1=k_2=\cdots=k_s=0\)时，\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)才成立。例如向量组\(\alpha_1=(1,0)^T\)，\(\alpha_2=(0,1)^T\)线性无关，而向量组\(\beta_1=(1,2)^T\)，\(\beta_2=(2,4)^T\)线性相关，因为\(2\beta_1-\beta_2=0\)。3.简述矩阵的秩的定义及求矩阵秩的方法。答：矩阵\(A\)的秩是指\(A\)中不为零的子式的最高阶数，记为\(r(A)\)。求矩阵秩的方法有：通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩；计算矩阵的各阶子式，找出不为零的子式的最高阶数。4.简述实对称矩阵的性质。答：实对称矩阵具有以下性质：实对称矩阵的特征值都是实数；实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交；实对称矩阵一定可对角化，即存在正交矩阵\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)为对角矩阵；实对称矩阵的正（负）惯性指数等于其正（负）特征值的个数。五、讨论题1.讨论线性方程组\(Ax=b\)的解的情况，并说明如何判断。答：线性方程组\(Ax=b\)的解有三种情况：无解、有唯一解、有无穷多解。判断方法如下：设\(A\)是\(m\timesn\)矩阵，\((A|b)\)是增广矩阵。若\(r(A)\neqr(A|b)\)，则方程组无解；若\(r(A)=r(A|b)=n\)，则方程组有唯一解；若\(r(A)=r(A|b)\ltn\)，则方程组有无穷多解。例如，对于方程组\(\begin{cases}x+y=1\\x+y=2\end{cases}\)，\(r(A)=1\)，\(r(A|b)=2\)，无解；对于\(\begin{cases}x+y=1\\x-y=0\end{cases}\)，\(r(A)=r(A|b)=2\)，有唯一解；对于\(\begin{cases}x+y+z=1\\x+y+z=1\end{cases}\)，\(r(A)=r(A|b)=1\lt3\)，有无穷多解。2.讨论矩阵相似的定义、性质及相似对角化的条件。答