2025年江西省成人高等学校招生考试数学(理)复习题及答案

2025年江西省成人高等学校招生考试[数学(理)]复习题及答案一、集合与简易逻辑（一）复习题1.已知集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|ax-2=0\}\)，若\(A\cupB=A\)，求实数\(a\)的值。2.命题\(p\)：“若\(x^2<1\)，则\(-1<x<1\)”，写出命题\(p\)的逆否命题，并判断其真假。3.已知集合\(M=\{x|x^2-2x-3\leqslant0\}\)，\(N=\{x|y=\lg(x-2)\}\)，求\(M\capN\)。（二）答案及详细解答1.-首先求解集合\(A\)：对于方程\(x^2-3x+2=0\)，因式分解得\((x-1)(x-2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。-因为\(A\cupB=A\)，所以\(B\subseteqA\)。-当\(B=\varnothing\)时，方程\(ax-2=0\)无解，此时\(a=0\)。-当\(B\neq\varnothing\)时，\(B=\{x|ax-2=0\}=\{\frac{2}{a}\}\)。若\(\frac{2}{a}=1\)，则\(a=2\)；若\(\frac{2}{a}=2\)，则\(a=1\)。综上，实数\(a\)的值为\(0\)，\(1\)或\(2\)。2.-命题\(p\)：“若\(x^2<1\)，则\(-1<x<1\)”。其逆否命题为“若\(x\geqslant1\)或\(x\leqslant-1\)，则\(x^2\geqslant1\)”。-判断逆否命题的真假：当\(x\geqslant1\)时，\(x^2\geqslant1\)成立；当\(x\leqslant-1\)时，\(x^2\geqslant1\)也成立。所以命题\(p\)的逆否命题是真命题。3.-求解集合\(M\)：对于不等式\(x^2-2x-3\leqslant0\)，因式分解得\((x-3)(x+1)\leqslant0\)。则\(\begin{cases}x-3\geqslant0\\x+1\leqslant0\end{cases}\)或\(\begin{cases}x-3\leqslant0\\x+1\geqslant0\end{cases}\)。解\(\begin{cases}x-3\geqslant0\\x+1\leqslant0\end{cases}\)，得\(\begin{cases}x\geqslant3\\x\leqslant-1\end{cases}\)，无解；解\(\begin{cases}x-3\leqslant0\\x+1\geqslant0\end{cases}\)，得\(\begin{cases}x\leqslant3\\x\geqslant-1\end{cases}\)，所以\(M=\{x|-1\leqslantx\leqslant3\}\)。-求解集合\(N\)：因为\(y=\lg(x-2)\)，根据对数函数的定义域，\(x-2>0\)，即\(x>2\)，所以\(N=\{x|x>2\}\)。-求\(M\capN\)：\(M\capN=\{x|2<x\leqslant3\}\)。二、函数（一）复习题1.已知函数\(f(x)=\frac{1}{x+1}\)，求\(f(f(0))\)的值。2.函数\(y=\log_{0.5}(x^2-2x-3)\)的单调递增区间是？3.已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x\geqslant0\)时，\(f(x)=x^2-2x\)，求\(f(x)\)的解析式。（二）答案及详细解答1.-首先求\(f(0)\)的值：将\(x=0\)代入\(f(x)=\frac{1}{x+1}\)，得\(f(0)=\frac{1}{0+1}=1\)。-然后求\(f(f(0))\)的值：因为\(f(0)=1\)，所以\(f(f(0))=f(1)\)。将\(x=1\)代入\(f(x)=\frac{1}{x+1}\)，得\(f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\)。所以\(f(f(0))=\frac{1}{2}\)。2.-首先求函数\(y=\log_{0.5}(x^2-2x-3)\)的定义域：令\(x^2-2x-3>0\)，因式分解得\((x-3)(x+1)>0\)。则\(\begin{cases}x-3>0\\x+1>0\end{cases}\)或\(\begin{cases}x-3<0\\x+1<0\end{cases}\)。解\(\begin{cases}x-3>0\\x+1>0\end{cases}\)，得\(\begin{cases}x>3\\x>-1\end{cases}\)，即\(x>3\)；解\(\begin{cases}x-3<0\\x+1<0\end{cases}\)，得\(\begin{cases}x<3\\x<-1\end{cases}\)，即\(x<-1\)。所以函数的定义域为\((-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\)。-令\(t=x^2-2x-3=(x-1)^2-4\)，函数\(y=\log_{0.5}t\)在\((0,+\infty)\)上是减函数。根据复合函数“同增异减”的原则，求\(y=\log_{0.5}(x^2-2x-3)\)的单调递增区间，即求\(t=x^2-2x-3\)在定义域\((-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\)上的单调递减区间。\(t=x^2-2x-3\)的对称轴为\(x=1\)，其单调递减区间为\((-\infty,1)\)。结合定义域，所以\(y=\log_{0.5}(x^2-2x-3)\)的单调递增区间是\((-\infty,-1)\)。3.-设\(x<0\)，则\(-x>0\)。因为当\(x\geqslant0\)时，\(f(x)=x^2-2x\)，所以\(f(-x)=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x\)。-又因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(x)=-f(-x)=-x^2-2x\)。-当\(x=0\)时，因为\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，所以\(f(0)=0\)。综上，\(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,x\geqslant0\\-x^2-2x,x<0\end{cases}\)。三、数列（一）复习题1.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，求\(a_{10}\)的值。2.等比数列\(\{a_n\}\)中，\(a_2=2\)，\(a_5=16\)，求其前\(5\)项和\(S_5\)。3.已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=2n^2-3n\)，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。（二）答案及详细解答1.-设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\)。根据等差数列通项公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，则\(a_3=a_1+2d\)，\(a_7=a_1+6d\)。已知\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，可得方程组\(\begin{cases}a_1+2d=5\\a_1+6d=13\end{cases}\)。用第二个方程减去第一个方程消去\(a_1\)：\((a_1+6d)-(a_1+2d)=13-5\)，即\(4d=8\)，解得\(d=2\)。将\(d=2\)代入\(a_1+2d=5\)，得\(a_1+2\times2=5\)，解得\(a_1=1\)。-所以\(a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\times2=2n-1\)。则\(a_{10}=2\times10-1=19\)。2.-设等比数列\(\{a_n\}\)的公比为\(q\)，首项为\(a_1\)。根据等比数列通项公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)，则\(a_2=a_1q\)，\(a_5=a_1q^4\)。已知\(a_2=2\)，\(a_5=16\)，可得\(\begin{cases}a_1q=2\\a_1q^4=16\end{cases}\)。用第二个方程除以第一个方程得：\(\frac{a_1q^4}{a_1q}=\frac{16}{2}\)，即\(q^3=8\)，解得\(q=2\)。将\(q=2\)代入\(a_1q=2\)，得\(a_1\times2=2\)，解得\(a_1=1\)。-根据等比数列前\(n\)项和公式\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)\)，可得\(S_5=\frac{1\times(1-2^5)}{1-2}=\frac{1-32}{-1}=31\)。3.-当\(n=1\)时，\(a_1=S_1=2\times1^2-3\times1=-1\)。-当\(n\geqslant2\)时，\(a_n=S_n-S_{n-1}\)。\(S_n=2n^2-3n\)，\(S_{n-1}=2(n-1)^2-3(n-1)=2(n^2-2n+1)-3n+3=2n^2-4n+2-3n+3=2n^2-7n+5\)。所以\(a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2-3n-(2n^2-7n+5)=4n-5\)。-当\(n=1\)时，\(4\times1-5=-1=a_1\)。所以数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=4n-5\)。四、三角函数（一）复习题1.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。2.求函数\(y=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期和单调递增区间。3.在\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，\(\angleC=60^{\circ}\)，求\(c\)的值。（二）答案及详细解答1.-根据三角函数平方关系\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，则\(\cos\alpha<0\)。\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}\)。-根据三角函数商数关系\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)，可得\(\tan\alpha=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}\)。2.-对于函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)，其最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)。在函数\(y=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)中，\(\omega=2\)，所以最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。-求函数的单调递增区间，令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant2x+\frac{\pi}{3}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)。先解不等式\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant2x+\frac{\pi}{3}\)：\(2k\pi-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\leqslant2x\)，即\(2k\pi-\frac{5\pi}{6}\leqslant2x\)，\(k\pi-\frac{5\pi}{12}\leqslantx\)。再解不等式\(2x+\frac{\pi}{3}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2}\)：\(2x\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\)，即\(2x\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{6}\)，\(x\leqslantk\pi+\frac{\pi}{12}\)。所以函数\(y=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的单调递增区间是\([k\pi-\frac{5\pi}{12},k\pi+\frac{\pi}{12}],k\inZ\)。3.-在\(\triangleABC\)中，根据余弦定理\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC\)。已知\(a=3\)，\(b=4\)，\(\angleC=60^{\circ}\)，\(\cosC=\frac{1}{2}\)。则\(c^2=3^2+4^2-2\times3\times4\times\frac{1}{2}=9+16-12=13\)。所以\(c=\sqrt{13}\)。五、平面向量（一）复习题1.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-3,4)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)以及\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)夹角的余弦值。2.已知\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，\(C(-2,5)\)，判断\(\triangleABC\)的形状。3.若向量\(\overrightarrow{a}=(m,1)\)与\(\overrightarrow{b}=(2,m)\)共线且方向相反，求\(m\)的值。（二）答案及详细解答1.-根据向量数量积的坐标运算公式，若\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2\)。已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-3,4)\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\times(-3)+2\times4=-3+8=5\)。-设\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角为\(\theta\)，根据向量夹角余弦值公式\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert}\)。\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)，\(\vert\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5\)。所以\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert}=\frac{5}{\sqrt{5}\times5}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)。2.-首先求\(\overrightarrow{AB}\)，\(\overrightarrow{AC}\)，\(\overrightarrow{BC}\)的坐标。\(\overrightarrow{AB}=(3-1,4-2)=(2,2)\)，\(\overrightarrow{AC}=(-2-1,5-2)=(-3,3)\)，\(\overrightarrow{BC}=(-2-3,5-4)=(-5,1)\)。-计算向量的模：\(\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}\)，\(\vert\overrightarrow{AC}\vert=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}\)，\(\vert\overrightarrow{BC}\vert=\sqrt{(-5)^2+1^2}=